Als Vorstufe betrachten wir die durch eine Linse induzierte abstandsabhängige Phasendifferenz für paraxiale Strahlen. Die Linsenkrümmung sei . Die -Ebene sei senkrecht zur optischen Achse. Dann ist die Dicke der Sammellinse durch gegeben. Der optische Weg setzt sich dann aus zusammen. Die Zeit, die Das Licht für das durchlaufen dieser Strecke benötigt ist
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Mit und unter Weglassung aller konstanten Terme bekommt man
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Mit ist das Resultat
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Wenn wir mit die Amplitudenverteilung links von der Linse und mit die Verteilung rechts von der Linse beschreiben, gilt
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Den gleichen Effekt erreicht man mit einem Medium, das die folgende Brechungsindexvariation hat
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Mit dem Fermatschen Prinzip in differentieller Schreibweise
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kann die Trajektorie des Lichtstrahls ausgerechnet werden. Dabei ist die Weglänge entlang des Lichtstrahls. Bei paraxialen Strahlen kann durch ersetzt werden. Damit ist die Gleichung für paraxiale Strahlen
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Wenn der Strahl am Eingang die Position und die Steigung hat, ist die Lösung
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Aus der Elektrizitätslehre folgt (ohne Ableitung), dass für das elektrische Feld
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gilt. Wir beschränken uns auf den Fall wo gilt. Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten für Funktionen, die nur von abhängen, ist
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Wir verwenden die Abkürzung . Weiter setzen wir an:
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und erhalten
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Wenn die Intensität entlang sich nur wenig ändert , ist, können wir für ansetzen
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Wir setzen dies ein und bekommen
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Da dies Gleichung für alle gelten soll, müssen die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von einzeln verschwinden. Also ist
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In einem homogenen Medium ist so dass wir die Gleichung
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erhalten. Wir definieren die Funktion über
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Durch Einsetzen sehen wir, dass
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Damit muss sein. Somit ist
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Bequemer ist es im weiteren, wenn wir die Funktion
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verwenden. Diese hat die Form
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Wir setzen in die Gleichung für ein und erhalten
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Wir nehmen an, dass rein imaginär ist. Dann gilt für die örtliche Amplitudenverteilung
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Wir setzen , berücksichtigen und verwenden die Identität und erhalten für den ersten Term im obigen Produkt
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Der zweite Term wird
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Die folgenden Definitionen sind üblich
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Mit dieser abgekürzten Schreibweise wird
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Weiter ist
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Die Grösse beschreibt die Gaussschen Strahlen. Der Realteil gibt den Krümmungsradius der Wellenfronten, der Imaginärteil den Strahldurchmesser.
Die obigen Parameter haben die folgende Bedeutung
Die transversale Amplitudenverteilung folgt einer Gausskurve, wie man aus dem Term ersehen kann. ist die Distanz zur optischen Achse, bei der die Intensität um den Faktor vom Maximum abgefallen ist. beschreibt den minimalen Strahldurchmesser.
ist der Krümmungsradius der Wellenfronten. Aus ist ersichtlich, dass ist. Damit nähern Gausssche Wellen im Fokus eine ebene Welle an. Ebenso ist . Auch für sehr grosse Distanzen sind Gausssche wellen eine gute Approximation für ebene Wellen.
Weit weg vom minimalen Strahldurchmesser kann ein Gaussscher Strahl durch einen Öffnungswinkel
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beschrieben werden. Es gilt deshalb die folgende Gleichung
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die formal äquivalent zur Unschärferelation ist. Damit ist klar, dass ein kleinerer Brennfleck unweigerlich einen grösseren Öffnungswinkel bedeutet. In einer nullten Approximation sieht man auch, dass sein muss.
Die Transformation eines Gaussschen Strahls mit optischen Elementen, die durch die Matrix
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beschrieben. Zum Beispiel wirkt eine Linse mit der Brennweite , also der Matrix
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Wir nehmen den Kehrwert und bekommen
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Mit der Definition wird die Gleichung
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Diese Gleichung muss für den Real- und den Imaginärteil separat erfüllt sein. Also haben wir
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Wenn zwei optische Elemente mit den Matrizen
und
hintereinander geschaltet, ist das Resultat durch
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gegeben. Die Analyse dieser Gleichung zeigt, dass für die Koeffizienten auch
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gilt. Damit gelten für Gausssche Strahlen die gleichen mathematischen Formeln für die Berechnung von optischen Systemen wie bei Lichtstrahlen.
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In der Eingangsebene ist und . Dann ist
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In der Ebene ist
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Damit ist
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wobei und . In der Ebene ist
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Nun muss in der Ebene auch gelten
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In der Ebene soll der Durchmesser minimal sein, also ist . Damit muss in der obigen Gleichung der Realteil null sein. Damit ergibt sich die Bedingung
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Und damit ist auch der Ort des Strahlminimums gegeben. Der neue Strahldurchmesser ist
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Der Parameter ist der konfokale Parameter, der angibt, in welcher Distanz vom Strahlminimum der Strahldurchmesser um zunimmt. Der Wert des konfokalen Parameters ist
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Die Gaussschen Strahlen sind die Grundmode von Laserstrahlung. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine Knotenlinie hat. Es existieren weiter Moden, die durch die Anzahl Knotenlinien in horizontaler und vertikaler Richtung charakterisiert sind. Die möglichen Moden sind durch die Randbedingungen vorgegeben. So erzeugt eine vertikale Störung durch die Resonatorachse eine Mode mit zwei Maxima, die durch eine vertikale Knotenlinie getrennt sind.
Im folgenden werden Messungen von Moden gezeigt, die in der Abteilung Experimentelle Physik an vertikal emittierenden Laserdioden (VCSEL) aus der Abteilung Optoelektronik gemessen wurden.
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Nach Yariv[Yar75, 118] genügen die Moden in rechteckförmigen Wellenleiter
wobei das Hermitsche Polynom -ten Grades ist und die anderen Grössen wie bei den Gaussschen Strahlen definiert sind.