Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten

Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten





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Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem




Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten $ x$, $ y$ und $ z$, andererseits die Kugelkoordinaten $ r$, $ \phi$, und $ \theta$. Am Punkt $ P$ definieren wir ein mitgeführtes kartesisches Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der Zeit ab! Beide Koordinatensysteme sind jeweils durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben, die jeweils gegenseitig orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen System $ \vec{e}_{x}$, $ \mathbf{\vec{e}}_{y}$ und $ \vec{e}_{z}$ und im mitgeführten kartesischen System $ \vec{e}_{r}$, $ \vec{e}_{\phi}$ und $ \vec{e}_{\theta}$.





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Betrachtung in der $ xy$-Ebene für $ \vec{e}_\phi$




Wir betrachten zuerst die $ xy$-Ebene. Die Projektion des Ortsvektors $ \mathbf{r}$ auf diese Ebene nennen wir $ \rho$. Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)

$\displaystyle \vec{e}_{\phi}$ $\displaystyle =-\sin(\phi)\vec{e}_{x}+\cos(\phi)\vec{e}_{y}$ (G..552)
$\displaystyle \vec{\rho}$ $\displaystyle =\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\phi)\vec{e}_{y}$ (G..553)





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Betrachtung in der $ \rho z$-Ebene zur Bestimmung von $ \vec{e}_r$ und $ \vec{e}_\theta$




Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren $ \vec{\rho}$ und $ \vec{e}_{z}$. In dieser Darstellung ist $ \vec{e}_{r}$ radial und $ \vec{e}_{\theta}$ zeigt in die Richtung der positiven $ \theta$-Koordinate. Dadurch ist auch $ \vec{e}_{r}$, $ \vec{e}_{\theta}$ und $ \vec{e}_{\phi}$ in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem. Aus der Abbildung liest man

$\displaystyle \vec{e}_{r}$ $\displaystyle =\cos(\theta)\vec{e}_{z}+\sin(\theta)\vec{\rho}$ (G..554)
  $\displaystyle =\cos(\theta)\vec{e}_{z}+\sin(\theta)\left( \cos(\phi)\vec{e}_{x} +\sin(\phi)\vec{e}_{y}\right)$    
  $\displaystyle =\sin(\theta)\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\theta)\sin(\phi )\vec{e}_{y}+\cos(\theta)\vec{e}_{z}$    
$\displaystyle \vec{e}_{\theta}$ $\displaystyle =-\sin(\theta)\vec{e}_{z}+\cos(\theta)\vec{\rho}$ (G..555)
  $\displaystyle =-\sin(\theta)\vec{e}_{z}+\cos(\theta)\left( \cos(\phi)\vec{e}_{x} +\sin(\phi)\vec{e}_{y}\right)$    
  $\displaystyle =\cos(\theta)\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\cos(\theta)\sin (\phi)\vec{e}_{y}-\sin(\theta)\vec{e}_{z}$    

Dabei merken wir uns, dass $ \theta$ und $ \phi$ Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassend erhalten wir

$\displaystyle \vec{e}_{r}$ $\displaystyle =\sin(\theta)\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\sin(\theta)\sin(\phi )\vec{e}_{y}+\cos(\theta)\vec{e}_{z}$ (G..556)
$\displaystyle \vec{e}_{\theta}$ $\displaystyle =\cos(\theta)\cos(\phi)\vec{e}_{x}+\cos(\theta)\sin (\phi)\vec{e}_{y}-\sin(\theta)\vec{e}_{z}$ (G..557)
$\displaystyle \vec{e}_{\phi}$ $\displaystyle =-\sin(\phi)\vec{e}_{x}+\cos(\phi)\vec{e}_{y}$ (G..558)

Wir wissen, dass $ \vec{e}_{x}$, $ \vec{e}_{y}$ und $ \vec{e}_{z}$ ein orthogonales Koordinatensystem ist. Also ist insbesondere $ 1=\vec{e}_{x}
\cdot\vec{e}_{x}=\vec{e}_{y}\cdot\vec{e}_{y}=\vec{e}_{z}\cdot\vec{e}_{z}$ und $ 0=\vec{e}_{x}\cdot\vec{e}_{y}=\vec{e}_{y}\cdot\vec{e}_{zx}=\vec{e}_{z}
\cdot\vec{e}_{x}$. Wenn wir mit diesem Wissen $ \vec{e}_{r}\cdot\vec{e}_{r}$, $ \vec{e}_{\theta}\cdot\vec{e}_{\theta}$ und $ \vec{e}_{\phi}\cdot\vec{e}_{r\phi}$ sowie $ \vec{e}_{r}\cdot\vec{e}_{\theta}$, $ \vec{e}_{\theta}\cdot \vec{e}_{\phi}$ und $ \vec{e}_{\phi}\cdot\vec{e}_{r}$ berechnen, können wir zeigen, dass auch das Koordinatensystem $ \vec{e}_{r}$, $ \vec{e}_{\theta}$ und $ \vec{e}_{\phi}$ ein orthogonales Koordinatensystem ist.

Wenn wir dieses Gleichungssystem nach $ \vec{e}_{x}$, $ \vec{e}_{y}$ und $ \vec{e}_{z}$ auflösen, erhalten wir die Umkehrrelationen

$\displaystyle \vec{e}_{x}$ $\displaystyle =\sin(\theta)\cos(\phi)\vec{e}_{r}+\cos(\theta)\cos(\phi )\vec{e}_{\theta}-\sin(\phi)\vec{e}_{\phi}$ (G..559)
$\displaystyle \vec{e}_{y}$ $\displaystyle =\sin(\theta)\sin(\phi)\vec{e}_{r}+\cos(\theta)\sin(\phi )\vec{e}_{\theta}+\cos(\phi)\vec{e}_{\phi}$ (G..560)
$\displaystyle \vec{e}_{z}$ $\displaystyle =\cos(\theta)\vec{e}_{r}-\sin(\theta)\vec{e}_{\theta}$ (G..561)

Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.



Unterabschnitte
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm