Geschwindigkeiten

Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten

$\displaystyle \vec{r}= \begin{pmatrix}x  y  z \end{pmatrix} =x\vec{e}_{x}+y\vec{e}_{y}+z\vec{e}_{z}$ (G..562)

der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann

$\displaystyle \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}= \begin{pmatrix}\frac{dx}{dt}  \fra...
...\dot{z} \end{pmatrix} =\dot{x}\vec{e}_{x}+\dot{y}\vec{e}_{y}+\dot{z}\vec{e}_{z}$ (G..563)

Wir verwenden die Beziehungen

$\displaystyle x$ $\displaystyle =r\sin(\theta)\cos(\phi)$ (G..564)
$\displaystyle y$ $\displaystyle =r\sin(\theta)\sin(\phi)$ (G..565)
$\displaystyle z$ $\displaystyle =r\cos(\theta)$ (G..566)

und leiten sie ab. Wir erhalten

$\displaystyle \dot{x}$ $\displaystyle =\dot{r}\sin(\theta)\cos(\phi)+r\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta }-r\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}$ (G..567)
$\displaystyle \dot{y}$ $\displaystyle =\dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\cos(\theta)\sin(\phi)\dot{\theta }+r\sin(\theta)\cos(\phi)\dot{\phi}$ (G..568)
$\displaystyle \dot{z}$ $\displaystyle =\dot{r}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\dot{\theta}$ (G..569)

Wir setzen in die Gleichung G.12 die Gleichungen G.8, G.9, G.10, G.16, G.17 und G.18 ein und ordnen nach $ \vec{e}_{r}$, $ \vec{e}_{\theta}$ und $ \vec{e}_{\phi}$.

$\displaystyle \vec{v}=$ $\displaystyle \dot{x}\vec{e}_{x}+\dot{y}\vec{e}_{y}+\dot{z}\vec{e}_{z}$ (G..570)
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{x}\left[ \sin(\theta)\cos(\phi)\vec{e}_{r}+\cos(\theta)\cos(\phi )\vec{e}_{\theta}-\sin(\phi)\vec{e}_{\phi}\right]$    
  $\displaystyle +\dot{y}\left[ \sin(\theta)\sin(\phi)\vec{e}_{r}+\cos(\theta)\sin(\phi )\vec{e}_{\theta}+\cos(\phi)\vec{e}_{\phi}\right]$    
  $\displaystyle +\dot{z}\left[ \cos(\theta)\vec{e}_{r}-\sin(\theta)\vec{e}_{\theta}\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left[ \dot{x}\sin(\theta)\cos(\phi)+\dot{y}\sin(\theta)\sin(\phi)+\dot {z}\cos(\theta)\right] \vec{e}_{r}$    
  $\displaystyle +\left[ \dot{x}\cos(\theta)\cos(\phi)+\dot{y}\cos(\theta)\sin(\phi)-\dot {z}\sin(\theta)\right] \vec{e}_{\theta}$    
  $\displaystyle +\left[ -\dot{x}\sin(\phi)+\dot{y}\cos(\phi)\right] \vec{e}_{\phi }$    

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten $ \vec{e}_{r}$, $ \vec{e}_{\theta}$ und $ \vec{e}_{\phi}$ getrennt. Wir beginnen mit $ \vec{e}_{r}$.

$\displaystyle v_{r} =$ $\displaystyle \dot{x}\sin(\theta)\cos(\phi)+\dot{y}\sin(\theta)\sin(\phi)+\dot {z}\cos(\theta)$ (G..571)
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left[ \dot{r}\sin(\theta)\cos(\phi)+r\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta }-r\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}\right] \sin(\theta)\cos(\phi)$    
  $\displaystyle +\left[ \dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\cos(\theta)\sin(\phi)\dot{\theta }+r\sin(\theta)\cos(\phi)\dot{\phi}\right] \sin(\theta)\sin(\phi)$    
  $\displaystyle +\left[ \dot{r}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\dot{\theta}\right] \cos (\theta)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\left[ \sin(\theta)\cos(\phi)\sin(\theta)\cos(\phi)+\sin (\theta)\sin(\phi)\sin(\theta)\sin(\phi)+\cos(\theta)\cos(\theta)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\theta}\left[ \cos(\theta)\cos(\phi)\sin(\theta)\cos(\phi )+\cos(\theta)\sin(\phi)\sin(\theta)\sin(\phi)-\sin(\theta)\cos(\theta )\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\phi}\left[ -\sin(\theta)\sin(\phi)\sin(\theta)\cos(\phi )+\sin(\theta)\cos(\phi)\sin(\theta)\sin(\phi)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\left[ \sin^{2}(\theta)\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\theta)\sin^{2} (\phi)+\cos^{2}(\theta)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\theta}\left[ \cos(\theta)\cos^{2}(\phi)\sin(\theta)+\cos (\theta)\sin^{2}(\phi)\sin(\theta)-\sin(\theta)\cos(\theta)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\phi}\left[ -\sin^{2}(\theta)\sin(\phi)\cos(\phi)+\sin^{2} (\theta)\sin(\phi)\cos(\phi)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\left[ \sin^{2}(\theta)\left( \cos^{2}(\phi)+\sin^{2} (\phi)\right) +\cos^{2}(\theta)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\theta}\left[ \cos(\theta)\sin(\theta)\left[ \cos^{2}(\phi )+\sin^{2}(\phi)\right] -\sin(\theta)\cos(\theta)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\left[ \sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)\right] +r\dot{\theta }\left[ \cos(\theta)\sin(\theta)-\sin(\theta)\cos(\theta)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}$    

Wir fahren mit $ \vec{e}_{\theta}$ weiter.

$\displaystyle v_{\theta} =$ $\displaystyle \dot{x}\cos(\theta)\cos(\phi)+\dot{y}\cos(\theta)\sin (\phi)-\dot{z}\sin(\theta)$ (G..572)
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left[ \dot{r}\sin(\theta)\cos(\phi)+r\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta }-r\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}\right] \cos(\theta)\cos(\phi)$    
  $\displaystyle +\left[ \dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\cos(\theta)\sin(\phi)\dot{\theta }+r\sin(\theta)\cos(\phi)\dot{\phi}\right] \cos(\theta)\sin(\phi)$    
  $\displaystyle -\left[ \dot{r}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\dot{\theta}\right] \sin (\theta)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\left[ \sin(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi)+\sin (\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\sin(\phi)-\cos(\theta)\sin(\theta)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\theta}\left[ \cos(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi )+\cos(\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\sin(\phi)+\sin(\theta)\sin(\theta )\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\phi}\left[ -r\sin(\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi )+\sin(\theta)\cos(\phi)\cos(\theta)\sin(\phi)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\left[ \sin(\theta)\cos(\theta)\cos^{2}(\phi)+\sin(\theta )\cos(\theta)\sin^{2}(\phi)-\cos(\theta)\sin(\theta)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\theta}\left[ \cos^{2}(\theta)\cos^{2}(\phi)+\cos^{2}(\theta )\sin^{2}(\phi)+\sin^{2}(\theta)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\phi}\left[ -r\sin(\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi )+\sin(\theta)\sin(\phi)\cos(\theta)\cos(\phi)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\left[ \sin(\theta)\cos(\theta)-\cos(\theta)\sin(\theta)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\theta}\left[ \cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle r\dot{\theta}$    

Wir schliessen mit $ \vec{e}_{\phi}$.

$\displaystyle v_{\phi} =$ $\displaystyle -\dot{x}\sin(\phi)+\dot{y}\cos(\phi)$ (G..573)
$\displaystyle =$ $\displaystyle -\left[ \dot{r}\sin(\theta)\cos(\phi)+r\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta }-r\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}\right] \sin(\phi)$    
  $\displaystyle +\left[ \dot{r}\sin(\theta)\sin(\phi)+r\cos(\theta)\sin(\phi)\dot{\theta }+r\sin(\theta)\cos(\phi)\dot{\phi}\right] \cos(\phi)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\left[ -\sin(\theta)\cos(\phi)\sin(\phi)+\sin(\theta)\sin(\phi )\cos(\phi)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\theta}\left[ -\cos(\theta)\cos(\phi)\sin(\phi)+\cos(\theta )\sin(\phi)\cos(\phi)\right]$    
  $\displaystyle +r\dot{\phi}\left[ \sin(\theta)\sin(\phi)\sin(\phi)+\sin(\theta)\cos (\phi)\cos(\phi)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle r\dot{\phi}\left[ \sin(\theta)\sin^{2}(\phi)+\sin(\theta)\cos^{2} (\phi)\right]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle r\sin(\theta)\dot{\phi}$    

Zusammenfassend haben wir

$\displaystyle \vec{v}=$ $\displaystyle v_{r}\vec{e}_{r}+v_{\theta}\vec{e}_{\theta}+v_{\phi}\vec{e}_{\phi }$ (G..574)
$\displaystyle =$ $\displaystyle \dot{r}\vec{e}_{r}+r\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+r\sin(\theta)\dot{\phi }\vec{e}_{\phi}$    

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm