Unterabschnitte

Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung


Mittlere freie Weglänge

Zwei Teilchen mit Radius $ r$ treffen sich wenn ihre Mittelpunkte weniger als $ 2a$ auseinander sind. Damit kann man Stösse so behandeln, wie wenn die beteiligten Teilchen sich wie punktförmige Teilchen bewegen würden, sich aber mit der Querschnittsfläche $ \sigma$, dem Stossquerschnitt stossen.





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{hauptsatz_eins-002.eps}
Alle Moleküle in der gezeigten Röhre mit Geschwindigkeiten entlang der Zylinderachse stossen mit einem auf der Endfläche ruhend angenommenen Molekül.




Der Stossquerschnitt ist

$\displaystyle \sigma =\pi \left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right) $

In der Röhre mit der Länge $ x$ und dem Querschnitt $ \sigma$, also dem Volumen $ \sigma x$ gibt es bei einer Teilchenzahldichte $ n$

$\displaystyle N = n\sigma x$

Teilchen.

Ein Stoss tritt dann auf, wenn ein Teilchen in der Röhre ist, also wenn

$\displaystyle 1=n\sigma \ell$

Die mittlere freie Weglänge für ein Teilchen, das auf ein Ensemble von ruhenden Teilchen trifft, ist dann

$\displaystyle \ell=\frac{1}{n\sigma }
$

Eine detailiertere Betrachtungsweise (nach [LS96]) betrachtet ein Volumen der Oberfläche $ A$ und der Dicke $ dz$ mit der Teilchenzahldichte $ n$ und dem Streuquerschnitt der einzelnen Teilchen $ \sigma$. Die Teilchen in dem Volumen seien in Ruhe. Bei einer dünnen Schicht überdecken die Teilchen dann die Fläche

$\displaystyle A_{eff} = A dz  n \sigma$

Die Wahrscheinlichkeit $ P$, ein Teilchen zu treffen, ist

$\displaystyle P = \frac{A_{eff}}{A} = n \sigma  dz$

Wenn $ N$ Teilchen auf der Oberfläche eintreffen, dann werden

$\displaystyle dN = -N P = -N  n \sigma  dz$ (3.183)

weggestreut werden. Wir können aus Gleichung (3.35) eine Differentialgleichung erster Ordnung konstruieren

$\displaystyle \frac{dN}{dz} + N  n\sigma = 0$

Diese Gleichung für die Abschwächung eines Teilchenstrahles durch ein ruhendes atomares Medium hat die Lösung

$\displaystyle N(z) = N_0 e^{-n\sigma  z}$ (3.184)

(Abschwächung eines Teilchenstrahls)

Wenn wir eine dickere Schicht betrachten, werden die unteren Teilchen durch die oberen abgeschattet. Dies geschieht mit der Wahrscheinlichkeit $ P = n \sigma 
dz$. In der Tiefe $ z$ stehen

$\displaystyle N(z) = N_0 e^{-n\sigma  z}$

Teilchen für die Streuung zur Verfügung. Die Anzahl gestreuter Teilchen ist deshalb

$\displaystyle dN(z) = -PN(z) = -n\sigma N_0 e^{-n\sigma  z}dz$ (3.185)

Die Streurate ist deshalb

$\displaystyle \frac{dN(z)}{dz} = \frac{dN(z=0)}{dz} e^{-n\sigma z}$ (3.186)

Wie tief kann nun ein Teilchen im Mittel eindringen? Wir verwenden die allgemeine Formel

$\displaystyle \left<G\right> = \frac{\int G(z)  f(z)  dz}{\int f(z)  dz}$ (3.187)

für den mit der Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) $ f(z)$ gewichteten Mittelwert von $ G$. Wir haben also

$\displaystyle \ell = \left< z\right> = \frac{\int_0^\infty z  dN(z)}{\int_0^\i...
...a N_0 e^{-n\sigma  z}dz} = \frac{\frac{N_0}{n\sigma}}{N_0} = \frac{1}{n\sigma}$ (3.188)

Dies ist das gleiche Resultat wie vorhin, aber mit Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet.

Nun bewegen sich aber alle Teilchen. Wir müssen deshalb den Stoss zweier Teilchen in deren Schwerpunktsystem betrachten. Die relative kinetische Energie ist in dem Falle

$\displaystyle \frac{1}{2} m' v'^2$

mit $ m'=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ der reduzierten Masse. Wenn $ m_{1}=m_{2}$ ist, gilt $ m'=\frac{m}{2}$.

Wir kennen die Geschwindigkeitsverteilung im Laborsystem. Da im Mittel alle Schwerpunktsysteme die Geschwindigkeit null haben (das Gas als solches bewegt sich ja nicht) ist im Mittel die Relativgeschwindigkeit der Teilchen gleich verteilt wie die Geschwindigkeit einzelner Teilchen. Deshalb gilt:

$\displaystyle \frac{3}{2}kT=\frac{m'}{2}(v')^2=\frac{m}{4}(v')^2=\frac{m}{2}v^{2}$

und deshalb

$\displaystyle v'=\sqrt{2}v$

Deshalb reduziert sich die mittlere freie Weglänge auf

$\displaystyle \ell=\frac{1}{\sqrt{2}n\sigma }$ (3.189)

(mittlere freie Weglänge)

Die genaue Betrachtung mit Gleichung (3.40) ergibt das gleiche Resultat. Man betrachtet die mittlere Anzahl Stösse pro Zeit eines Teilchens

$\displaystyle \left<\zeta\right> =\frac{\sqrt{\left< v^2\right>}}{\ell} =
\sqrt{\left< v^2\right>} n\sigma$

Wir haben dabei über das Quadrat der Geschwindigkeit gemittelt, da Richtungen nicht relevant sind und da die kinetischen Energien letztlich involviert sind. Im bewegten Bezugssystem müssen wir $ \sqrt{\left< v^2\right>}$ durch $ \sqrt{\left< (v')^2\right>}=\sqrt{\left< 2v^2\right>}$ ersetzen.

Für statistisch unabhängige Teichen mit den Geschwindigkeiten $ \vec{v}_1$ und $ \vec{v}_2$ ist

$\displaystyle \left< \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2\right> = 0$

Dann ist

$\displaystyle (\vec{v}')^2 = \left(\vec{v}_1 - \vec{v}_2\right)^2 = \vec{v}_1^2+
\vec{v}_2^2 + 2 \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = \vec{v}_1^2+ \vec{v}_2^2
$

Da wir identische Teilchen betrachten folgt

$\displaystyle (\vec{v}')^2 = 2\vec{v}^2
$

Die Stosszahl pro Zeit bei bewegten Teilchen ist

$\displaystyle \left<\zeta'\right> = =
\sqrt{\left< (v')^2\right>} n\sigma = \sqrt{2}\sqrt{\left< v^2\right>}
n\sigma$

Bezogen auf die Geschwindigkeitsverteilung im Laborsystem $ \left< v^2\right>$ wird dann die freie Weglänge in einem Gas

$\displaystyle \ell = \frac{\sqrt{\left< v^2\right>}}{\zeta'} = \frac{1}{\sqrt{2}  n\sigma}$ (3.190)

Auch hier gibt die exakte Rechnung das gleiche Ergebnis wie die qualitative Argumentation.

Brownsche Bewegung





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{hauptsatz_eins-001.eps}
Brownsche Bewegung




Das Teilchen wird dauernd durch Moleküle angestossen. Wir nehmen an, dass bei jedem Stoss Impuls übertragen wird.

Zwischen zwei Stössen legt das Teilchen im Mittel die Strecke $ \ell$ zurück[LS96]. Die Richtung dieser Bewegung ist zufällig.

Die gesamte zurückgelegte Strecke $ \vec{r}$ setzt sich aus den $ k$ Einzelstrecken $ \vec{s}_i$ zusammen.

$\displaystyle \vec{r}(t)=\sum\limits_{i=1}^k \vec{s}_i$

Wir mitteln nun über $ N$ Teilchen (Scharmittel) und erhalten

$\displaystyle \left< r^2(t)\right>_N = \left< \left(\sum\limits_{i=1}^k \vec{s}...
...= \left< \sum\limits_{i=1}^k s^2_i\right>_N = k\left< s^2\right>_{k\text{,} N}$ (3.191)

da bei einer rein zufälligen Wahl der $ \vec{s}_i$ (dies ist die Voraussetzung) gilt:

$\displaystyle \left< \vec{s}_i\cdot \vec{s}_j\right>_{i\neq j\text{,} N} = 0$

Wir verwenden die Verteilungsfunktion für Stösse - die Gleichung (3.37) - und erhalten mit Gleichung (3.39)

$\displaystyle \left< s^2\right>_{k\text{,} N} = \frac{\int_0^\infty z^2 \frac{...
...n\sigma  z}dz} =
\frac{\frac{2N_0}{n^2\sigma^2}}{N_0} = \frac{2}{n^2\sigma^2}
$

Da das Teilchen mit der Brownschen Bewegung sich praktisch nicht bewegt, verwenden wir die Gleichung für die freie Weglänge mit ruhenden Stosspartnern, also $ \ell = 1/(n\sigma)$ und erhalten

$\displaystyle \left< s^2\right>_{k\text{,} N} = 2\ell^2$ (3.192)

Die Anzahl Stösse berechnet sich aus der in der Zeit $ t$ zurückgelegten Distanz $ \left<v\right>_N t$ und der Distanz zwischen zwei Stössen $ \ell$:

$\displaystyle k=\frac{\left<v\right>_N t}{\ell}$

Damit erhalten wir

$\displaystyle \left<r^{2}\right>_N= k\left< s^2\right>_{k\text{,} N}= 2k \ell^2 =
2 \frac{\left<v\right>_N t}{\ell} \ell^2 = 2 \left<v\right>_N \ell  t$

In drei Dimensionen sind die mittleren Verschiebungsquadrate in die $ x$-, die $ y$- und die $ z$-Richtung gleich. Damit bekommt man

$\displaystyle \left< x^2\right>_n = \left< y^2\right>_N = \left< z^2\right>_N =
\frac{1}{3}\left<r^{2}\right>_N = \frac{2}{3}\left<v\right>_N t\ell$

Andererseits gilt (ohne Beweis)

$\displaystyle D = \frac{1}{3}\ell \left<v\right>_N$

und

$\displaystyle D = \frac{kT}{6\pi \eta  r}$

Wir erhalten also für das Schwankungsquadrat der Position in einer Richtung

$\displaystyle \left< x^2\right>_n = \frac{2}{3}\left<v\right>_N t\ell = 2 D  t = \frac{kT  t}{3\pi \eta 
r}$

Diese Beziehung ist bekannt als Formel von Einstein[Ein05] und Smoluchowski[vS06]


$\displaystyle \left< x^2(t)\right>_n =$ $\displaystyle \frac{kT  t}{3\pi \eta  r}\hspace{0.1cm}$ eine Dimension (3.193)
$\displaystyle \left< x^2(t)+y^2(t)\right>_n =$   $\displaystyle {}_{}\hfill$  
$\displaystyle \left< r^2(t) \right>_n =$ $\displaystyle \frac{2kT  t}{3\pi \eta  r}\hspace{0.1cm}$ zwei Dimensionen (3.194)
$\displaystyle \left< x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)\right>_n =$ $\displaystyle \hfill\hspace{0.1cm}\hfill$ $\displaystyle \hfill$  
$\displaystyle \left< r^2(t) \right>_n =$ $\displaystyle \frac{kT  t}{\pi \eta  r}\hspace{0.1cm}$ drei Dimensionen (3.195)

Die Brownsche Bewegung von Teilchen ist auch bekannt unter dem Namen thermisches Rauschen.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm