Unterabschnitte

Wärmekraftmaschinen

Eine Wärmekraftmaschine transportiert Wärme von einem Wärmebad in ein zweites mit einer niedrigeren Temperatur und gibt dabei mechanische (allgemein jede nichtthermische) Energie ab.

Otto-Motor

Bei einem Otto-Motor wird ein Luft-Benzin-Gemisch der Umgebungstemperatur $ T_4$ angesaugt und adiabatisch auf $ T_1$ verdichtet. Dann wird dieses Gemisch entzündet und erreicht die Temperatur $ T_2$. Die heissen Gase drücken einen Kolben nach unten. Am unteren Umkehrpunkt, dem unteren Totpunkt, hat das Gas die Temperatur $ T_3$. Darauf wird das Gas an die Umgebung abgegeben. Im $ pV$-Diagramm sieht dies so aus:





\includegraphics[width=0.5\textwidth]{hauptsatz_eins-005.eps}
Arbeitszyklus eines Ottomotors. $ a$: ansaugen,$ b$ adiabatisch verdichten, $ c$: Verbrennung, $ d$: Expansion (Arbeitstakt), $ e$ Öffnen des Auslassventils (isochor) und $ f$ Ausstoss der Verbrennungsgase.








\includegraphics[width=0.7\textwidth]{hauptsatz_eins-006.eps}
Wärmestrom vom Wärmebad (Wärmereservoir) bei $ T_2$ zum Wärmebad bei $ T_3$, wobei die mechanische Arbeit $ W$ abgegeben wird.




Beim Ottomotor kann nur der Übergang von $ T_2$ nach $ T_3$ mechanische Arbeit leisten. Alle anderen Übergänge sind adiabatisch, isochor oder isobar mit Ankopplung an die Umgebungsluft.

Bei $ T_{2}$ ist die innere Energie

$\displaystyle U_{2}=\frac{f}{2}NkT_{2}$

Bei $ T_{3}$ erniedrigt sie sich auf

$\displaystyle U_{3}=\frac{f}{2}NkT_{3}$

Aus den vorher genannten Gründen kann nur $ U_{2}-U_{3}$ in mechanische Energie umgewandelt werden.

Der Wirkungsgrad ist also

$\displaystyle \eta =\frac{U_{2}-U_{3}}{U_{2}}= \frac{\frac{f}{2}NkT_{2}-\frac{f}{2}NkT_{3}}{\frac{f}{2}NkT_{2}}=\frac{T_{2}-T_{3}}{T_{2}}$ (3.209)

Genauer betrachtet wird bei der Verbrennung Luft mit der Temperatur $ T_1$ auf $ T_2$ erwärmt. Die zugeführte Energie ist $ U_{2}-U_{1}$. Die abgegebenen Gase mit der Temperatur $ T_3$ werden an die Umgebung mit $ T_4$ abgegeben. Die Verluste sind also $ U_{3}-U_{4}$. Schliesslich wird noch mechanische Energie benötigt, um die angesaugte Luft von $ T_4$ auf $ T_1$ zu erwärmen, also eine Energie von $ U_1-U_4$. Die Energiebilanz ist

$\displaystyle Q_{ein}$ $\displaystyle = U_2 - U_1$     Verbrennung    
$\displaystyle W_{ab}$ $\displaystyle = U_2-U_3$     Arbeitstakt    
$\displaystyle Q_{Verlust}$ $\displaystyle = U_3 -U_4$     Verluste an die Umwelt    
$\displaystyle W_{Kompr.}$ $\displaystyle = U_1-U_4$     Kompr.    
$\displaystyle W_{netto}$ $\displaystyle = W_{ab}-W_{Kompr.}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle U_2-U_3-U_1+U_4$ Netto mech. Energie    

Der Wirkungsgrad ist dann

$\displaystyle \eta =\frac{W_{netto}}{Q_{ein}}=\frac{U_{2}-U_{1}- U_{3}+U_{4} }{U_{2}-U_{1}}$ (3.210)

Nun liegen die Temperaturen $ T_{2}$ und $ T_{3}$ auf der gleichen Adiabaten.

$\displaystyle \left( \frac{T_{2}}{T_{3}}\right) =\left( \frac{V_{2}}{V_{3}}\right) ^{1-\gamma}
$

Ebenso liegen $ T_4$ und $ T_1$ auf einer Adiabaten.

$\displaystyle \left( \frac{T_{1}}{T_{4}}\right) =\left( \frac{V_{1}}{V_{4}}\right) ^{1-\gamma}
$

Weiter ist nach unserem $ pV$-Diagramm $ V_1=V_2$ und $ V_3=V_4$, also

$\displaystyle \frac{V_2}{V_3} = \frac{V_1}{V_4}
$

Damit ist

$\displaystyle \frac{T_2}{T_3} = \frac{T_1}{T_4}
$

Also muss gelten

$\displaystyle T_1$ $\displaystyle = \alpha T_2$ $\displaystyle U_1$ $\displaystyle = \alpha U_2$    
$\displaystyle T_4$ $\displaystyle = \alpha T_3$ $\displaystyle U_4$ $\displaystyle = \alpha U_3$    

Eingesetzt in Gleichung (3.62) erhalten wir

$\displaystyle \eta$ $\displaystyle =\frac{U_{2}-U_{1}- U_{3}+U_{4}}{U_{2}-U_{1}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{U_{2}-\alpha U_2- \left(U_{3}-\alpha U_3\right) }{U_{2}-\alpha U_2}$    
  $\displaystyle = \frac{U_{2}\left(1-\alpha\right)- U_{3}\left(1-\alpha\right) }{U_{2}\left(1-\alpha\right)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{U_2-U_3}{U_2}$    
  $\displaystyle = \frac{T_2-T_3}{T_2}$ (3.211)

Dies ist das gleiche Resultat wie vorher. Dies ist so, da wir für die Übergänge $ T_4\rightarrow T_1$ und $ T_2 \rightarrow T_3$ Adiabaten angenommen hatten.

Da die wesentlichen Takte adiabatisch und isochor sind, können wir den Wirkungsgrad auch mit dem Kompressionsverhältnis ausdrücken ($ V_1=V_2$ und $ V_3=V_4$):

$\displaystyle \kappa =\frac{p_{1}}{p_{4}}=\left( \frac{V_{1}}{V_{4}} \right) ^{-\gamma }=\left( \frac{V_{2}}{V_{3}} \right) ^{-\gamma }=\frac{p_{2}}{p_{3}}$ (3.212)

Daraus berechnet man

$\displaystyle \frac{T_{3}}{T_{2}}= \left( \frac{V_{3}}{V_{2}} \right) ^{1-\gamm...
...frac{p_{3}}{p_{2}} \right)^{1-\frac{1}{\gamma } }=\kappa ^{\frac{1}{\gamma }-1}$ (3.213)

Mit $ \gamma = \frac{f+2}{f}$ wird

$\displaystyle \eta =1-\frac{T_{3}}{T_{2}}=1-\kappa ^{\frac{1}{\gamma }-1}=1-\kappa ^{\frac{ -2}{f+2}}$ (3.214)

Carnot-Maschine

Def. Entropie:

$\displaystyle dS=\frac{\delta Q}{T}$ (3.215)

Arbeitsdiagramm:

Weiter gilt

$\displaystyle dU=\delta Q+\delta W$ (3.216)

Isotherme:

$\displaystyle \delta Q 0 -\delta W$ (3.217)

Adiabaten:

$\displaystyle \delta Q$ $\displaystyle =0$ (3.218)
$\displaystyle dU$ $\displaystyle =\delta W$ (3.219)

Wärmebäder $ T_2>T_1$.

Wärmeaustausch auf Isotherme:

$\displaystyle \Delta Q=\int\limits_{S_{1}}^{S_{2}}T dS=T\Delta S$ (3.220)

Nutzarbeit:

$\displaystyle W=-\Delta W_{2}+\Delta W_{1}=\Delta Q_{2}-\Delta Q_{1}=T_{2}\Delta S-T_{1}\Delta S=\left( T_{2}-T_{1}\right) \Delta S$ (3.221)

also

$\displaystyle \eta =\frac{W}{\Delta Q_{2}}=\frac{\Delta Q_{2}-\Delta Q_{1}}{\De...
...ac{\left( T_{2}-T_{1}\right) \Delta S}{T_{2}\Delta S}=\frac{T_{2}-T_{1}}{T_{2}}$ (3.222)

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm