Unterabschnitte

Wärmeleitung

Mechanismus:


Wärmeleitung ist Energietransport durch Phononen.

Sei $ T(x,y,z)$ die Temperaturverteilung.

$ \Rightarrow$ Wärmestromdichte $ \vec{j}=-\lambda \textrm{div} {}T$ Wärmeleitungsgleichung

$ \lambda :$ Wärmeleitfähigkeit $ \left[\lambda\right] = \frac{W}{K m}$

$ j:$ Wärmestromdichte: $ \left[j\right] = \frac{W}{m^{2}}$

Wärmestrom

$\displaystyle P=\int\limits_{A} \vec{j} d\vec{a}$ (3.223)

Lineare Wärmeleitung

Wir betrachten die Wärmeleitung durch eine Prisma mit der Länge $ \ell$ entlang $ x$ und einem kleinen Querschnitt $ A\ll \ell^2$.

$ j=const$, $ \frac{\partial T}{\partial y}=0$, $ \frac{\partial T}{\partial z}=0$
$ j_x=\lambda \frac{\partial T}{
\partial x}$ $ \Rightarrow$ $ T=T_{1}+\left( T_{2}-T_{1}\right) \frac{x}{\ell}$
$ P=A\lambda \frac{T_{2}-T_{1}}{\ell}$    


Analog zu den Flüssigkeiten gibt es für Wärme eine Kontinuitätsgleichung

$\displaystyle \dot{T}=-\frac{1}{\rho c}\textrm{div} {}\vec{j}$ (3.224)

$ \rho$: Dichte $ \left[\rho\right] = \frac{kg}{m^3}$

$ c$: Wärmekapazität $ \left[c\right] = \frac{J}{K  kg}$

also

$\displaystyle \dot{T}=\frac{\lambda }{\rho c}\textrm{div} {}\textrm{grad} {}T=\frac{\lambda }{\rho c}\Delta T$ (3.225)

Wenn Wärmequellen vorhanden sind

$\displaystyle \dot{T}=\left( \frac{1}{\rho c}\left( -\textrm{div} {}\vec{j}+\eta \right) \right) = \frac{\lambda }{\rho e}\Delta T+\frac{1}{\rho c}\eta$ (3.226)

$ \eta$ ist die Wärmequelldichte (Einheit $ \left[\eta\right]=\frac{W }{m^{3}}$).

Stationäre Temperaturverteilung:

$ \Rightarrow$

$\displaystyle \Delta T=-\frac{\eta }{\lambda }$ (3.227)

Formel gleich wie: Geschwindigkeitspotential bei inkompressiblen Flüssigkeiten, Elektrostatik


Wärmeübertrag

Kontakt mit Kontaktfläche $ A$: $ P=\alpha A\left( T_{1}-T_{2}\right)$

$ \alpha$: Proportionalitätswert $ \left[\alpha\right] = \frac{W}{K m^2}$

Seien die $ c_i$ die Wärmekapazitäten und $ m_i$ die Massen der Kontaktpartner $ 1$ und $ 2$.

Wenn $ T_{2}=const$ ist (Wärmebad, $ c_{2}=\infty$) gilt:

  $\displaystyle P$ $\displaystyle =m_1 c_{1}\dot{T}_{1} \notag$ (3.228)
$\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \dot{T}_{1}$ $\displaystyle =\frac{\alpha A}{m_1 c_{1}}\left( T_{1}-T_{2}\right)$ (3.229)

also ändert die Temperatur von $ m_1$ mit der Zeit wie

$\displaystyle T_{1}-T_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( T_{10}-T_{2}\right) e^{-\frac{t}{\tau }}$ (3.230)

Newtonsches Strahlungsgesetz

Bemerkung: wenn die Wärmeleitfähigkeit als konzentriertes Element behandelt werden kann gelten die Kirchhoffschen Gesetze.

Wärmeleitung in einem Gas

Sei die mittlere freie Weglänge $ \ell$ klein gegen $ L$, den Abstand zweier unendlich ausgedehnter Platten

Wir betrachten die Teilchen, nach dem letzten Zusammenstoss die Fläche $ da$ queren. Wir nehmen an, dass es keine Konvektion gibt und dass das Gas an den Wänden deren Temperatur hat. Weiter sei $ T_1>T_{2}$ Bei einer Fläche parallel zu den Platten an der Position $ x_{0}$ ist dann

$\displaystyle E_{kin\text{,} {l\rightarrow r}}>E_{kin\text{,} {r\rightarrow l}}$

Anzahl Atome auf Kugelfläche:

$\displaystyle N =\underset{Umfang}{\underbrace{2\pi r\sin \vartheta }}\cdot rd\vartheta /4\pi r^{2}=\frac{1}{2}\sin \vartheta d\vartheta$ (3.231)

Der Fluss durch Fläche $ da$ in der Zeit $ dt$ ist

$\displaystyle \left<v\right>\cos
\vartheta dt$

wobei $ \vartheta$ der Einfallswinkel (zum Lot) der Teilchen ist.

Mit Teilchendichte $ n$ wird der Fluss:

$\displaystyle Fn\left<v\right>\cos \vartheta \frac{1}{2}\sin \vartheta d\vartheta
$

Sei $ T\left( x_{0}\right) =T_{0}$. Die freie Flugstrecke ist dann proportional zu $ \ell$.

An der Stelle des letzten Zusammenstosses ist

$\displaystyle T_{0}-\left.\frac{dT}{dx}\right\vert_{x_{0}}{\ell}\cos \vartheta $

Die transportierte kinetische Energie ist

$\displaystyle \frac{3}{2}k\left( T_{0}-\left.\frac{dT}{dx}\right\vert_{x_{0}}\ell\cos
\vartheta \right)
$

$\displaystyle P$ $\displaystyle = \frac{dE}{dt}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}Fn\left<v\right>\frac{3}{2}k\left\{ T_{0}\int\limits_...
...l \int\limits_{0}^{\pi /2}\sin \vartheta \cos ^{2}\vartheta d\vartheta \right\}$ (3.232)

Also ist

$\displaystyle P_{l\rightarrow r}=\frac{3}{4}n\left<v\right>kF\left( \frac{1}{2}T_{0}-\frac{1}{3}\left.\frac{ dT}{dx}\right\vert _{x_{0}}\ell\right)$ (3.233)

und in der umgekehrten Richtung

$\displaystyle P_{r\rightarrow l}=\frac{3}{4}n\left<v\right>kF\left( \frac{1}{2}T_{0}-\frac{1}{3}\left.\frac{ dT}{dx}\right\vert _{x_{0}}\ell\right)$ (3.234)

In der Summe ist die Wärmeleistung

$\displaystyle \frac{dQ}{dt}=P_{l\rightarrow r}-P_{r\rightarrow l}=-\frac{1}{2}n\left<v\right>kF\ell\left.\frac{dT}{dx} \right\vert _{x_{0}}$ (3.235)

Die Wärmeleitfähigkeit wird damit

$\displaystyle \lambda =\frac{1}{2}n\left<v\right>k\ell$ (3.236)

Nun ist $ \ell=\frac{1}{\pi d^{2}n\sqrt{2}}$ die frei Weglänge und $ \left<v\right>=\left( \frac{8kt}{\pi m}\right) ^{\frac{1}{2}}$ die mittlere Geschwindigkeit. Damit bekommen wir

$\displaystyle \lambda =\frac{1}{2}nk\left( \frac{8kT}{\pi m}\right) ^{\frac{1}{...
...{2}n\sqrt{2}}=\frac{k}{\pi d^{2}}\left( \frac{kT}{\pi m} \right) ^{\frac{1}{2}}$ (3.237)

unabhängig von $ n$ und proportional zu $ \sqrt{\frac{T}{m}}$.

Wenn $ \ell\gg L$ ist, bewegen sich die Moleküle von einer Wand zu der anderen Wand, ohne dass sie stossen. Alle Moleküle, die von der Wand $ 1$ streuen, haben eine Geschwindigkeitsverteilung, die der Temperatur $ T_1$ entspricht. Alle Moleküle, die von der Wand $ 2$ streuen, haben eine Geschwindigkeitsverteilung, die der Temperatur $ T_2$ entspricht. Das Gas hat somit keine thermische Verteilung und insbesondere keinen Temperaturgradienten.

Anwendungen: Thermosflasche, Pirani-Vakuummeter.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm