Wärmereservoire

Die klassische Definition eines Wärmereservoirs lautet:

Ein Wärmereservoir hat die Wärmekapazität

$\displaystyle C=\infty$ (3.266)

Die statistische Betrachtung geht so: Wir haben zwei Systeme $ A$ und $ A'$ im Kontakt. Das System $ A'$ ist ein Wärmebad oder Wärmereservoir, wenn $ T'$ sich kaum ändert bei der Wärmezufuhr $ Q$. Die kann in einer Gleichung so geschrieben werden:

$\displaystyle \left\vert \frac{\partial T'}{\partial E'}\cdot Q'\right\vert \ll T'$ (3.267)

Daraus folgt

$\displaystyle \left\vert \frac{\partial \beta '}{\partial E'}Q'\right\vert \ll \beta '$ (3.268)

dann sollte auch

$\displaystyle \frac{\tilde{E}}{\tilde{E}'}\ll 1$

sein.

Sei nun $ \Omega '\left( E'\right) $ die Anzahl der zugänglichen Zustände von $ A'$ im Energieintervall von $ E$ bis $ E+\delta E$. Das System $ A'$ absorbiere die Energie $ \Delta E'=Q'$. Dann lautet die Taylor-Entwicklung

$\displaystyle \ln \Omega '\left( E'+Q'\right) -\ln \Omega '\left( E'\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(
\frac{\partial \ln \Omega '\left( E'\right) }{\partial E'}...
...ga '\left( E'\right) }{\partial E^{'2}}\right)
Q^{'2}+O\left(Q'^3\right)
\notag$ (3.269)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \beta 'Q'+\frac{1}{2}\frac{\partial \beta'}{\partial
E'}Q^{'2}+O\left(Q'^3\right)$ (3.270)

Die Terme 2. und höherer Ordnung können vernachlässigt werden, da mit Gleichung (3.120) gilt

$\displaystyle \frac{\partial\beta'}{\partial E'}Q'^2 = \left(\frac{\partial\beta'}{\partial
E'}Q'\right)Q' \ll \beta' Q'$

Damit bekommen wir

$\displaystyle \ln \left( \Omega '\left( E'+Q'\right) -\ln \Omega '\left( E'\right) \right) =\beta 'Q'=\frac{Q'}{kT'}$ (3.271)

oder

$\displaystyle \Delta S'=\frac{Q'}{T'}$ (3.272)

wenn die Wärmemenge $ Q'$ mit einem Wärmebad ausgetauscht wird.

Eine analoge Rechnung gilt auch für infinitesimale Wärmemengen $ \delta Q$.

Sei $ \delta Q\ll E$. Dann haben wir

$\displaystyle \ln \Omega \left( E+\delta Q\right) -\ln \Omega \left( E\right) \...
... \frac{1}{2}\frac{\delta ^{2}\ln \Omega }{E^{2}}\delta Q^{2}+O\left(Q'^3\right)$ (3.273)

und wieder

$\displaystyle dS=\frac{\delta Q}{T}$ (3.274)

Diese Gleichung hatten wir schon bei der nichtstatistischen Betrachtung der Entropie verwendet. Es ist doch beruhigend, dass die statistische Betrachtung auf die gleichen Gesetze wie die klassische Betrachtung führt.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm