Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken



(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, 146])

\includegraphics[width=0.3\textwidth]{mathematik-001.eps} Dreieck

halber Dreiecksumfang
$ s = \frac{a+b+c}{2}$
Radius des Umkreises
$ R = \frac{a}{2\sin\alpha}= \frac{b}{2\sin\beta}= \frac{c}{2\sin\gamma}$
Radius des Inkreises
$ r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}=
s\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\gamma}{2} =
4 R \sin\frac{\alpha}{2}\frac{\beta}{2}\frac{\gamma}{2}$
Flächeninhalt
$ S =\frac{1}{2}ab\sin\gamma = 2 R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=
rs= $
$ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
Sinussatz
$ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}= 2R$
$ R$ ist der Umkreisradius
Projektionssatz
$ c = a\cos\beta + b\cos\alpha$
Kosinussatz oder Satz des Pythagoras im schiefwinkligen Dreieck
$ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
Mollweidsche Gleichungen
$ (a+b)\sin\frac{\gamma}{2}=c \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$
$ (a-b)\cos\frac{\gamma}{2}=c \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$
Tangenssatz
$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{\tan\frac{\alpha-\beta}{2}}$
Halbwinkelsatz
$ \tan\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$
Tangensformeln
$ \tan\alpha = \frac{a \sin\beta}{c-a\cos\beta}=\frac{a\sin\gamma}{b-a\cos\gamma}$
Beziehungen für halbe Winkel
$ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$
$ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, 148])



gegeben Formeln
1.
1 Seite und 2 Winkel ( $ a,\alpha,\beta$)
$ \gamma = \pi-\alpha-\beta$, $ b = \frac{a \sin\beta}{\sin\alpha}$, $ c = \frac{a \sin\gamma}{\sin\alpha}$, $ S = \frac{1}{2}a b \sin\gamma$
2.
2 Seiten und der eingeschlossene Winkel ( $ a,b,\gamma$)
$ \tan\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cot\frac{\gamma}{2}$ $ \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}$ $ \alpha$ und $ \beta$ werden aus $ \alpha+\beta$ und $ \alpha-\beta$ berechnet. $ c = \frac{a \sin\gamma}{\sin\alpha}$, $ S = \frac{1}{2}a b \sin\gamma$
3.
2 Seiten und der einer von ihnen gegenüberliegende Winkel ( $ a,b,\alpha$)
$ \sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a}$ Für $ a\geq b$ ist $ \beta < \frac{\pi}{2}$ und eindeutig bestimmt. Für $ a<b$ sind die folgenden Fälle möglich:
  1. $ \beta$ hat für $ b\sin\alpha < a$ zwei Werte $ \beta_2 = \pi-\beta_1$
  2. $ \beta$ hat genau einen Wert ( $ \frac{\pi}{2}$) für $ b\sin\alpha = a$
  3. Für $ b\sin\alpha > a$ ist es unmöglich, ein Dreieck zu konstruieren.
$ \gamma = \pi-\alpha-\beta$ $ c = \frac{a \sin\gamma}{\sin\alpha}$ $ S = \frac{1}{2}a b \sin\gamma$
4.
3 Seiten ($ a,b,c$)
$ r = \sqrt {\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$, $ \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{s-a}$, $ \tan\frac{\beta}{2} = \frac{r}{s-b}$, $ \tan\frac{\gamma}{2} = \frac{r}{s-c}$, $ S = rs = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
Formeln für schiefwinklige ebene Dreiecke


Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm