Mischungsentropie

Vorher
$ \underset{N_{1}von}{T,p,V_{1}}$ $ \underset{N_{2}}{T,p,V_{2}}$
Zwei Molekülsorten 1,2

        Ideale Gase

         $ \frac{N_{1}}{V_{2}}=\frac{N_{1}
}{V_{2}}$

Nachher         $ V=V_{1}+V_{2}$

        
$ \underset{Mischung}{T,P}$
Wenn alle Moleküle vom Typ 1 in $ V_{1}$ sind,

        ist die Entropie um $ \Delta
S=N_{1}k\ln\frac{V}{V_{1}}$ zu klein.

also

$\displaystyle \Delta S=N_{1}k\ln\frac{N}{N_{1}}$ (3.324)

also Mischungsentropie

$\displaystyle S_{M}=kN_{1}\ln\frac{N_{1}+N_{2}}{N_{1}}+kN_{2}\ln\frac{N_{1}+N2}{N_{2}}$ (3.325)

Beispiel: wir mischen $ N_{1}=N_{2}=N_{A}$ Moleküle

        (Bsp: He, Ne.)

$\displaystyle S_{M}$ $\displaystyle =k\cdot N_{A}\cdot\left( \ln2+\ln3\right) \sim$    
$\displaystyle 1,38\cdot10^{-23}\frac{J}{K}\cdot6\cdot10^{23}\cdot2\cdot0,63$ $\displaystyle \sim 13\frac{J}{K}$ (3.326)

Beispiel: $ 1ppM$ Verunreinigung in $ S_{i},$

1mol Silizium $  N_{1}=N_{A}$

$ N_{2}=N_{A}\cdot10^{-6}$

$\displaystyle S_{M}$ $\displaystyle =k\cdot N_{A}\left( 1\cdot\ln\frac{N_{A}\left( 1+10^{-6}\right) }...
...+10^{-6}\cdot\ln\frac{N_{A}\left( 1+10^{-6}\right) }{N_{A} \cdot10^{-6}}\right)$    
  $\displaystyle \approx k\cdot N_{A}\cdot10^{-6}\ln10^{6}=k\cdot N_{A}\cdot2,3\cdot 6\cdot10^{-6}$    
  $\displaystyle \approx1,2\cdot10^{-4}\frac{J}{K}$ (3.327)

Wie rechnet man Entropiedifferenzen aus

Es gilt:

$\displaystyle S_{A}-S_{i}=\underset{Gleichgewicht}{\int_{i}^{f}}\frac{\delta Q}{T}$ (3.328)

also

$\displaystyle S\left( T_{f}\right) -S\left( T_{i}\right) =\underset{Gleichgewic...
...{T}=\underset{Gleichgewicht}{\int_{i}^{f}} \frac{C_{y}\left( T'\right) dT'}{T'}$ (3.329)

wenn $ C_{y}$ unabhängig von $ T$ dann

$\displaystyle S\left( T_{f}\right) -S\left( T_{i}\right) =C_{y}\ln\frac{T_{f}}{T_{i}}$ (3.330)

Also: Was ist die Entropie von $ PbS$

Annahme: wir kennen für $ Pb$ und $ S$ jeweils $ C_{y}^{\left( Pb\right) }\left(
T\right) ,C_{y}^{\left( S\right) }\left( T\right) ,C_{y} ^{\left(
PbS\right) }\left( T\right) $

3. Hauptsatz: $ T\rightarrow0, S\rightarrow S_{0}$ unabhängig von Systemparametern

also

$\displaystyle \underset{separiert}{S^{\left( Pb+S\right) }}\left( 0\right) =S^{...
..._{\left( 0\right) }^{\left( Pb\right) }+S_{\left( 0\right) }^{\left( S\right) }$ (3.331)

$\displaystyle S^{\left( Pb\right) }\left( T\right) =S^{\left( Pb\right) }\left( 0\right) +\int_{0}^{T}\frac{C_{y}^{\left( Pb\right) }\left( T'\right) dT'}{T}$ (3.332)

also

$\displaystyle S^{\left( Pb+S\right) }\left( T\right) =S^{\left( Pb+S\right) }\l...
...t) dT'}{T'}+\int_{0}^{T}\frac{C_{y}^{\left( S\right) }\left( T'\right) dT'}{T'}$ (3.333)

anderseits

$\displaystyle S^{\left( PbS\right) }\left( T\right) =S^{\left( PbS\right) }\left( 0\right) +\int_{0}^{T}\frac{C_{y}^{\left( PbS\right) }\left( T'\right) dT'}{T'}$ (3.334)

also ist die Entropiedifferenz

$\displaystyle S^{\left( Pb+S\right) }\left( T\right) -S^{\left( PbS\right) }$ $\displaystyle =\int_{0}^{T}\frac{C_{y}^{\left( Pb\right) }\left( T'\right) dT'}...
... dT'}{T'}-\int_{0}^{T}\frac{C_{y}^{\left( PbS\right) }\left( T'\right) dT'}{T'}$    
  $\displaystyle =\int\frac{\delta Q_{\left( PbS\rightarrow Pb+s\right) }}{T}$ (3.335)

d.h. wir können aus $ C_{y}$ von $ Pb,S$ und $ PbS$ vorhersagen, welche Wärmemengen wir brauchen um $ PbS$ dissoziieren!


Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm