Klausur
Grundkurs IIIb, Diplom Physik, Diplom Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

Prüfungstermin 13. 2. 2003, 8:00 bis 10:00

Name	Vorname	Matrikel-Nummer	Kennwort

Die Prüfungsresultate werden ab 17. 2. 2003 im Sekretariat Experimentelle Physik, N25/540, bekanntgegeben. Dabei können Sie Ihre Klausur einsehen. Damit Ihr Resultat, sobald vorhanden, per Aushang vor dem Sekretariat bekanntgegeben werden kann, müssen Sie ein Kennwort (leserlich) angeben.

Vom Korrektor auszufüllen:

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	$\Sigma$
Punkte

Note: $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

Prüfer: $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

Universität Ulm

Hinweise zur Bearbeitung der Klausur

Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.

1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner und 2 Blätter (vier Seiten) mit eigener Hand in Handschrift verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack aufbewahrt werden!

2. Die Klausur umfaßt:
   1. 2 Blätter (4 Seiten) mit 6 Aufgaben.
   2. 1 Deckblatt und dieses Hinweisblatt.
3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer aus.

4. Jede Aufgabe ergibt 6 Punkte.

5. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der Aufgabenstellung, soweit angegeben.

6. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer sowie eine Seitennummer.

7. Beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufgabennummer. Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt. Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch. Sollten Sie ausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinanderfolgende Blätter benötigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Aufgabe zu finden ist.

Viel Erfolg!

Aufgaben

1. 1. Zeigen Sie, wie man aus den Maxwellgleichungen die Wellengleichung ableitet. (1 Punkt)
   2. Geben Sie eine Anordnung von zwei Objekten an, sowie die dazu gehörenden Ladungen und/oder Ströme, die ein homogenes elektrisches und magnetisches Feld erzeugt. (0.5 Punkte)
   3. Erklären Sie mit einer Skizze die Orientierungspolarisation. Welche Eigenschaft müssen die Atome haben? (0.5 Punkte)
   4. Erklären Sie mit einer Skizze die Verschiebungspolarisation. Welche Eigenschaft müssen die Atome haben? (0.5 Punkte)
   5. Leiten Sie mit der Kontinuitätsgleichung und den entsprechenden Sätzen aus der Vektoranalysis die Knotenregel von Kirchhoff ab. (1 Punkt)
   6. Die Ankerwicklung eines Motors hat $N$ Windungen und ist rechteckig, mit der langen Seite $a$ und der kurzen Seite $b$. Die Drehachse sei parallel zu $a$ und gehe durch die Mitte der Seiten $b$. Ein Magnetfeld $B$ sei so angeordnet, dass es senkrecht zur Achse stehe. Geben Sie den Fluss durch die Ankerspule und die induzierte Spannung als Funktion des sich mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ändernden Drehwinkels der Spule an. (1 Punkt)
   7. Geben Sie die Lorentztransformation der Felder $\vec E$ und $\vec B$ an. (0.5 Punkte)
   8. Begründen Sie, warum bei einem zeitlich sich ändernden Strom die Stromverteilung nicht wie bei Gleichstrom homogen in einem homogenen Leiter ist. (1 Punkt)
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   
2. Zur Definition: Eine Leiter besteht aus zwei Holmen, verbunden durch Sprossen.
   
   Die Enden des einen Holms heissen $A$ und $B$, die des anderen $%% A'$ und $B'$. - Man lötet eine sehr lange Leiter zusammen; jede Sprosse hat einen Widerstand $R_{2}$, jeder Holm hat zwischen je zwei Sprossen den Widerstand $R_{1}$.
   1. Welchen Widerstand misst man zwischen den ''oberen'' Enden $A$ und $A'$? (2.5 Punkte)
   2. Wenn man an $AA'$ die Spannung $U$ legt, welche Spannung misst man dann zwischen den Lötstellen der ersten Sprosse, (0.5 Punkte)
      der zweiten Sprosse, (0.5 Punkte)
      der $n$-ten Sprosse? (0.5 Punkte)
   3. Kann man z.B. erreichen, dass an jeder Sprosse genau halb soviel Spannung liegt wie an der vorhergehenden? (1 Punkt)
   4. Wenn man gezwungen ist, die Leiter auf wenige Sprossen zu verkürzen: Was kann man tun, damit sich der Widerstand zwischen $A$ und $A'$ und die Spannungen an den verbleibenden Sprossen nicht ändern? Hinweis: Wie ändert sich der Widerstand zwischen $A$ und $A'$, wenn Sie die ohnehin schon sehr lange Leiter um eine weitere Sprosse ($R_{2}$) und die beiden Holmstücke ($R_{1}$) nach oben verlängern? (1 Punkt)
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   
3. Zwei Punktladungen $q_1$ und $q_2$ sind an der Peripherie einer mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um die $z$-Achse rotierenden Scheibe vom Radius $a$ diametral gegenüber befestigt. Es ist $\omega\cdot a \ll c$ und $q_1 = -q_2$. Es ist $x(t) = a\cos(\omega t)$ und $y(t)=a\sin(\omega t)$.
   1. Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt $P(y)$ auf der (raumfesten) $y$-Achse, wobei $y \gg a$ ist. (2 Punkte)
   2. Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 3a) an. (0.5 Punkte)
   3. Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt $Q(z)$ auf der (raumfesten) $z$-Achse, wobei $z \gg a$ ist. (1 Punkt)
   4. Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 3c) an. (0.5 Punkte)
   5. Berechnen Sie die Felder für die Anordnung aus der Aufgaben 3a), wenn $q_1=q_2$ ist. (1 Punkt)
   6. Berechnen Sie die Felder für die Anordnung aus der Aufgaben 3c), wenn $q_1=q_2$ ist. (1 Punkt)
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   
4. Die folgende Schaltung soll berechnet werden:
   
   Der Schalter $S$ ist für $t<0$ offen und wird bei $t=0$ geschlossen. Der Transformator ist auf einen Eisenkern mit dem Querschnitt $A$ gewickelt. Das Eisen bewirkt, dass das Magnetfeld $B$ und der Fluss nur im Eisen existiert. Die Primärwicklung hat $N_1$ Windungen, die Sekundärwicklung $N_2$ Windungen. Die Spulen haben jeweils die Länge $\ell$.
   1. Geben Sie die Induktivität der Primärwicklung an. (0.5 Punkte)
   2. Geben Sie die Induktivität der Sekundärwicklung an. (0.5 Punkte)
   3. Geben Sie die Gegeninduktivität zwischen der Primär- und der Sekundärwicklung an. Drücken Sie das Resultat mit $L_1$ und $L_2$ aus. (0.5 Punkte)
   4. Wie lautet das Differentialgleichungssystem der Schaltung ausgedrückt mit Strömen? (1 Punkt)
   5. Lösen Sie die Gleichung für $I_2$, den Strom im Sekundärkreis. (2 Punkte)
   6. Wie ändern sich der Betrag der Spannung am Widerstand $R$, $U_R$ und am Kondensator $C$, $U_C$ in der Zeit kurz nach dem Einschalten. (1 Punkt)
   7. Wie ist das asymptotische Verhalten der Spannung am Widerstand $R$, $U_R$ und am Kondensator $C$, $U_C$ für $t \rightarrow \infty$? (0.5 Punkte)
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   
5. Wir betrachten das Elektron als eine homogen geladene Kugel mit dem Radius $r_e$, der Masse $m_e=9.1\cdot 10^{-31} kg$ und der Ladung $Q=-e=-1.6\cdot 10^{-19} C$.
   1. Geben Sie an, wie man mit dem Gaussschen Gesetz das elektrische Feld als Funktion des Abstandes $r$ vom Ladungszentrum berechnet, wenn die Ladung homogen über eine Kugel mit dem Radius $R$ verteilt ist. Die Ladungsdichte sei $\rho_{el}$. (1 Punkt)
   2. Geben Sie das Resultat für $R<r$ und $R>r$ an. (1 Punkt)
   3. Berechnen Sie die potentielle Energie einer homogen mit der Ladungsdichte $\rho_{el}$ geladenen Kugelschale der Dicke $dr$, die zur homogen geladenen Kugel, Ladungsdichte $\rho_{el}$ mit dem Radius $R$ hinzugefügt wird. (1.5 Punkte)
   4. Wie gross ist die gesamte potentielle Energie, wenn sie die homogen geladene Kugel (Ladungsdichte $\rho_{el}$) vom Radius $R=0$ zum Radius $R=r_e$ aufbauen? (1 Punkt)
   5. Berechnen Sie mit der Elektronenladung $-e$ und dem Elektronenradius $r_e$ die Ladungsdichte $\rho_{el}$ und setzen Sie sie ein. (0.5 Punkte)
   6. Der klassische Elektronenradius ist so definiert, dass die elektrostatische Selbstenergie der Ladung der relativistischen Ruheenergie entspricht. Wie gross ist der klassische Elektronenradius $r_e$? (1 Punkt)
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   
6. Ein Helmholtz-Spulenpaar besteht aus zwei dünnen kreisförmigen Spulen mit dem Radius $R$ und mit $N$ Windungen, die hintereinander geschaltet sind (der gleiche Strom durchfliesst beide im gleichen Umdrehungssinn). Die Ebenen der beiden Kreise sind parallel und parallel zur $yz$-Ebene. Die Kreismittelpunkte liegen auf der $x$-Achse bei $x=-R/2$ und bei $x=R/2$.
   1. Geben Sie für die Spule bei $x=R/2$ die Abhängigkeit des Magnetfeldes auf der $x$-Achse von $x$ an. (1.5 Punkte)
   2. Benutzen Sie diese Gleichung, um das Magnetfeld des Helmholtz-Spulenpaares auf der $x$-Achse zu berechnen. (0.5 Punkte)
   3. Berechnen Sie, dass für $P=(0;0;0)$ die ersten drei Ableitungen $\partial B/\partial x$, $\partial^2 B/\partial x^2$ und $\partial^3 B/\partial x^3$. Was schliessen Sie aus dem Resultat? (2 Punkte)
   4. Nehmen Sie an, dass jede der Spulen den Radius $R=0.1 m$ sowie $N=300$ Windungen habe. Was ist $B(0)$, wenn $I_{max} = 20 A$ ist. (1 Punkt)
   5. Wie schnell muss ein Elektron sein, damit es sich in dem oben berechneten Helmholtzspulenpaar in der $yz$-Ebene um den Nullpunkt mit $R=0.01m$ bewegt. (1 Punkt)
   $\Sigma:$ 6 Punkte

Gesamt-$\Sigma:$ 36 Punkte

• $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7} N\cdot A^{-2}= 4\pi\cdot 10^{-7} T\cdot m\cdot A^{-1}$
• $\epsilon_0 = \mu_0^{-1}c^{-2}$
• $c = 3\cdot 10^8 m/s$
• $m_e=9.1\cdot 10^{-31} kg$
• $e=1.6\cdot 10^{-19} C$

Lösung

1. Vorläufig
   1. • 2. Maxwellgleichung
        
        $$\textrm{rot} {}\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}$$
        
        

      • Wir nehmen die Rotation:
        
        $$\textrm{rot} {}\textrm{rot} {}\vec E = -\textrm{rot} {}\fr... ...rtial t} = - \frac{\partial}{\partial t}\textrm{rot} {}\vec B$$
        
        

      • 4. Maxwellgleichung
        
        $$\textrm{rot} {}\vec B = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec E}{\partial t}$$
        
        
        mit $\mu_0\epsilon_0=c^{-2}$.
      • Eingesetzt:
        
        $$\textrm{rot} {}\textrm{rot} {}\vec E = -\frac{\partial}{\pa... ...tial t} = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Mit
        
        $$\textrm{rot} {}\textrm{rot} {}\vec E = \textrm{grad} {}\te... ... E = \textrm{grad} {}\textrm{div} {}\vec E -\triangle \vec E$$
        
        
        bekommt man
        
        $$\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = -c^2\triangle\vec E$$
        
        
        (0.5 Punkte)
   2. Zwei unendlich ausgedehnte Platten, eine positiv geladen, die andere negativ geladen (erzeugt das homogene $\vec E$-Feld), wobei die Ladungen (positiv und negativ) in die gleiche Richtung fliessen (dies ergibt das homogene $\vec B$-Feld. (0.5 Punkte)
   3. Die Atome müssen ein permanentes elektrisches Feld haben
      
      (0.5 Punkte)
   4. Die Atome sind keine permanenten Dipole.
      
      (0.5 Punkte)
   5. • Die Differentialform der Kontinuitätsgleichung ist
        
        $$\textrm{div} {}\vec{i}\left( \vec{x},t\right) =-\frac{\partial}{\partial t}\rho_{el}\left( \vec{x},t\right)$$
        
        

      • Die Integralform lautet (mit dem Satz von Gauss)
        
        $$\int\limits_{A}{\vec{i}}\cdot d\vec{a}=\int\limits_{V}\textrm... ...ec{i}dV=\int\limits_{V}\frac{\partial}{\partial t}\rho_{el}{dV}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Integrieren wir über eine Fläche um den Knoten und beachten, dass sich keine Ladungsmenge ansammeln darf ($C=0$) so folgt die Knotenregel. (0.5 Punkte)
   6. • Der Fluss durch die Wicklung ist
        
        $$\phi_B(t) = a\cdot b\cdot N \cdot B \cdot\cos(\omega t)$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Die induzierte Spannung ist
        
        $$U_{ind} = -\frac{d}{dt}\phi_B$$
        
        

      • Also:
        
        $$U_{ind} = -a\cdot b\cdot N \cdot B \cdot (-\omega)\cdot \sin(\omega t)$$
        
        
        oder
        
        $$U_{ind} = a\cdot b\cdot N \cdot B \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$$
        
        
        (0.5 Punkte)

   7. $$\begin{eqnarray*} E_x' & = & \gamma \left(E_x+v\cdot B_z\right) \\ E_y' & = &... ... B_z' & = & \gamma\left(B_z+ \frac{v}{c^2}E_x\right)\nonumber \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      (0.5 Punkt)
      • Zeichnung:
        
      • Bei Gleichstrom in einem zylindrischen Leiter ist das elektrische Feld konstant über dem Querschnitt. Nach dem Ampèreschen Durchflutungsgesetz ist das Magnetfeld proportional zum Abstand.

        Für den Fall eines Wechselstroms mit niedriger Frequenz müssen wir das Induktionsgesetz berücksichtigen. Nach dem Induktionsgesetz gilt für die Kurve $S$, die auf einer Ebene, in der auch die Zylinderachse liegt, liegt
        

        $$\oint\limits_S \vec E\cdot d\vec s=-\frac{d}{dt}\displaystyle... ...\limits_{A(S)}^{}\!\!\!\!\displaystyle\int{}\vec B\cdot d\vec a$$
        
        

      • Für die eingezeichnete Schlaufe gilt
        
        $$h\left[E(r-\Delta r) -E(r)\right]=\frac{d\bar B}{dt}\cdot h\cdot \Delta R$$
        
        
        wobei wieder $\bar B$ das über die Fläche $\Delta r\cdot h$ gemittelte Magnetfeld ist. Da der Strom zeitabhängig ist, muss auch das $\vec E$-Feld ortsabhängig sein. Eine homogene Stromverteilung bei Wechselstrom ist bei einem Ohmschen Leiter nicht vereinbar mit dem Induktionsgesetz. Die Taylorentwicklung liefert die betragsmässige Bedingung
        
        $$\frac{\partial E(r,t)}{\partial r} = \frac{\partial \bar B(r,t)}{\partial t}$$
        
        

      • Das elektrische Feld muss also bei Wechselstrom mit zunehmendem Abstand vom Radius zunehmen. Da der Gesamtstrom gegeben ist, ist die Stromdichte an der Oberfläche konzentriert. Dies ist der Skin-Effekt. (0.5 Punkte)
2. Vorläufig

   1. Zwischen $A$ und $A'$ messe man den Widerstand $R$ für eine sehr lange Leiter.

      Aus der Tatsache, dass überhaupt etwas Endliches herauskommt, d. h. dass der Widerstand konvergiert, folgt, dass man oben ein weiteres Glied anlöten kann, ohne $R$ zu ändern. (0.5 Punkte)

      Die zu berechnende Schaltung ist:
      
      

      $$R = (2R_1 + R) \vert\vert R_2 = \frac{R_2\cdot (2R_1+R)}{2R_1+R+R_2}$$
      
      
      (0.5 Punkte)

      
      

      $$R^2 + R R_2 +2R_1 R= 2R_1 R_2 + R R_2$$
      
      

      
      

      $$R^2+ 2R_1R -2R_1 R_2= 0$$
      
      
      (0.5 Punkte)

      
      

      $$R = \frac{1}{2} \left(-2R_1 \pm \sqrt{4R_1^2+8R_1 R_2}\right)= -R_1 \pm \sqrt{R_1^2+2R_1R_2}$$
      
      
      (0.5 Punkte)

      Nur die Lösung mit $+$ ist physikalisch sinnvoll, so dass wir

      
      

      $$R = R_1\left(\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}-1\right)$$
      
      
      (0.5 Punkte)

   2. • Legen wir zwischen $A$ und $A'$ die Spannung $U$ an, ist die Spannung über der ersten Sprosse

        
        

        $$U_1 = \frac{R}{R+2R_1}U = \frac{R_1\left(\sqrt{1+2\frac{R_2}{... ...ac{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}-1} {\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}U$$
        
        
        (0.5 Punkte)

      • Für die zweite Sprosse lautet die Gleichung:
        
        $$U_2 = \frac{R}{R+2R_1}U_1 = \frac{R^2}{(R+2R_1)^2}U = \left(... ...+2\frac{R_2}{R_1}}-1} {\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}\right)^2 U$$
        
        
        (0.5 Punkte)

      • $U_n$ berechnet man, indem man diese Formel wiederholt anwendet. Wir benützen die Tatsache, dass der Widerstand unserer unendlich langen Leiter konstant ist.

        
        

        $$U_n = \left[\frac{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}-1} {\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}\right]^nU$$
        
        
        (0.5 Punkte)

   3. Wir setzen
      
      $$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}-1} {\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}$$
      
      

      oder

      
      

      $$\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1 = 2\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}-2$$
      
      
      (0.5 Punkte)

      
      

      $$3=\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}$$
      
      

      
      

      $$9 = 1+2\frac{R_2}{R_1}$$
      
      

      
      

      $$8 = 2\frac{R_2}{R_1}$$
      
      
      
      
      $$R_2 = 4R_1$$
      
      

      $R$ ist dann $R = 2 R_1$. (0.5 Punkte)

   4. Dieses $R$ ist auch der Widerstand, mit dem man die kurze Leiter abschliessen muss, damit sie sich verhält wie eine lange. (1 Punkt)
3. Vorläufig
   1. • Das Strahlungsfeld ist $\vec E(\vec r,t) = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2} \frac{\vec a_\bot(t')}{r}$ wobei $t'=t-r/c$ und $a_\bot$ die Beschleunigungskomponente senkrecht zur Beobachtungsruichtung ist. (0.5 Punkte)
      • Nur die $x$-Komponente zählt. $a_{\bot,1} = a_{x,1} = -a\omega^2\cos(\omega t)$ für die erste Ladung und $a_{\bot,2} = a_{x,2} =a\omega^2\cos(\omega t)$ für die zweite Ladung. (0.5 Punkte)
      • Da $y \gg a$ ist $r=a$.
      • 
        
        $$E_x(y) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2y}\left[-q_1 a\omega^2\cos(\omega (t-r/c))+q_2 a\omega^2\cos(\omega (t-r/c))\right]$$
        
        
        
        
        $$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2y}\left(q_1-q_2\right)a\omega^2\cos(\omega (t-r/c))$$
        
        
        (1 Punkt)
   2. (0.5 Punkte)
   3. • Hier ist die wirksame Beschleunigung sowohl in der $x$- wie auch in der $y$-Richtung.
      • $a_x$ und $a_y$ sind um $\pi/2$ phasenverschoben. (0.5 Punkte)
      • $z \gg a$
      • 
        
        $$E_x(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2z}\left(q_1-q_2\right)a\omega^2\cos(\omega (t-r/c))$$
        
        
        und
        
        $$E_y(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2z}\left(q_1-q_2\right)a\omega^2\sin(\omega (t-r/c))$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Dies ist eine zirkular polarisierte Strahlung.
   4. (0.5 Punkte)
   5. Wenn $q_1=q_2$ dann ist $E_x(y)=0$ (1 Punkt)
   6. Wenn $q_1=q_2$ dann ist $E_x(z)=E_y(z)=0$ (1 Punkt)
4. Vorläufig
   1. Die Induktivität ist $L_1 = \mu\mu_0 \frac{N_1^2}{\ell}A$. (0.5 Punkte)
   2. Die Induktivität ist $L_2 = \mu\mu_0 \frac{N_2^2}{\ell}A$. (0.5 Punkte)
   3. Die Induktivität ist $M_{12} = \mu\mu_0 \frac{N_1\cdot N_2}{\ell}A = \sqrt{L_1\cdot L_2}$. (0.5 Punkte)
   4. • Das durch den Transformator übertragene Signal ist eine EMK. (0.5 Punkte)
      • Im Primärkreis haben wir
        
        $$U(t)+M_{12}\dot{I}_2=I_1R+L_1\dot{I}_1$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Im Sekundärkreis haben wir
        
        $$M_{12}\dot{I}_1 = L_2\dot{I}_2+\frac{Q}{C}$$
        
        
        mit $\dot{Q}=I_2$
      • oder
        
        $$M_{12}\ddot{I}_1 = L_2\ddot{I}_2+\frac{I_2}{C}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
   5. • Wir leiten die Gleichung des Primärkreises zweimal ab und ersetzen $I_1$ mit der Gleichung für den Sekundärkreis.
      • 
        
        $$\frac{d^2U(t)}{dt^2} = -M_{12}\frac{d^3 I_2}{dt^3}+\frac{d^2I_1}{dt^2}R+L_1\frac{d^3I_1}{dt^3}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Da $U(t)$ für $t\neq 0$ konstant ist, ist die $U(t)$ überall ausser bei $t=0$ null.
      • Wir haben
        
        $$\frac{d^2I_1}{dt^2} = \frac{L_2}{M_{12}}\frac{d^2I_2}{dt^2}+\frac{I_2}{CM_{12}}$$
        
        
        und
        
        $$\frac{d^3I_1}{dt^3} = \frac{L_2}{M_{12}}\frac{d^3I_2}{dt^3}+\frac{1}{CM_{12}}\frac{dI_2}{dt}$$
        
        

      • 
        
        $$0 = -M_{12}\frac{d^3I_2}{dt^3} +\left[\frac{L_2}{M_{12}}\fra... ...12}}\frac{d^3I_2}{dt^3}+\frac{1}{CM_{12}}\frac{dI_2}{dt}\right]$$
        
        

      • Wir sammeln die Ableitungen gleicher Ordnung
        
        $$0 = \left[-M_{12}+\frac{L_1\cdot L_2}{M_{12}}\right]\frac{d^3... ...\frac{L_1}{CM_{12}}\frac{dI_2}{dt}+ \frac{R\cdot I_2}{CM_{12}}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Nun ist $L_1\cdot L_2 = M_{12}^2$. Damit ist der Vorfaktor der dritten Ableitung $-M_{12}+\frac{L_1\cdot L_2}{M_{12}}= 0$
      • Die Differentialgleichung lautet also
        
        $$0={R\cdot L_2}\frac{d^2I_2}{dt^2}+ \frac{L_1}{C}\frac{dI_2}{dt}+ \frac{R\cdot I_2}{C}$$
        
        

      • oder
        
        $$0 = \frac{d^2I_2}{dt^2}+ \frac{L_1}{RCL_2}\frac{dI_2}{dt}+ \frac{1}{CL_2}I_2$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Dies ist die gewöhnliche Schwingungsdifferentialgleichung. Wir setzen $I_2(t) = I_{2,0}e^{i\omega t}$
      • Die Lösung ist
        $$\begin{eqnarray*} \omega_0 &=& \sqrt{1}{L_2C}\\ \omega &=& \omega_0\sqrt{1-\l... ...frac{L_1^2}{4CL_2R^2}}\\ I_2(t) &=& I_{2,0}e^{-L_1t/(2RCL_2)} \end{eqnarray*}$$
        
