Wie breit ist das Maximum von $ \Omega (E)$?

(Siehe Reif, Statistical and Thermal Physics [Rei65, pp. 108])

Wir betrachten wieder zwei Systeme $ A$ und $ A'$ im Kontakt. $ A$ habe die Energie $ E$, $ A'$ die Energie $ E'=E_0-E$, wobei $ E_0$ die Energie des gesamten systems $ A_0 = A+A'$ sein soll. Wir entwickeln die Energie $ E$ um ihren Maximalwert $ \tilde{E}$ mit

$\displaystyle \eta =E-\tilde{E}$

in eine Taylorreihe.


$\displaystyle \ln \Omega \left( E\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln \Omega \left( \tilde{E}\right) +\frac{
\partial \ln \Omega \l...
...^{2}\ln
\Omega \left( \tilde{E}\right) }{\partial E^{2}}\eta ^{2}+\ldots \notag$ (3.275)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln \Omega \left( \tilde{E}\right) +\beta \eta -\frac{1}{2}\lambda \eta
^{2}+\ldots$ (3.276)

Dabei haben wir $ \beta = \partial \ln\Omega/\partial E$ verwendet. Weiter haben wir $ \lambda = -\partial^2\ln\Omega/\partial E^2$ definiert.

Für das System $ A'$ gilt

$\displaystyle \tilde{E}'=E_{0}-\tilde{E}$

und damit

$\displaystyle E'-\tilde{E}'=-E+\tilde{E}=-\eta$ (3.277)

Damit bekommen wir

$\displaystyle \ln \Omega '\left( E'\right) =\ln \Omega '\left( \tilde{E}'\right) -\beta '\eta -\frac{1}{2} \lambda '\eta ^{2}+\ldots$ (3.278)

Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten

$\displaystyle \ln \Omega \left( E\right) +\ln \Omega '\left( E'\right)$ $\displaystyle \approx \ln \Omega \left( \tilde{E}\right) +\beta \eta -\frac{1}{...
...n \Omega '\left( \tilde{E}'\right) -\beta '\eta -\frac{1}{2} \lambda '\eta ^{2}$    
  $\displaystyle =\ln\left(\Omega\left( \tilde{E}\right) \cdot \Omega '\left( \til...
...ft( \beta -\beta '\right) -\frac{1}{2}\eta ^{2}\left( \lambda +\lambda '\right)$ (3.279)

Dies ist eine quadratische Funktion in $ \eta$. Damit diese ein Maximum hat, muss der Koeffizient von $ \eta$ null und der Koeffizient von $ \eta^2$ negativ sein. Deshalb gilt beim Maximalwert von $ \Omega (E)$

$\displaystyle \beta =\beta'$

Dies bedeutet auch, dass die Temperaturen von $ A$ und $ A'$ gleich sind.

Wir setzen $ \lambda_0 = \lambda+\lambda'$ und können für die Wahrscheinlichkeiten $ p(E) \propto \Omega(E)$ schreiben:

$\displaystyle \ln p\left( E\right) =\ln p\left( \tilde{E}\right) -\frac{1}{2}\lambda _{0}\eta ^{2}$ (3.280)

oder

$\displaystyle p\left( E\right) =p\left( \tilde{E}\right) e^{-\frac{1}{2}\lambda _{0}\left( E-\tilde{E}\right) ^{2}}$ (3.281)

Die Grösse $ \lambda _{0}=\lambda+\lambda'$ muss grösser null sein, da sonst $ p(E)$ kein maximum hätte. Wenn wir eines der beiden Teilsysteme sehr viel kleiner als das andere wählen, muss auch das $ \lambda$ des grösseren Systems grösser null sein. Deshalb gilt auch $ \lambda >0$ und $ \lambda '>0.$

Mit $ \Omega =E^{f}$ folgt

$\displaystyle \lambda =-\left( -\frac{f}{\tilde{E}^{2}} \right)=\frac{f}{\tilde{E}^{2}}>0$

Aus Gleichung (3.131) folgt, dass $ p(E)$ eine Gaussverteilung ist.

Die mittlere Energie eines Systems ist also die Energie des Maximums der Gaussverteilung.

Die Gaussverteilung selber ist gegeben durch

$\displaystyle p(E) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(E-\tilde{E})^2}{2\sigma^2}}$

wobei $ \sigma$ die Standardabweichung ist. Der Vergleich mit Gleichung (3.131) ergibt:

$\displaystyle \lambda_0 = \frac{1}{\sigma^2}$





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{hauptsatz-zwei-009.eps}
$ p(E)$ und $ \ln(p(E))$ für $ \lambda = 0.001$ and $ \tilde{E}=2500$.




Weit ausserhalb des Maximums gilt

$\displaystyle \frac{1}{2}\lambda _{0}\left( E-\tilde{E}\right) ^{2} \gg 1$

Dann ist

$\displaystyle P\left( E\right) \sim 0 $

und

$\displaystyle \left\vert E-\tilde{E}\right\vert \gg \lambda _{0}^{-\frac{1}{2}}$

Die Breite der Verteilung, $ \Delta E^*=\left\vert E-\tilde{E}\right\vert$ kann man dann mit der Standardabweichung angeben, also

$\displaystyle \Delta E^*=\lambda _{0}^{-\frac{1}{2}}$ (3.282)

Wir betrachten zwei Systeme $ A$ und $ A'$ im Kontakt. Das gesamte System sei $ A_0 = A+A'$. Wenn $ A\gg A'$ ist, dann ist ist

$\displaystyle \lambda \sim \lambda _{0}$

$\displaystyle \lambda _{0}\sim \frac{f}{\tilde{E}^{2}}=\frac{f}{\left<E\right>^{2}}$ (3.283)

Wobei $ \tilde{E}$ die Energie des Maximums der Verteilung der Zustände und $ \left<E\right>$ die mittlere Energie ist. Die Breite der Verteilung ist dann

$\displaystyle \Delta E^*\sim \frac{\left<E\right>}{\sqrt{f}}$

oder

$\displaystyle \frac{\Delta E^*}{\left<E\right>}\approx \frac{1}{\sqrt{f}}$ (3.284)

Bei einem Mol Teilchen ( $ f\sim 10^{24}$) ist die Breite der Verteilung $ \frac{\Delta E}{\left<E\right>}\approx 10^{-12}$.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm