Übungsblatt 01
PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

20. 10. 2003 oder 27. 10. 2003

Aufgaben

1. Nehmen Sie an, dass eine Ladung vom Betrage $q$ genau 4 Feldlinien erzeugt. Skizzieren Sie die elektrischen Feldlinien für
   1. Eine einzelne Ladung $+q$
   2. Zwei Ladungen $+2q$ und $-q$ im Abstand $4\;Einheiten$
   3. Vier Ladungen vom Betrage $q$, die an den Ecken eines Quadrates mit der Seitenlänge $4\;Einheiten$ angeordnet sind und deren Ladungsvorzeichen entlang des Quadratumfanges alterniert.
   4. Acht Ladungen vom Betrage $q$ mit alternierenden Vorzeichen gleichabständig auf einem Kreis mit dem Radius $3\; Einheiten$;
2. Zwei mathematische Pendel seien am Äquator auf Meereshöhe im Abstand von $d = 0 cm$ aufgehängt. Die Fadenlänge sei bei beiden $15 cm$, die Punktmassen seien identisch $m=0.01 kg$. Die eine Kugel sei mit $q_1 = 10^{-6} C$ geladen, die andere mit $q_2 = 10^{-7} C$. Berechnen Sie die Gleichgewichtsauslenkungen der beiden Pendel.
3. Wie gross wären die Gleichgewichtsauslenkungen, wenn im vorherigen Falle $q_1 = q_2 = 1C$ wäre?
4. Berechnen Sie unter Zuhilfenahme aller Kenntnisse aus den früheren Vorlesungen die Endgeschwindigkeit eines ruhenden Elektrons, das durch ein elektrisches Feld der Grösse
   1. $20000 V/m$ über eine Distanz von $0.01 m$ (Radioröhre, z.B EL84 )
      
   2. $1\times 10^8 V/m$ über eine Distanz von $10^{-6} m$ (Lawinendurchbruch in einer Avalanche-Photodiode)
      
   3. $60000 V/m$ über eine Distanz von $0.5 m$ (Fernseh-Bildröhre)
      
   4. $10000 V/m$ über eine Distanz von $10^4 m$ (Beschleuniger, dies sind effektive Werte, die Beschleunigungsfelder sind nicht immer an)
      
   beschleunigt wird.
5. Welche maximale Kraft übt Licht mit einer zeitlich gemittelten Intensität von $10^6 W/m^2$ auf ein einfach geladenes Ion im Vakuum aus?
6. Berechnen sie für die folgende Anordnung von Ladungen
   

   Position	Ladung
   $\left(0.5m; -0.2m ; 0 m\right)$	$10^{-3} C$
   $\left(-0.2m; -0.2m ; 0.5 m\right)$	$-10^{-3} C$
   $\left(0.4m; 0m ; -0.2 m\right)$	$10^{-4} C$
   $\left(0.1m; -0.4m ; -0.2 m\right)$	$-10^{-2} C$
   $\left(-0.2m; -0.2m ; -0.2 m\right)$	$10^{-3} C$

   
   den Betrag der auf eine Testladung $q=10^{-10} C$ ausgeübten Kraft als Funktion der kartesischen Koordinaten $(x,y;z)$.

Lösungen

1. 1. Eine Ladung $+q$
      
   2. Zwei Ladungen $+2q$ und $-q$
      
   3. Vier Ladungen $+q$ und $-q$
      
   4. Acht Ladungen $+q$ und $-q$
      
2. • Aus Symmetriegründen (Kraft=Gegenkraft) ist die Auslenkung der Pendel symmetrisch.
   • Wir bezeichnen den Winkel des Fadens mit der Senkrechten mit $\alpha$.
   • Der Abstand der beiden Massenpunkte ist dann
     
     $$r = 2 \ell \sin\alpha$$
     
     

   • Die Coulombkraft auf einen Massenpunkt ist dann
     
     $$F_C = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}$$
     
     

   • Die Coulombkraft plus die Gewichtskraft müssen eine Nettokraft entlang des Fadens geben. Also muss gelten:
     
     $$\tan \alpha = \frac{F_C}{F_G} = \frac{F_C}{mg}$$
     
     

   • Zusammen:
     
     $$\tan\alpha = \frac{q_1 q_2}{4\pi \epsilon_0 m g }\;\frac{1}{4... ...n_0 m g \ell^2}\;\frac{1}{\sin^2\alpha}= \frac{A}{\sin^2\alpha}$$
     
     
     mit
     
     $$A = \frac{q_1 q_2}{16\pi \epsilon_0 m g \ell^2}$$
     
     

   • Setzen wir $\sin^2\alpha = y$ müssen wir die Gleichung
     
     $$y^3 +A^2y -A^2 = 0$$
     
     
     lösen.
   • Diese Gleichung kann nach Cardano wie folgt gelöst werden:
     
     $$y^3 +3p y +2q=0$$
     
     
     hat eine reelle Lösung, wenn die Diskriminante $q^2+p^3>0$ ist. Dies ist hier der Fall, da $p>0$ ist. Die Lösung ist
     
     $$y_1 = u+v$$
     
     
     wobei $u$ und $v$ durch
     $$\begin{eqnarray*} u^3 & = & -q +\sqrt{p^3+q^2} \\ v^3 & = & -q -\sqrt{p^3+q^2} \nonumber \end{eqnarray*}$$
     
     
     
     
     
     gegeben ist. Dabei muss $uv=-p$ sein. $u$ ist in jedem Falle positiv, $p$ auch. Deshalb sind die Lösungen
     $$\begin{eqnarray*} u & = & \sqrt[3]{-q +\sqrt{p^3+q^2}} \\ v & = & -\sqrt[3]{q +\sqrt{p^3+q^2}} \nonumber \end{eqnarray*}$$
     
     
     
     
     
     Mit $q= -A^2/2$ und $p=A^2/3$ erhalten wir
     
     $$\sin^2 \alpha = y = \sqrt[3]{\frac{A^2}{2} +\sqrt{\frac{A^6}{... ...-\sqrt[3]{-\frac{A^2}{2} +\sqrt{\frac{A^6}{27}+\frac{A^4}{4}}}$$
     
     

   • Wir setzen die Werte ein und erhalten
     
     $$A = \frac{10^{-6} C \cdot 10^{-7} C}{16 \pi 8.85 \cdot 10^{-1... ...9.81 N kg^{-1}\cdot 0.01 kg \cdot 0.15^2 m^2} = 0.1014389766$$
     
     

   • Damit ist
     $$\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha &=& y \\ &=& \sqrt[3]{\frac{0.1014389766^2}{2... ...0^{-6}}\\ &=&0.2181117919- 0.01585149438\\ &=&0.2022602975 \end{eqnarray*}$$
     
     
     
     
     
     Also ist
     
     $$\alpha = \arcsin(\sqrt{y}) = 0.4664670339 \triangleq 26.73^0$$
     
     

3. Erwartung: $\alpha \approx 90^0$.
   Rechnung in Maple mit 30 Stellen Genauigkeit (20 Stellen geben Rundungsfehler!):
   
   $$\alpha = 89.9999999999999999999999999999^0$$
   
   
   und
   
   $$A = 1018439766003.40334200218668671$$
   
   

4. Die Coulombkraft ist gegeben durch
   
   $$F_C = E\cdot q$$
   
   
   Bei einer konstanten, in Bewegungsrichtung verlaufenden Kraft ist die Arbeit
   
   $$W = F\cdot s = E\cdot q\cdot s$$
   
   
   Die klassische kinetische Energie ist
   
   $$E_{kin} = \frac{1}{2} mv^2$$
   
   
   Die klassische Energieerhaltung ergibt
   
   $$\frac{1}{2} mv^2 =E\cdot q\cdot s$$
   
   
   oder
   
   $$v = \sqrt{2 E \cdot\frac{q}{m} s}$$
   
   
   Relativistisch ist die kinetische Energie
   
   $$E_{kin,rel} = m(v)c^2-m_0c^2= m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right)=E\cdot q\cdot s$$
   
   
   Umgeformt
   
   $$\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =E\cdot q\cdot s+m_0c^2$$
   
   
   
   
   $$\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} =\frac{E\cdot q\cdot s}{m_0c^2}+1$$
   
   
   
   
   $$\sqrt{1-v^2/c^2} =\frac{m_0 c^2}{E\cdot q\cdot s+m_0c^2}$$
   
   
   
   
   $$1-v^2/c^2 =\frac{m_0^2 c^4}{\left(E\cdot q\cdot s+m_0c^2\right)^2}$$
   
   
   
   
   $$v^2/c^2 =1-\frac{m_0^2 c^4}{\left(E\cdot q\cdot s+m_0c^2\right)^2}$$
   
   
   
   
   $$v^2 =c^2\left[1-\frac{m_0^2 c^4}{\left(E\cdot q\cdot s+m_0c^2\right)^2}\right]$$
   
   
   
   
   $$v =c\sqrt{1-\frac{m_0^2 c^4}{\left(E\cdot q\cdot s+m_0c^2\right)^2}}$$
   
   
   und
   
   $$v=c\frac{\sqrt{E^2\cdot q^2\cdot s^2+2E\cdot q\cdot s\cdot m_0 c^2}}{E\cdot q\cdot s+m_0c^2}$$
   
   
   1. klassisch: $v = 8.3815\cdot 10^6 m/s$
      relativistisch: $v = 8.3791\cdot 10^6 m/s$
   2. klassisch: $v = 5.9266\cdot 10^6 m/s$
      relativistisch: $v = 5.9257\cdot 10^6 m/s$
   3. klassisch: $v = 1.0265\cdot 10^8 m/s$
      relativistisch: $v = 9.8386\cdot 10^7 m/s$
   4. klassisch: $v = 5.9266\cdot 10^9 m/s$
      relativistisch: $v = 3.0000\cdot 10^8 m/s$
5. Nach der Vorlesung Grundlagen IIIa (Seite 79) gilt
   
   $$I = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\mu\mu_0}}E^2$$
   
   
   Die Ladung eines einfach geladenen Ions beträgt $q=\vert e\vert$
   Also ist (mit $\mu=1=\varepsilon$
   
   $$F = q\cdot E = q\sqrt{2\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}I}$$
   
   
   oder eingesetzt:
   $$\begin{eqnarray*}F &=& q\cdot E\\ &=& 1.6\cdot 10^{-19} C \sqrt{2\sqrt{\frac{1... ...6}H/m}{8.85\cdot 10^{-12} F/m}}10^6 W/m^2}\\ &=& 4.392397429 fN\end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

6. Die Coulombkraft beträgt
   $$\begin{eqnarray*}&&F_C\left(\left(%% \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ ... ...}{c} x_1-x_2 \\ y_1-y_2 \\ z_1-z_2 \\ \end{array}%% \right)\end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Bei mehreren Ladungen addieren sich die Kräfte vektoriell. Mit den Ladungen $q_1 \ldots q_5$ und den entsprechenden Koordinaten bekommt man
   $$\begin{eqnarray*} F &=& \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum\limits_{i=1}^5 \frac{q\... ....2m \\ y+0.2m \\ z+0.2m \\ \end{array}%% \right)\right]\\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Die folgenden Bilder zeigen $F_x$ in Schnitten parallel zur $xy$-Ebene in verschiedenen Höhen $z$.
   
   
   
   
   

Über dieses Dokument ...

Übungsblatt 01
PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 99.2beta8 (1.46)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

The command line arguments were:
latex2html uebungsblatt01

The translation was initiated by marti on 2004-02-10