        
        
        
        
        (0.5 Punkte)
   6. Für kleine Zeiten nimmt $I_1$ linear zu, ebenso $I_2$ und $U_R$ (0.5 Punkte) . $U_C$ nimmt quadratisch zu (lineare Zunahme für konstanten Strom) (0.5 Punkte) .
   7. Für grosse Zeiten geht $I_1 \rightarrow 0$ und damit auch $U_R \rightarrow 0$. Damit ist auch $U_C \rightarrow 0$. (0.5 Punkte)
5. Vorläufig
   1. Das Gausssche Gesetz auf diesen Fall angewandt lautet:
      
      $$\int\limits_{V} \rho_{el}dV =\epsilon_0\int\limits_{A(V)} \vec E\cdot d\vec r$$
      
      
      (1 Punkt)
   2. • Für $R<r$ gilt
        
        $$\frac{4\pi}{3}R^3\rho_{el} = \epsilon_0 \cdot 4\pi r^2E$$
        
        
        oder
        
        $$E = \frac{R^3\rho_{el}}{3\epsilon_0 r^2}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Für $r<R$ gilt
        
        $$\frac{4\pi}{3}r^3\rho_{el} = \epsilon_0 \cdot 4\pi r^2E$$
        
        
        oder
        
        $$E = \frac{r\rho_{el}}{3\epsilon_0}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
   3. • Die potentielle Energie einer Probeladung $q$ im Abstand $R$ von der Ladung $Q$ ist:
        
        $$E_{pot}(q,R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q\cdot Q}{R}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Mit $Q = \frac{4\pi}{3}R^3\rho_el$ bekommt man
        
        $$E_{pot}(q,R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\frac{4\pi}{3}R^3\rho_{el}}{R}q = \frac{1}{3 \epsilon_0}R^2\rho_{el} q$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Mit $q = 4\pi R^2\cdot dr\cdot \rho_{el}$ bekommt man
        
        $$d E_{pot}(R) = \frac{1}{3 \epsilon_0}R^2\rho_{el}4\pi R^2\cdo... ...dot \rho_{el}= \frac{4\pi}{3 \epsilon_0}R^4\rho_{el}^2\cdot dr$$
        
        
        (0.5 Punkte)
   4. • Wir erhalten
        
        $$E_{pot}(r_e) = \int\limits_0^{r_e} \frac{4\pi}{3 \epsilon_0}r^4\rho_{el}^2\cdot dr$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • sowie
        
        $$E_{pot}(r_e) = \frac{4\pi}{15 \epsilon_0}r_e^5\rho_{el}^2$$
        
        
        (0.5 Punkte)
   5. • Wir setzen $\rho_{el} = \frac{-3e}{4\pi r_e^3}$ und erhalten
        
        $$E_{pot}(r_e) = \frac{4\pi}{15 \epsilon_0}r_e^5\left(\frac{-3e}{4\pi r_e^3}\right)^2$$
        
        

      • und
        
        $$E_{pot}(r_e) = \frac{3 e^2}{20\pi \epsilon_0 r_e}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
   6. • Es ist
        
        $$m_e c^2 = \frac{3 e^2}{20\pi \epsilon_0 r_e}$$
        
        

      • Mit $\epsilon_0 = 1/(\mu_0 c^2)$ erhalten wir
        
        $$m_e c^2 = \frac{3 \mu_0 c^2 e^2}{20\pi r_e}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Damit ist der klassische Elektronenradius
        
        $$r_e = \frac{3 \mu_0 e^2}{20\pi m_e}= 1.687912088\cdot 10^{-15} m$$
        
        
        (0.5 Punkte)
6. Vorläufig
   1. • Aus Symmetriegründen ist $B$ auf der $x$-Achse parallel zu $x$.
      • Gesetz von Biot-Savart:
        
        $$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec \ell\times(\vec r/r)}{r^2}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Dann ist
        
        $$\left\vert d\vec B\right\vert = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{INd\ell}{\left(R^2+\left(x-R/2\right)^2\right)}$$
        
        

      • Die $x$-Komponente ist
        
        $$dB_x = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{INd\ell}{\left(R^2+\left(x-R/2\right)^2\right)} \frac{R}{\sqrt{R^2+\left(x-R/2\right)^2}}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Das Integral $\oint d\ell = 2\pi R$, so dass
        
        $$B_x = \frac{\mu_0}{2} \frac{INR^2}{\left(R^2+\left(x-R/2\right)^2\right)^{3/2}}$$
        
        
        (0.5 Punkte)
   2. • Wir ersetzen bei der zweiten Spule $(x-R/2)$ durch $(x+R/2)$:
        
        $$B_x = \frac{\mu_0}{2} \frac{INR^2}{\left(R^2+\left(x+R/2\right)^2\right)^{3/2}}$$
        
        

      • Also
        
        $$B_x = \frac{\mu_0INR^2}{2} \left[\frac{1}{\left(R^2+\left(x+R/2\right)^2\right)^{3/2}}+\right.$$
        
        
        
        
        $$\left.\frac{1}{\left(R^2+\left(x-R/2\right)^2\right)^{3/2}}\right]$$
        
        
        (0.5 Punkte)
   3. • Erste Ableitung:
        
        $$\frac{\partial B_x}{\partial x} = \frac{-3\mu_0INR^2}{4}\left... ...( {R}^{2}+ \left( x-1/2 R \right) ^{2} \right) ^{5/2}}}\right]$$
        
        
        Damit
        
        $$\frac{\partial B_x}{\partial x}(0)=0$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Zweite Ableitung:
        
        $$\frac{\partial^2 B_x}{\partial x^2} = \frac{\mu_0INR^2}{2}\le... ...t( {R}^{2}+ \left( x+1/2 R \right) ^{2} \right) ^{-5/2}\right.$$
        
        
        
        
        $$\left.+{\frac { 15}{4}} {\frac { \left( 2 x-R \right) ^{2}... ... {R}^{2}+ \left( x-1/ 2 R \right) ^{2} \right) ^{-5/2} \right]$$
        
        
        Damit
        
        $$\frac{\partial^2 B_x}{\partial x^2}(0)=0$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Zweite Ableitung:
        
        $$\frac{\partial^2 B_x}{\partial x^2} = \frac{\mu_0INR^2}{2}\le... ... {R}^{2}+ \left( x+1/2 R \right) ^{2 } \right) ^{7/2}}}\right.$$
        
        
        
        
        $$\left.-{\frac {105}{8}} {\frac { \left( 2 x-R \right) ^{ 3... ...R}^{2}+ \left( x-1/2 R \right) ^{2} \right) ^{7/2}}} \right]$$
        
        
        Damit
        
        $$\frac{\partial^3 B_x}{\partial x^3}(0)=0$$
        
        
        (0.5 Punkte)
      • Das Magnetfeld in der $x$-Richtung ist deshalb sehr homogen. (0.5 Punkte)
   4. 
      
      $$B(0) = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\frac{T\cdot m}{A}\cdot 20 A\cd... ... m^2}{2}\left[ 2\frac{1}{(0.1^2 m^2+ 0.05^2 m^2)^{3/2}}\right]$$
      
      
      
      
      $$=0.05395057712 T$$
      
      
      (1 Punkt)
   5. • Wir nehmen an, dass das Magnetfeld homogen ist.
      • Betragsmässig: $F_L = evB = F_z = m_ev^2/r$
      • Damit $v = eBr/m_e = 1.6\cdot 10^{-19} C \cdot 0.05395057712 T \cdot 0.01 m/9.1\cdot 10^{-31} kg = 94858157.57 m/s = 0.3161938586c$ (1 Punkt)

Notenskala

Punkte	Note	Anzahl
0-11,5	5
12-12,5	4
13-13,5	3,7
14-14,5	3,3
15-15,5	3
16-16,5	2,7
17-17,5	2,3
18-18,5	2
19-19,5	1,7
20-20,5	1,3
21-36	1

Über dieses Dokument ...

Klausur
Grundkurs IIIb, Diplom Physik, Diplom Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

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