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Up: Grundkurs IIIb für Physiker

Nachklausur
Grundkurs IIIb, Diplom Physik, Diplom Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

Prüfungstermin 9. 5. 2003, 14:00 bis 16:00


Name Vorname Matrikel-Nummer Kennwort
       
       
       


Die Prüfungsresultate werden ab dem 12. 5. 2003 im Sekretariat Experimentelle Physik, N25/540, bekanntgegeben. Dabei können Sie Ihre Klausur einsehen. Damit Ihr Resultat, sobald vorhanden, per Aushang vor dem Sekretariat bekanntgegeben werden kann, müssen Sie ein Kennwort (leserlich) angeben.


Vom Korrektor auszufüllen:
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 $\Sigma$
Punkte              
               



Note: $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$ Prüfer: $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$


\includegraphics[width=0.2\textwidth]{uni.eps} Universität Ulm

Hinweise zur Bearbeitung der Klausur

Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.


  1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner und 2 Blätter (vier Seiten) mit eigener Hand in Handschrift verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack aufbewahrt werden!

  2. Die Klausur umfaßt:
    1. 3 Blätter (6 Seiten) mit 6 Aufgaben.
    2. 1 Deckblatt und dieses Hinweisblatt.
  3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer aus.

  4. Jede Aufgabe ergibt 6 Punkte.

  5. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der Aufgabenstellung, soweit angegeben.

  6. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer sowie eine Seitennummer.

  7. Beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufgabennummer. Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt. Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch. Sollten Sie ausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinanderfolgende Blätter benötigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Aufgabe zu finden ist.


Viel Erfolg!

Aufgaben

    1. Zeigen Sie, wie man aus den Maxwellgleichungen die Wellengleichung für ein nichtleitendes Medium mit der Ladungsdichte $\rho_{el}=0$, der relativen Dielektrizitätszahl $\epsilon=1$ und der Permeabilität $\mu=1$ ableitet. (1 Punkt)
    2. Zu dieser Aufgabe:
      \includegraphics[width=0.8\textwidth]{nachklausur-1.eps}
      Welche dieser Feldlinien, die sich alle in einer Ebene befinden, sind elektrische Feldlinien und welche sind magnetische Feldlinien? (0.5 Punkte)
    3. Auf welcher Erhaltungsgrösse beruht die Kirchhoffsche Knotenregel? (0.5 Punkte)
    4. Skizzieren Sie die Feldlinien zweier elektrischer Dipole (Abstand der Ladungen $a$), die im Abstand $a$ antiparallel angeordnet sind, so dass die Mittensenkrechten der Dipole zusammenfallen. (0.5 Punkte)
    5. Warum explodieren Spulen, durch die ein zu grosser Strom fliesst? (1 Punkt)
    6. Warum kann die Güte eines Schwingkreises mit ausgedehnten Bauelementen (Kondensator und Spule) nicht unendlich sein, auch wenn alle Verbindungsleitungen sowie alle Metalle in den Bauelementen supraleitend sind, also $\rho = 0$ haben? (1 Punkt)
    7. Geben Sie die Lorentztransformation der Felder $\vec E$ und $\vec B$ an. (0.5 Punkte)
    8. Geben Sie die Antwort in Worten: Warum ist im Inneren eines Dielektrikums ohne spontane, permanente Polarisation das elektrische Feld kleiner als aussen? (1 Punkt)
    $\Sigma: $ 6 Punkte


  1. Es soll gezeigt werden, dass die allgemeine Formulierung des Ampèreschen Gesetzes

    \begin{displaymath}\oint\limits_S \vec B
\cdot d\vec s = \mu_0 I + \mu_0\epsilo...
...isplaystyle\int{}(\vec i +\epsilon_0\frac{d\vec
E}{dt})d\vec a\end{displaymath}

    und das Gesetz von Biot-Savart zum gleichen Ergebnis kommen, wenn beide auf

    \includegraphics[width=0.83\textwidth]{ue-07-01.eps}

    angewandt werden.

    Zwei Ladungen $+Q$ und $-Q$ befinden sich im Abstand $a$ vom Nullpunkt auf der $x$-Achse bei $x=-a$ und $x=a$. Entlang der Verbindungslinie fliesst ein Strom $I = -dQ/dt$. Der Punkt $P$ befindet sich auf der $y$-Achse im Abstand $R$.

    1. Berechnen Sie unter Verwendung des Gesetzes von Biot-Savart das Magnetfeld am Punkt $P$. (1 Punkt)
    2. Ein kreisförmiger Streifen (Mittelpunkt im Ursprung) mit dem Radius $r$ und der Breite $dr$ liege in der $y-z$-Ebene. Berechnen Sie den Fluss des elektrischen Feldes durch diesen Streifen. (1 Punkt)
    3. Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus 2b den gesamten Fluss $\phi_e$ durch die kreisförmige Ebene mit dem Radius $R$. (1 Punkt)
    4. Berechnen Sie den Verschiebungsstrom $I_V$. (1 Punkt)
    5. Berechnen Sie mit dem Ampèreschen Gesetz die Aufgabe 2a und zeigen Sie, dass man für $B$ das gleiche Ergebnis erhält. (2 Punkt)
    $\Sigma: $ 6 Punkte


  2. Die folgende Schaltung soll berechnet werden:
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{nachklausur-2.eps}
    Die Spannung am Punkt $B$ ist $U_B = 0V$ (Erde).
    1. Formen Sie die Schaltung so um, dass sie möglichst einfach ist. (3 Punkte)
    Berechnen Sie die Spannung an den folgenden Punkten:
    1. $A$ (0.5 Punkte)
    2. $D$ (0.5 Punkte)
    3. $E$ (0.5 Punkte)
    4. $F$ (0.5 Punkte)
    5. $G$ (0.5 Punkte)
    6. $H$ (0.5 Punkte)
    $\Sigma: $ 6 Punkte


  3. Ein Schwingkreis wird als empfindliches Nachweissystem eines zeitlich harmonischen $\vec E$-Feldes verwendet. Ein Plattenkondensator (Plattenabstand $d$, Kapazität $C$) befindet sich im räumlich homogenen $\vec E$-Feld

    \begin{displaymath}\vec E(t) = \vec E_0 \cdot \sin(\omega t)\end{displaymath}

    wobei $\vec E_0$ senkrecht zur Fläche des Plattenkondensators orientiert ist. Eine Spule (Selbstinduktion $L$) und ein Ohmscher Widerstand $R$, beide ausserhalb des elektrischen Feldes, ergänzen den Plattenkondensator zu einem Schwingkreis.

    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{nachklausur-03.eps}

    1. Stellen Sie die Differentialgleichung für die im Schwingkreis bewegte Ladung $Q$ ohne äusseres Feld auf. (1 Punkt)
    2. Modifizieren Sie diese Differentialgleichung so, dass das äussere Feld als $EMK$ wirkt. Schreiben Sie dazu das anregende Feld $E(t) = E_0 \sin(\omega t)$ als komplexe Funktion, aber so, dass der Realteil dieser Funktion gerade der gegebenen reellen Anregung entspricht. (0.5 Punkte)
    3. Wandeln Sie die Differentialgleichung in eine Differentialgleichung für den Strom $I(t)$ um. (0.5 Punkte)
    4. Berechnen Sie für die Frequenz $\omega$ der Anregung den komplexen Strom $I(t,\omega)= I_0(\omega)
e^{i\omega t}$. (1 Punkt)
    5. Zwischenrechnung: Wenn der Strom $I(t)= I_0
e^{i\omega t}$ ist (ohne einsetzen), und dieser Strom durch den Widerstand $R$ fliesst, was ist dann die über eine Anzahl $n \in \mathbb{N}$ gemittelte thermische Leistung an $R$? (0.5 Punkte)
    6. Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Leistung $P(\omega)$, die als Joulsche Wärme im Widerstand $R$ deponiert wird. (0.5 Punkte)
    7. Wie gross ist die unbedämpfte Resonanzfrequenz $\omega_0$ des Schwingkreises? (0.5 Punkt)
    8. Wie gross ist $P(\omega_0)$ ? (0.5 Punkte)
    9. Bestimmen Sie das $\vec E$-Feld im Inneren des Plattenkondensators für ein stationäres äusseres $\vec E$-Feld $E_0$. (1 Punkt)
    $\Sigma: $ 6 Punkte


  4. Zwei Punktladungen $q_1$ und $q_2$ sind an der Peripherie einer mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um die $z$-Achse rotierenden Scheibe vom Radius $a$ diametral gegenüber befestigt. Es ist $\omega\cdot a \ll c$ und $q_1 = -q_2$. Es ist $x(t) = a\cos(\omega t)$ und $y(t)=a\sin(\omega t)$.
    1. Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt $P(y)$ auf der (raumfesten) $y$-Achse, wobei $y \gg a$ ist. (2 Punkte)
    2. Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 5a) als Funktion von $y$ und $t$ an. (0.5 Punkte)
    3. Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt $Q(z)$ auf der (raumfesten) $z$-Achse, wobei $z \gg a$ ist. (1 Punkt)
    4. Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 5c) zu einer festen Zeit $t$ an. (0.5 Punkte)
    5. Berechnen Sie die Felder für die Anordnung aus der Aufgabe 5a), wenn $q_1=q_2$ ist. (1 Punkt)
    6. Wenn Sie eine Genauigkeit der Amplituden $E_x$ und $E_y$ von $g$ verlangen, mit $0 < g < 1$, welche Bedingung muss dann $z$ in der Aufgabe 5c) gelten? (1 Punkt)
    $\Sigma: $ 6 Punkte


  5. In dieser Aufgabe soll das Potential eines Dipols im Punkt $P$ berechnet werden. \includegraphics[height=0.4\textwidth]{ue-02-01.eps}
    1. Geben Sie das Potential $\varphi\left( x,y,z \right)$ in $P$ in kartesischen Koordinaten an. (1 Punkt)
    2. Geben Sie das Potential $\varphi\left( r,\theta,\phi\right)$ in Kugelkoordinaten $(r,\Theta,\phi)$ an.$\phi$ ist der Winkel in der $x,y$-Ebene. (1 Punkt)
    3. Entwickeln Sie $\varphi\left( r,\theta,\phi\right)$ unter der Annahme, dass $r\gg a$ ist in zwei signifikante (d.h. nicht konstante) Ordnungen in $r$. (2 Punkte)
    4. Geben Sie das genäherte Potential aus der vorherigen Teilaufgabe an für den Punkt $S=(100a,\pi/6,3\pi/2)$. (0.5 Punkte)
    5. Geben Sie das elektrische Feld im Punkt $S$ an. (1.5 Punkte)
    $\Sigma: $ 6 Punkte

Gesamt-$\Sigma: $ 36 Punkte

Lösung

  1. Vorläufig
      • 2. Maxwellgleichung

        \begin{displaymath}\textrm{rot} {}\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}\end{displaymath}

      • Wir nehmen die Rotation:

        \begin{displaymath}\textrm{rot} {}\textrm{rot} {}\vec E = -\textrm{rot} {}\fr...
...rtial t} = - \frac{\partial}{\partial t}\textrm{rot} {}\vec
B\end{displaymath}

      • 4. Maxwellgleichung

        \begin{displaymath}\textrm{rot} {}\vec B = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec E}{\partial t}\end{displaymath}

        mit $\mu_0\epsilon_0=c^{-2}$.
      • Eingesetzt:

        \begin{displaymath}\textrm{rot} {}\textrm{rot} {}\vec E = -\frac{\partial}{\pa...
...tial t} = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec E}{\partial
t^2}\end{displaymath}

        (0.5 Punkte)
      • Mit

        \begin{displaymath}\textrm{rot} {}\textrm{rot} {}\vec E = \textrm{grad} {}\te...
... E = \textrm{grad} {}\textrm{div} {}\vec E -\triangle \vec
E\end{displaymath}

        bekommt man

        \begin{displaymath}\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = -c^2\triangle\vec E\end{displaymath}

        (0.5 Punkte)
    1. Elektrische Feldlinien haben Anfang und Ende: b), e)
      Magnetische Feldlinien sind geschlossen: a), d)
      Feldlinien kreuzen sich nie (Ableitungen wären nicht definiert): c) ist keines von beiden. (0.5 Punkte)
    2. Ladungserhaltung und Kontinuitätsgleichung (0.5 Punkte)
    3. $_{}$
      \includegraphics[width=0.5\textwidth]{nachklausur-06.eps} (0.5 Punkte)
    4. Der Strom erzeugt nach der ,,Rechten-Hand-Regel'' ein Magnetfeld. Wenn der Strom in die Blattebene fliesst, ist $\vec b$ nach oben gerichtet. (0.5 Punkte) Auf die fliessenden Ladungen (in die Blattebene hinein) wirkt die Lorentzkraft, die wieder nach der ,,Rechten-Hand-Regel'' nach rechts wirkt. In der zweiten Leiter der gleichen Windung der Spule links von der ersten ist die Kraft nach links gerichtet. In einer Spule wirken die Kräfte auf die Leiter nach aussen: wenn die Struktur den Kräften nicht mehr widerstehen kann, dann explodiert die Spule. (0.5 Punkte)
    5. Bei einer ausgedehnten Spule oder einem ausgedehnten Kondensator in einem Schwingkreis werden Ladungen hin- und herbeschleunigt. Deshalb strahlt der Schwingkreis elektromagnetische wellen ab, er verliert also Energie. Deshalb kann die Güte nicht unendlich sein. (1 Punkt)
    6. \begin{eqnarray*}
E_x' & = & \gamma \left(E_x+v\cdot B_z\right) \\
E_y' & = &...
...
B_z' & = & \gamma\left(B_z+ \frac{v}{c^2}E_x\right)\nonumber
\end{eqnarray*}



      (0.5 Punkte)
    7. Durch das elektrische Feld werden Atome polarisiert. Dabei werden die positiven Ladungen in Richtung der negativen äusseren Ladungen verschoben, und analog für die negativen Ladungen. Das durch die Ladungsverschiebung entstandene Feld ist entgegengesetzt zum äusseren Feld gerichtet: netto ist das elektrische Feld im Inneren also kleiner. (1 Punkt)
  2. Vorläufig
    1. Das Magnetfeld, das am Punkt $P$ von einem Teilstrom hervorgerufen wird, ist $B=\left[ \mu_{0}I/\left( 4\pi
R\right) \right] \left( \sin\theta _{1}+\sin\theta_{2}\right)$. Die Abbildung zeigt die entsprechenden Grössen:

      \includegraphics[width=0.5\textwidth]{ue-07-02.eps}

      Hier ist $\sin\theta_{1}=\sin\theta_{2}=a/\left( R^{2}+a^{2}\right)^{1/2}$. (0.5 Punkte)

      Daher ist $B=\left[\mu_{0}Ia/\left( 2\pi R\right) \right] \left( R^{2}+a^{2}\right)^{-1/2}$. (0.5 Punkte)

    2. Die folgende Abbildung zeigt, wie das elektrische Feld an einem Punkt auf der $y$-Achse im Abstand $r$ von der $x$-Achse erhalten wird.

      \includegraphics[width=0.5\textwidth]{ue-07-03.eps}

      Es ist

      \begin{displaymath}E_{x}=2\frac{1}{\left( 4\pi\epsilon_{0}\right)} \frac{Q}{\lef...
...silon_{0}\right)} \frac{Qa}{
\left( r^{2}+a^{2}\right)^{3/2}} \end{displaymath}

      (0.5 Punkte)

      Die Fläche des Kreises ist $dA=2\pi rdr$, und es folgt

      \begin{displaymath}E_{x}dA=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
\frac{a}{\left( r^{2}+a^{2}\right) ^{3/2}}rdr\end{displaymath}

      . (0.5 Punkte)

    3. Um den elektrischen Fluss heraus, zum Radius $R$, zu erhalten, integrieren wir $E_{x}dA=E_{x}2\pi rdr$ von $r=0$ bis $r=R$:

      \begin{eqnarray*}
\phi_{e} & =& {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{R}}E_{x}2\pi r...
... \frac{1}{a}- \frac{1}{\left( R^{2}+a^{2}\right) ^{1/2}}\right]
\end{eqnarray*}



      (0.5 Punkte)

      Damit ist

      \begin{displaymath}\epsilon_{0}\phi_{e}=Q\left[ 1-\frac{a}{\left( R^{2}+a^{2}\right) ^{1/2}}\right] \end{displaymath}

      . (0.5 Punkte)

    4. Nach Definition ist $I_{V}=\epsilon_{0}d\phi_{e}/dt$. Jedoch ist im Ausdruck für $\phi_{e}$ die einzige Grösse, die von der Zeit abhängt, $Q$.

      (0.5 Punkte)

      Mit $dQ/dt=-I$ erhalten wir $I_{V}=-I\left[ 1-a/\left(R^{2}+a^{2}\right) ^{1/2}\right] $ und $I+I_{V}=Ia/\left( R^{2}+a^{2}\right)^{1/2}$. (0.5 Punkte)

    5. Das Gesetz von Ampère besagt, dass das Linienintegral über $\vec B\cdot d\vec \ell$ längs eines Kreises vom Radius $R$ in der $yz$-Ebene mit dem Mittelpunkt am Ursprung, das gleich $B\left( 2\pi R\right) $ ist, auch gleich $\mu_{0}\left( I+I_{V}\right) $ sein muss.

      (0.5 Punkte)

      Gemäss dem Ergebnis in 2d ist das $\mu_{0}Ia\left( R^{2}+a^{2}\right)^{1/2}$.

      (0.5 Punkte)

      Damit wird

      \begin{displaymath}B=\frac{\mu_{0}Ia}{2\pi R}
\frac{1}{\left( R^{2}+a^{2}\right) ^{1/2}}\end{displaymath}

      (1 Punkt)

      in Übereinstimmung mit dem Resultat in Teil 2a, das wir nach dem Biot-Savart-Gesetz erhielten.

  3. Vorläufig

    Wir haben Gleichspannungen, also kann man die Schaltung wie folgt vereinfachen:
    \includegraphics[width=0.73\textwidth]{nachklausur-10.eps}
    Die Punkte $A$, $D$ und $H$ liegen auf gleichem Potential. (0.5 Punkte)
    Die Punkte $E$ und $G$ liegen auf gleichem Potential. (0.5 Punkte)
    Die vereinfachte Schaltung ist
    \includegraphics[width=0.73\textwidth]{nachklausur-11.eps}
    Die Widerstände $R_5$, $R_6$, $R_7$ und $R_8$ liegen parallel und werden durch $1/R_a=1/R_5+1/R_6+1/R_7
+1/R_8$ ersetzt. (0.5 Punkte)
    Ebenso sind $R_2$ und $R_3$ parallel und werden durch $R_b = \frac{R_2 R_3}{R_2+R_3}$ ersetzt. (0.5 Punkte)
    \includegraphics[width=0.73\textwidth]{nachklausur-12.eps}
    Nach dieser Zeichnung ist das Potential von $F$ gleich dem von $A$.
    Wir berechnen die Schaltung
    \includegraphics[width=0.73\textwidth]{nachklausur-13.eps}
    Die Maschenregel für die linke Masche ergibt: $U_1 = U_{R1}+U_{Rb}$
    Die Maschenregel auf die rechte Masche angewandt ergibt $U_2 = U_{R4}+U_{Rb}$
    Die Knotenregel am Punkt $E$ ergibt $U_{R1}/R1 + U_{R4}{R4} = U_{Rb}/Rb$ (0.5 Punkte)
    Wir eliminieren $U_{Rb}= Rb\left(U_{R1}/R1 + U_{R4}/{R4}\right)$
    Also $U_1 = U_{R1}+Rb\left(U_{R1}/R1 + U_{R4}/{R4}\right)=U_{R1}\left(1+Rb/R1\right)+U_{R4}\cdot Rb/R4$
    und $U_2 = U_{R4}+Rb\left(U_{R1}/R1 +U_{R4}/{R4}\right)=U_{R1}\cdot Rb/R1+U_{R4}\left(1+Rb/R4\right)$
    Wir multiplizieren $U_1$ mit $\left(1+Rb/R4\right)$ und $U_2$ mit $Rb/R4$ und subtrahieren die Gleichungen

    \begin{displaymath}U_1\left(1+Rb/R4\right)-U_2\cdot Rb/R4 =U_{R1}\left(1+Rb/R1\right)\left(1+Rb/R4\right)-U_{R1}\cdot
Rb/R1\cdot Rb/R4\end{displaymath}

    Wir erhalten

    \begin{displaymath}U_{R1} = \frac{\left(U_1 R4+ U_1 Rb - U_2 Rb\right)R1}{R1\cdot R4+ R1\cdot Rb + R_4 \cdot Rb}\end{displaymath}


    \begin{displaymath}U_{R4} = \frac{\left(U_2 R1+ U_2 Rb - U_1 Rb\right)R4}{R1\cdot R4+ R1\cdot Rb + R_4 \cdot Rb}\end{displaymath}


    \begin{displaymath}U_{Rb} = \frac{\left(U_2 R1+ U_1 R4\right)Rb}{R1\cdot R4+ R1\cdot Rb + R_4 \cdot Rb}\end{displaymath}

    Wenn wir $Rb$ ersetzen ist das Resultat

    \begin{displaymath}U_{R1} = \frac{\left(U_1 R4+ U_1 Rb - U_2 Rb\right)R1}{R1\cdot R4+ R1\cdot Rb + R_4 \cdot Rb}\end{displaymath}


    \begin{displaymath}U_{R4} = \frac{\left(U_2 R1+ U_2 Rb - U_1 Rb\right)R4}{R1\cdot R4+ R1\cdot Rb + R_4 \cdot Rb}\end{displaymath}


    \begin{displaymath}U_{Rb} = \frac{\left(U_2 R1+ U_1 R4\right)Rb}{R1\cdot R4+ R1\cdot Rb + R_4 \cdot Rb}\end{displaymath}

    Wenn wir $Rb$ zurück einsetzen, erhalten wir

    \begin{displaymath}U_{R1}={\frac {R1\cdot \left( U_1\cdot R4\cdot R2+U_1\cdot R4...
...2+R1\cdot R4 \cdot R3+R1\cdot R2\cdot R3+R2\cdot R3\cdot R4}}
\end{displaymath}


    \begin{displaymath}
U_{R4}={\frac { \left( -U_1\cdot R2\cdot R3+U_2\cdot { \it ...
...R2+R1\cdot R4\cdot R3+R1\cdot R2\cdot R3+R2\cdot R3\cdot R4}}
\end{displaymath}


    \begin{displaymath}U_{Rb}={\frac {R2\cdot R3\cdot \left( R1\cdot U_2+U_1\cdot R4...
...2+R1\cdot R4\cdot R3+R1\cdot R2\cdot R3+R2\cdot R3\cdot R4} }
\end{displaymath}

    (0.5 Punkte)
    1. Bei $A$: $U_A = -U_1$ (0.5 Punkte)
    2. Bei $D$: $U_D = -U_1$ (0.5 Punkte)
    3. Bei $E$: $U_E = -U_1+U_{Rb}=-{\frac {R1\cdot \left( U_1\cdot R4\cdot R2+U_1\cdot
R4\cdot...
...{R1\cdot R4\cdot R2+R1\cdot R4\cdot R3+R1\cdot
R2\cdot R3+R2\cdot R3\cdot R4}}$ (0.5 Punkte)
    4. Bei $F$: $U_F = -U_1$ (0.5 Punkte)
    5. Bei $G$: $ U_G = -U_1+U_{Rb}=-{\frac {R1\cdot \left( U_1\cdot R4\cdot R2+U_1\cdot
R4\cdo...
...{R1\cdot R4\cdot R2+R1\cdot R4\cdot R3+R1\cdot
R2\cdot R3+R2\cdot R3\cdot R4}}$ (0.5 Punkte)
    6. Bei $H$: $U_H = -U_1$ (0.5 Punkte)
  4. Vorläufig
      • Die Spannung am Kondensator ist $U_C = -Q/C$
      • Die Spannung am Widerstand ist $U_R = R\cdot I = R \cdot \dot Q$
      • Die Spannung an der Spule ist $U_L = - L \cdot \dot I = - L\cdot \ddot Q$ (0.5 Punkte)
      • Maschenregel: $U_R = U_C+U_I$ (da nur $U_R$ Verbraucher), also $R \cdot \dot Q =-Q/C- L\cdot \ddot
Q$
      • oder $L \cdot \ddot Q +R \cdot \dot Q+ Q/C=0$ (0.5 Punkte)
      • Das äussere Feld bewirkt über dem Kondensator eine $EMK$ mit der Grösse $U_{EMK} = E_0\cdot
d\cdot \sin(\omega t)$
      • komplex geschrieben ist $E(t) = - E_0 \cdot i \cdot e^{i\omega t}$, da ja $e^{i\alpha} =
\cos\alpha + i\cdot\sin\alpha$ ist.
      • Also ist $L \cdot \ddot Q +R \cdot \dot Q+ Q/C= - i\cdot E_0\cdot d \cdot e^{i\omega t}$ (0.5 Punkte)
      • Es ist $I = \dot Q$, das heisst, wir leiten einmal ab
      • Mit $L \cdot \dot I +R \cdot I+ Q/C= - i\cdot E_0\cdot d \cdot e^{i\omega t}$ erhalten wir
      • $L \cdot \ddot I +R \cdot \dot I+ I/C= E_0\cdot d \cdot \omega \cdot e^{i\omega t}$ (0.5 Punkte)
      • Wir setzen den Ansatz $I(t) = I_0(\omega) e^{i\omega t}$ ein
      • $L \cdot (-\omega^2)I_0(\omega) e^{i\omega t} +R \cdot (i\omega)I_0(\omega) e^{i...
...rac{I_0(\omega)}{C} e^{i\omega t} = E_0\cdot d \cdot \omega \cdot e^{i\omega t}$ (0.5 Punkte)
      • Wir eliminieren $e^{i\omega t}$ und multiplizieren $I_0$ aus $I_0(\omega)\left[- L \cdot \omega^2 + i\omega\cdot R +
\frac{1}{C}\right] = E_0\cdot d \cdot \omega $
      • Wir lösen nach $I_0(\omega)$ auf

        \begin{displaymath}I_0(\omega) = \frac{E_0\cdot d \cdot \omega}{- L \cdot \omega^2 + i\omega\cdot R +
\frac{1}{C}}\end{displaymath}

        (0.5 Punkte)
      • Normalerweise wird die Gleichung so geschrieben:

        \begin{displaymath}I_0(\omega) = \frac{E_0\cdot d \cdot \omega}{L\left(- \omega^2 + i\omega\cdot \frac{R}{L} +
\frac{1}{CL}\right)}\end{displaymath}

      • Die momentane Leistung am Widerstand $R$ ist

        \begin{displaymath}P(t) = R\cdot \left[\mathcal{R}e \left(I(t)\right)\right]^2 =...
...) = {R I_0^2}\left(\frac{1}{2}+\frac{\cos(2\omega t)}{2}\right)\end{displaymath}

      • Gemittelt über eine Anzahl Perioden $n \in \mathbb{N}$ ist $\left<P\right>_{nT} = \frac{R I_0^2}{2}$ (0.5 Punkte)
      • Mit diesem Resultat ist

        \begin{eqnarray*}\left<P(\omega)\right>_{nT} &=& \frac{R}{2} I_0(\omega) \overli...
...}{CL}-\omega^2\right)^2
+\omega^2\cdot \frac{R^2}{L^2}\right]}
\end{eqnarray*}



        (0.5 Punkte)
      • Die ungedämpfte Resonanzfrequenz ist $\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{L\cdot C}}$ (0.5 Punkte)
      • Bei $\omega_0$ ist $\left<P(\omega_0)\right>_{nT} = \frac{R\left(E_0\cdot d \cdot
\frac{1}{L\cdot ...
...dot C}\right)^2\cdot \frac{R^2}{L^2}}
= \frac{\left(E_0\cdot d \right)^2}{2 R}$ (0.5 Punkte)
      • Ein statisches äusseres Feld bewirkt auf den Kondensatorplatten eine Ladungstrennung. Da im statischen Falle der Kondensator kurzgeschlossen ist, ist $E=0$ im Inneren, wobei die Ladungen auf den Platten das äussere Feld kompensieren. (1 Punkt)
  5. Vorläufig
    1. \includegraphics[width=0.5\textwidth]{nachklausur-07.eps}
      • Das Strahlungsfeld ist $\vec E(\vec r,t) = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2} \frac{\vec a_\bot(t')}{r}$ wobei $t'=t-r/c$ und $a_\bot$ die Beschleunigungskomponente senkrecht zur Beobachtungsrichtung ist. (0.5 Punkte)
      • Nur die $x$-Komponente zählt. $a_{\bot,1} = a_{x,1} = -a\omega^2\cos(\omega t)$ für die erste Ladung und $a_{\bot,2} = a_{x,2} =a\omega^2\cos(\omega t)$ für die zweite Ladung. (0.5 Punkte)
      • Der Abstand ist $r=y+a\sin(\omega t)$. Da $y \gg a$ ist $r=y$.

      • \begin{displaymath}E_x(y) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2y}\left[-q_1 a\omega^2\cos(\omega (t-y/c))
+q_2 a\omega^2\cos(\omega
(t-y/c))\right] \end{displaymath}


        \begin{displaymath}= \frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2y}\left(q_1-q_2\right)a\omega^2\cos(\omega (t-y/c))\end{displaymath}

        (1 Punkt)
    2. $_{}$
      \includegraphics[width=0.7\textwidth]{nachklausur-08.eps}
      (0.5 Punkte)
      • Hier ist die wirksame Beschleunigung sowohl in der $x$- wie auch in der $y$-Richtung.
      • $a_x$ und $a_y$ sind um $\pi/2$ phasenverschoben. (0.5 Punkte)
      • Da $z \gg a$ ist $r \approx z$

      • \begin{displaymath}E_x(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2z}\left(q_1-q_2\right)a\omega^2\cos(\omega (t-z/c))\end{displaymath}

        und

        \begin{displaymath}E_y(z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2z}\left(q_1-q_2\right)a\omega^2\sin(\omega
(t-z/c))\end{displaymath}

        (0.5 Punkte)
      • Dies ist eine zirkular polarisierte Strahlung.
    3. $_{}$
      \includegraphics[width=0.7\textwidth]{nachklausur-09.eps}
      (0.5 Punkte)
    4. Wenn $q_1=q_2$ dann ist $E_x(y)=0$ (1 Punkt)
    5. Da die Genauigkeit der Amplitude gefragt ist, nicht aber der Phase, muss man nur den Vorfaktor betrachten.

      \begin{displaymath}\left\vert\frac{1}{\sqrt{z^2+a^2}}-\frac{1}{z}\right\vert < g\cdot \left\vert\frac{1}{\sqrt{z^2+a^2}}\right\vert\end{displaymath}

      (0.5 Punkte)
      oder

      \begin{displaymath}\left\vert\frac{z}{z\sqrt{z^2+a^2}}-\frac{\sqrt{z^2+a^2}}{z\s...
...t\vert <
g\cdot \left\vert\frac{z}{z\sqrt{z^2+a^2}}\right\vert\end{displaymath}

      Wenn $z>0$ ist, haben wir

      \begin{displaymath}\left\vert z-\sqrt{z^2+a^2}\right\vert <
g\cdot \left\vert z\right\vert\end{displaymath}

      weiter

      \begin{displaymath}\left\vert z-z\sqrt{1+(a/z)^2}\right\vert <
g\cdot \left\vert z\right\vert\end{displaymath}

      und (da $z>0$ angenommen)

      \begin{displaymath}\left\vert 1-\sqrt{1+(a/z)^2}\right\vert < g\end{displaymath}

      oder

      \begin{displaymath}\sqrt{1+(a/z)^2}-1 < g\end{displaymath}


      \begin{displaymath}\sqrt{1+(a/z)^2} < g+1\end{displaymath}


      \begin{displaymath}1+(a/z)^2 < g^2+2g+1\end{displaymath}


      \begin{displaymath}(a/z)^2 < g^2+2g\end{displaymath}


      \begin{displaymath}\frac{a^2}{g^2+2g} =\frac{a^2}{g^2}\frac{1}{1+2/g}=< z^2\end{displaymath}


      \begin{displaymath}\left\vert z\right\vert>\frac{a}{g}\frac{1}{\sqrt{1+2/g}}\approx \frac{a}{\sqrt{2g}}\end{displaymath}

      (0.5 Punkte)

  6. Vorläufig
      • $\varphi \left( x,y,z,+q\right) =\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{q}{%%
\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left( z-a\right) ^{2}}}$

      • $\varphi \left( x,y,z,-q\right) =\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{-q}{%%
\sqrt{x^{2}+y^{2}+\left( z+a\right) ^{2}}}$ (0.5 Punkte)

      • \begin{eqnarray*}
\varphi(x,y,z) &=& \varphi \left( x,y,z,+q\right) +\varphi \l...
...rac{1}{\sqrt{1+\frac{2az+a^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}%%
\right)
\end{eqnarray*}



        (0.5 Punkte)

      • Wir verwenden den Cosinussatz für schiefwinklige Dreiecke (Seiten $a$, $b$, $c$, gegenüberliegende Winkel $A$, $B$, $C$)

        \begin{displaymath}a^2 = b^2 +c^2 -2ac\cos A\end{displaymath}

        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{nachklausur-14.eps}
        Also ist

        \begin{eqnarray*}
r_{+}^{2} &=&r^{2}-2ar\cos \theta +a^{2} \\
r_{-}^{2} &=&r^{2}-2ar\cos(\pi- \theta) +a^{2}= r^{2}´+2ar\cos\theta +a^{2}
\end{eqnarray*}



        (0.5 Punkte)
      • Der Winkel $\phi$ taucht nicht explizit auf (Zylindersymmetrie). Also ist

        \begin{eqnarray*}
\varphi(r,\Theta,\phi) &=& \varphi \left( r,\Theta,\phi,+q\ri...
...a^{2}}}-
\frac{1}{\sqrt{r^{2}+2ar\cos\theta +a^{2}}}\right)\\
\end{eqnarray*}



        (0.5 Punkte)
      • Wir schreiben die Gleichung um

        \begin{displaymath}\varphi(r,\Theta,\phi) = \frac{q}{4\pi
\epsilon _{0}r}\left(...
...1+\frac{2a}{r}\cos\theta +\left(\frac{a}{r}\right)^{2}}}\right)\end{displaymath}

        (0.5 Punkte)
      • Unter der Annahme, dass $r\gg a$ ist $(a/r) \ll 1$. Wir entwickeln die Wurzeln bis zur zweiten Ordnung.

        \begin{displaymath}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2a}{r}\cos \theta +\left(\frac{a}{r}\r...
...a}^{2}}{{r}^
{2}}}+O \left( {\frac {{a}^{3}}{{r}^{3}}} \right)\end{displaymath}

        (0.5 Punkte) und

        \begin{displaymath}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2a}{r}\cos\theta +\left(\frac{a}{r}\ri...
...a}^{2}}{{r}^
{2}}}+O \left( {\frac {{a}^{3}}{{r}^{3}}} \right)\end{displaymath}

        (0.5 Punkte)
      • Zusammengesetzt ergibt sich

        \begin{displaymath}\varphi(r,\Theta,\phi) = \frac{q}{4\pi
\epsilon _{0}r}2 {\f...
...}}=\frac{q a\cos \left( \Theta \right)}{2\pi
\epsilon _{0}r^2}\end{displaymath}

        (0.5 Punkte)
    1. $ \varphi(100 a, \pi/6,3\pi/2) = \frac {\sqrt {3}q }{40000 a\pi \epsilon_0}$ (0.5 Punkte)
      • Das elektrische Feld wird mit

        \begin{displaymath}\vec E(r,\Theta,\phi) = -\textrm{grad} {}\varphi(r,\Theta,\phi)\end{displaymath}

        gegeben.
      • Der Gradient in Kugelkoordinaten $(\vec e_r, \vec e_\Theta, \vec e_\phi)$ ist durch

        \begin{displaymath}\textrm{grad} {}U = \frac{\partial U}{\partial r}\vec e_r+
...
...frac{1}{r\sin\Theta}\frac{\partial U}{\partial \phi}\vec e_\phi\end{displaymath}

        gegeben.
      • Also ist

        \begin{displaymath}\vec E(r,\Theta,\phi) = -\left[\frac{\partial }{\partial r}\l...
...ta \right)}{2\pi
\epsilon _{0}r^2}\right)\vec e_\Theta\right] \end{displaymath}

        da $\phi$ in der Gleichung nicht explizit auftaucht. (0.5 Punkte)

      • \begin{displaymath}\vec E(r,\Theta,\phi) = -\left[-{\frac {q a\cos \left( \Theta...
...Theta \right) }{{r}^{2}\pi {\epsilon_0}}} \vec e_\Theta\right] \end{displaymath}

      • Nun ist

        \begin{displaymath}\vec E(r,\Theta,\phi) =
\frac{qa}{\pi \epsilon_0 r^3}\left[\...
...r+
\frac{\sin \left( \Theta \right) }{2} \vec e_\Theta\right] \end{displaymath}

        (0.5 Punkte)
      • Eingesetzt:

        \begin{displaymath}\vec E(r,\Theta,\phi)= {\frac {1}{2000000}} {\frac {\sqrt {3...
...{4000000}} {\frac {q}{{a}^{2}\pi  {\epsilon_0}}}\vec e_\Theta\end{displaymath}

        Und damit

        \begin{displaymath}\vec E(r,\Theta,\phi)= {\frac {1}{2000000}} {\frac {q}{{a}^{...
...}}}\left[\sqrt {3}\vec e_r + {\frac {1}{2}}\vec e_\Theta\right]\end{displaymath}

        (0.5 Punkte)

Notenskala

Punkte Note Anzahl
     
0-11,5 5  
     
12-12,5 4  
     
13-13,5 3,7  
     
14-14,5 3,3  
     
15-15,5 3  
     
16-16,5 2,7  
     
17-17,5 2,3  
     
18-18,5 2  
     
19-19,5 1,7  
     
20-20,5 1,3  
     
21-36 1  
     

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Nachklausur
Grundkurs IIIb, Diplom Physik, Diplom Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

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Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

The command line arguments were:
latex2html nachklausur

The translation was initiated by marti on 2003-05-12



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Experimentelle Physik
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