RC-Stromkreise

(Siehe Leisi, Klassische Physik II[Lei98, 88]) (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 761]) (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 790])

Materialien

Folien zur Vorlesung am 05. 12. 2002 (PDF)

Versuch zur Vorlesung: Entladen eines Kondensators EM-145

Ohne ein Verständnis von Stromkreisen sind moderne elektronische Schaltungen nicht verständlich. Wir betrachten deshalb Schaltungen aus Kondensatoren und Widerständen. Zur Erinnerung: die relevanten Gleichungen sind

• $U=R\cdot I=R\cdot \frac{dQ}{dt}$ für Widerstände

• $Q=\int I dt=U\cdot C$ für Kondensatoren

Wir betrachten die folgende Schaltung

Aufladen und entladen eines Kondensators über einen Widerstand.

Für die Zeit $t<0$ soll der Schalter $S$ in der gezeigten Stellung sein. Die Spannung am Kondensator ist $U_{C}=0$. Damit ist auch $Q=0$ und $I(t)=0$. Für $t\geq0$ wird der Kondensator $C$ mit der Spannungsquelle $U$ verbunden. Da Spannungen im quasistationären Falle sich wie potentielle Energien verhalten, kann man für

$$U_R(t) = U-U_C(t) = I(t)\cdot R$$ (3.61)

schreiben. Ebenso gilt

$$U_C(t) = \frac{Q(t)}{C} = \frac{\int\limits_0^t{I(\tau)d\tau}}{C}$$ (3.62)

Zusammen erhalten wir die Differentialgleichung

$$\dot{Q(t)}\cdot R +\frac{Q(t)}{C} = U$$ (3.63)

oder

$$\dot{Q(t)} +\frac{Q(t)}{C\cdot R} = \frac{U}{R}$$ (3.64)

mit der Anfangsbedingung $U_C(0) = 0 = Q(0)$.

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist

Partikuläre Lösung

$Q=C\cdot U$

Allgemeine Lösung

$Q(t) = C\cdot U\cdot e^{-t/(RC)}$

Die Lösung der Differentialgleichung ist

$$Q(t) =U\cdot C\left(1- e^{-t/(RC)}\right)$$ (3.65)

für $U_C(t)$ ist also

$$U_C(t) = \frac{Q(t)}{C} = U\left(1- e^{-t/(RC)}\right)$$ (3.66)

und

$$U_R(t) = I(t)\cdot R = \dot{Q}(t)\cdot R = U e^{-t/(RC)}$$ (3.67)

Ladekurven am Kondensator. Die verwendeten Werte sind $U=10V$ und $R\cdot C = 0.001 s$.

Die Differentialgleichung für das Entladen lautet

$$\dot{Q(t)}\cdot R +\frac{Q(t)}{C} = 0$$ (3.68)

wobei die Anfangsbedingung nun $U_C(0)=U$ oder $Q(0) = C\cdot U$ ist. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist

Partikuläre Lösung

$Q=0$

Allgemeine Lösung

$Q(t) = C\cdot U\cdot e^{-t/(RC)}$

Damit erhalten wir

$$U_C(t) = \frac{Q(t)}{C} = U\cdot e^{-t/(RC)}$$ (3.69)

und

$$U_R(t) = I(t)\cdot R = \dot{Q}(t)\cdot R = -U\cdot e^{-t/(RC)}$$ (3.70)

Entladekurven am Kondensator Die verwendeten Werte sind $U=10V$ und $R\cdot C = 0.001 s$.

Die Grösse $\tau = R\cdot C$ ist die Zeitkonstante der Schaltung. In der Zeit $\tau$ steigt $U_C$ beim Einschalten von $0$ auf $63\%$. Ebenso fällt beim Ausschalten die Spannung in der Zeit $\tau$ von $100 \%$ auf $37\%$ ab.

Eine alternative Ableitung dieser Gleichung verwendet eine Leistungsbetrachtung. Die Leistung der Joulschen Wärme im Widerstand und die zeitliche Änderung der Energie im Kondensator müssen gleich der von der Batterie gelieferten Leistung sein.

$$U\cdot I\cdot = R\cdot I^2 + \frac{d}{dt}\left(\frac{Q^2}{2C}\right)$$ (3.71)

oder

$$U\cdot \frac{dQ}{dt} = R \cdot\left(\frac{dQ}{dt}\right)^2+\frac{1}{C}\cdot Q \cdot \frac{dQ}{dt}$$ (3.72)

und damit

$$U = R \cdot\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}\cdot Q$$ (3.73)