Maxwell-Verteilung

aus der Boltzmann-Verteilung folgt:

$\displaystyle f\left( v\right) dv=Ce^{-\frac{mV^{2}}{2}}\cdot \frac{1}{kT}dv$    

C: stat. Gewicht

Bemerkung: im Auftrag haben wir eine Gerade betrachtet (1Dimensional)

in 2 Dimenisonen


Die Anzahl Vektoren mit $ v_{0}<\left\vert v\right\vert <v_{0}+dv$ ist proportional zu 2 $ \pi v\cdot dv$

in 3 Dimensionen ist die Anzahl proportional zu $ 4\pi v^{2}dv\qquad $d.h. obwohl die Boltzmannverteilung ein Maximum bei $ E=\frac{1}{2}mv^{2}=0$ hat bewirkt der Phasenraum dass das Maximum bei $ v>0$ ist.

also

$\displaystyle f\left( v\right) dv=C'4\pi v^{2}e^{-\frac{mv^{2}}{2}\frac{1}{kT}}dv$ (3.162)

Normierung:

$\displaystyle \int f\left( v\right) dv=1$ (3.163)

mit

$\displaystyle A=\frac{m}{2kT}$ (3.164)

wird

$\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty }f\left( v\right) dv=1=C'4\pi \int\limits_{0}^{\infty }v^{2}e^{Av^{2}}dv$ (3.165)

mit

$\displaystyle \frac{d}{da}\int\limits_{0}^{\infty }e^{-a\xi ^{2}}d\xi =-\int\limits_{0}^{\infty }\xi ^{2}e^{-a\xi ^{2}}d\xi$ (3.166)


$\displaystyle 1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle C'\cdot 4\pi \cdot \left( -\frac{d}{dA}\int\limits_{0}^{\infty
}e^{-Av^{2}}dv\right) \notag$ (3.167)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle C'4\pi \cdot \left( -\frac{d}{dA}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{A}}...
...ght)
=C'\cdot 4\pi \cdot \frac{1}{4}\frac{\sqrt{\pi }}{A^{\frac{3
}{2}}} \notag$ (3.168)
  $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle C'=\left( \frac{A}{\pi }\right) ^{\frac{3}{2}}$ (3.169)

Also

$\displaystyle f\left( v\right) dv$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi \cdot \left( \frac{m}{2\pi kT}\right) ^{\frac{3}{
2}}v^{2}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}dv$ (3.170)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}v^{2}e^{-
\frac{mv^{2}}{2kT}}dv$ (3.171)

Mittelwerte:

$\displaystyle \left<v_{x}\right>=0=C''\int\limits_{-\infty }^{+\infty }v_{x}e^{-\frac{v_{x}^{2}}{0}}            (antisymetrisch)$ (3.172)


$\displaystyle \left<v^{2}\right>$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int v^{2}f\left( v\right) dv=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{
kT}\right) ^{\frac{3}{2}}\int\limits_{0}^{\infty }v^{4}e^{-Av^{2}}dv \notag$ (3.173)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi }}\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2}}\frac{d^{2}
}{dA^{2}}\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{A}}\right) \notag$ (3.174)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi }
}^{0}\left( \frac{m}{kT}\right) ^{\frac{3}{2...
...{2}\cdot \frac{1
}{2}\cdot \frac{3}{2}\frac{\sqrt{\pi }}{A^{\frac{5}{2}}}\notag$ (3.175)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 3\frac{kT}{m}$ (3.176)

d.h. $ \left<E_{kin}\right>=\frac{3}{2}kT$ folgt aus Boltzmannverteilung unter der Berücksichtigung des Phasenraumes.


$\displaystyle \left<v\right>$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{\infty }vf\left( v\right)
dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}
\notag$ (3.177)

Was ist $ v_{\max }$?
$\displaystyle \frac{df\left( v\right) }{dv}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\notag$ (3.178)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2ve^{-\frac{mv^{2}}{2kT}
}-v^{2}\cdot \frac{2mv}{2kT}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}} \notag$ (3.179)
$\displaystyle \Rightarrow 2v-m\frac{v^{3}}{kT}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0\notag$ (3.180)
$\displaystyle \Rightarrow v_{\max }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{2kT}{m} }$ (3.181)

Für grosse $ v$ ist die Anzahl Teilchen

$\displaystyle \frac{\int\limits_{E_{0}}^{\infty }f\left( E\right) dE}{\int\limi...
... E\right) dE}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sqrt{\frac{E_{0}}{kT}}e^{-\frac{E_{0}}{kT}}$ (3.182)


Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm