Unterabschnitte

Ableitungen in drei Dimensionen

Gradient in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Funktion $ y=f(x)$ als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist

$\displaystyle \frac{df(x)}{dx}$

die Steigung dieses Profiles an der Stelle $ x$. $ f(x)$ ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.

Wir können eine Funktion $ f(x,y)$ als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{gradient.eps}
Gradient als Richtung der stärksten Steigung




Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:

$\displaystyle \textrm{grad} {}{f} = \left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f(x...
...ial x} \\
\frac{\partial f(x\text{,} y)}{\partial y} \\
\end{array}\right)$

Eine skalare Funktion $ f(x,y,z)$ definiert eine Höhenlandschaft über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition

Gradient einer skalaren Funktion $ f(x,y,z)$ von drei Variablen

$\displaystyle \textrm{grad} {}{f} = \left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial f(x...
...
\frac{\partial f(x\text{,} y\text{,} z)}{\partial z} \\
\end{array}\right)$

Divergenz in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten eine Vektorfunktion

$\displaystyle \vec{f}(x$,$\displaystyle  y) = \left(
\begin{array}{c}
f_x(x\text{,} y) \\
f_y(x\text{,} y) \\
\end{array}\right)
$





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{divergenz.eps}
Vektorfeld mit Umrandung




Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. In die $ x$-Richtung heisst das, dass

$\displaystyle F_x\cdot dx = f_x(x+dx$,$\displaystyle  y)-f_x(x$,$\displaystyle  y)$

fliesst.

In die $ y$-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die $ x$-Komponente, $ f_x(x$,$  y)$ und $ f_x(x,y+dy)$ ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die $ y$-Richtung

$\displaystyle F_y\cdot dy = f_y(x$,$\displaystyle  y+dy)-f_y(x$,$\displaystyle  y)$

Die Grösse $ F=F_x+F_y$ nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Sie ist also

Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen

$\displaystyle \textrm{div} {}\vec{f}(x$,$\displaystyle  y) = \frac{\partial f_x(x\text{,} y)}{\partial x}+\frac{\partial f_y(x\text{,} y)}{\partial y}$

Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann

$\displaystyle \vec{f}(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
f_x(x\text{,} y\text{,} z) \\
...
...xt{,} y\text{,} z) \\
f_z(x\text{,} y\text{,} z) \\
\end{array}\right)
$

Wir definieren

Divergenz einer Vektorfunktion $ \vec{f}(x,y)$ in drei Dimensionen

$\displaystyle \textrm{div} {}\vec{f}(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \frac{\partial f_x(x\text{,} y\text{,} z)}{\partial x}+
...
...xt{,} z)}{\partial y}+\frac{\partial f_z(x\text{,} y\text{,} z)}{\partial z}$

Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion

$\displaystyle \vec{f}(x$,$\displaystyle  y) = \left(
\begin{array}{c}
f_x(x\text{,} y) \\
f_y(x\text{,} y) \\
\end{array}\right)
$





\includegraphics[width=0.4\textwidth]{rotation.eps}
Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation




Wir nehmen nun an, dass die durch $ \vec{f}(x$,$  y)$ definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die $ z$-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen

$\displaystyle R_y dx = f_y(x+dx$,$\displaystyle  y)-f_y(x$,$\displaystyle  y)$

und

$\displaystyle R_x dy = -\left(f_x(x\text{,} y+dy)-f_x(x\text{,} y)\right)$

Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei $ R_x$ ein $ -$ eingefügt. Die Stärke der Drehung ist also

Rotation in zwei Dimensionen

$\displaystyle R = \frac{\partial f_y(x\text{,} y)}{\partial x} - \frac{\partial f_x(x\text{,} y)}{\partial y}$

Für eine dreidimensionale Vektorfunktion

$\displaystyle \vec{f}(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
f_x(x\text{,} y\text{,} z) \\
...
...xt{,} y\text{,} z) \\
f_z(x\text{,} y\text{,} z) \\
\end{array}\right)
$

kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die $ xy$-Ebene auch für die $ xz$-Ebene (Rotation um $ y$) und die $ yz$-Ebene (Rotation um $ x$) gelten. Wir definieren also

Rotation in drei Dimensionen

$\displaystyle \textrm{rot} {}\vec{f}(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(\begin{array}{c}
\frac{\partial f_z(x\text{,} y\tex...
...rac{\partial f_x(x\text{,} y\text{,} z)}{\partial y} \\
\end{array}\right)
$

Man kann sich die Berechnung gut merken mit

Gedankenstütze für Rotation

$\displaystyle \textrm{rot} {}\vec{f}(x$,$\displaystyle  y$,$\displaystyle  z) = \left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\...
...xt{,} y\text{,} z) \\
f_z(x\text{,} y\text{,} z) \\
\end{array}\right)
$

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm