Übungsblatt 03
PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

17. 11. 2003 oder 24. 11. 2003

Aufgaben

1. Berechnen Sie, unter Vernachlässigung von Randeffekten, die Kapazität zwischen der obersten und der untersten Platte der in der Skizze gezeigten Anordnung. Die kleinen Platten zwischen den Randplatten sind isoliert.
   
2. Berechnen Sie die Kapazität einer leitfähigen Hohlkugel mit dem Radius $R$.
3. Welche der Vektorfelder sind konservativ?
   1. $\vec F_1(r,\phi,\theta) = \left(r^{-2};0;0\right)$
   2. $\vec F_2(r,\phi,\theta) = \left(r^{-3};0;0\right)$
   3. $\vec F_3(r,\phi,\theta) = \left(-r^{-2};r^{-1};0\right)$
   4. $\vec F_4(x,y,z) = \left(x-y-z;y-x+z;z+y-x\right)$
   5. $\vec F_5(x,y,z) = \left((x-y-z)^2;(y-x+z)^2;(z+y-x)^2\right)$
   wobei die sphärischen Koordinaten durch
   $$\begin{eqnarray*} x &=& r*\cos(\phi)*\sin(\theta)\\ y &=& r*\sin(\phi)*\sin(\theta)\\ z &=& r*\cos(\theta) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   definiert seien. Beachten sie, dass die Definition sphärischer Koordinaten in Maple (Hilfekapitel ''coords'' und im Bronstein nicht konsistent sind.
4. Berechnen Sie zu dem Potential
   
   $$U(x;y;z) = \frac{\rho_0}{\epsilon_0}\frac{x\cdot y\cdot z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$
   
   
   die dazugehörige Ladungsverteilung und das elektrische Feld.
5. Berechnen Sie das (die?) zur Ladungsverteilung
   
   $$\rho(r;\phi;\theta) = \rho_0\frac{\cos{\theta}}{r^2\sin(\theta)}$$
   
   
   gehörige Potential.
6. Berechnen Sie die klassische Umlaufszeit eines Elektrons um ein Proton, wenn der Durchmesser des Wasserstoffatoms $d=105.8 pm$ ist. Was könnte bei dieser Betrachtung des Wasserstoffatoms falsch sein?

Lösungen

1. Die Kapazität eines Kondensators beträgt
   
   $$C = \frac{\epsilon_0 A_0}{h}$$
   
   
   Unsere Schaltung sieht formal, bei Vernachlässigung der Randeffekte, wie
   
   aus. Die resultierende Kapazität aus den Serien- und Parallelschaltungen ist
   $$\begin{eqnarray*} C_{tot} & = & \left(C_1\; \textrm{in Serie}\; C_2\right) \ver... ...C_2)(C-4+C_5)+ C_4 C_5 (C_1+C_2)}{(C_1+C_2)(C_4+C_5)} \nonumber \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Wenn $A_0 = b\cdot a$ die Deckfläche ist, dann haben die Kondensatoren $C_1$ und $C_2$ die Fläche $A_{1,2} = A_0/4$. Die Kondensatoren $C_4$ und $C_5$ haben die Fläche $A_{4,5} = A_0/2$. Schliesslich hat $C_3$ die Fläche $A_3 = A_0/4$. Wir bekommen als Werte
   $$\begin{eqnarray*} C_1 & = & \frac{\epsilon_0 A_{1,2}}{5h/6} = \frac{\epsilon_0 ... .../2} = \frac{\epsilon_0 A_0/2}{h/2}= \frac{\epsilon_0 A_0}{h}= C \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   
   
   $$\frac{C_1 \cdot C_2}{C_1+C_2} = \frac{\frac{3}{10}\cdot \frac... ...{10}+\frac{3}{2}}C =\frac{3}{2+10}C=\frac{3}{12}C=\frac{1}{4}C$$
   
   
   
   
   $$\frac{C_4 \cdot C_5}{C_4+C_5} = \frac{1\cdot 1}{1+1}C =\frac{1}{2}C$$
   
   
   
   
   $$C_{tot} = \frac{1}{4}C+\frac{C}{4}+\frac{C}{2} = \frac{4}{4} C=C=\frac{\epsilon_0 a\cdot b}{h}$$
   
   

2. Wenn die Ladung $Q$ ist, ist das radiale elektrische Feld für $r>R$
   
   $$E(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$
   
   
   und das Potential (mit $U(\infty)=0$)
   
   $$U(R)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}$$
   
   
   Die Definition der Kapazität ist
   
   $$C = \frac{Q}{U(Q)}$$
   
   
   also
   
   $$C = 4\pi\epsilon_0 R$$
   
   

3. Die Rotation in kartesischen Koordinaten ist als Determinante
   
   $$\textrm{rot} {}\vec F = \left( \begin{array}{c} F_x \\ F... ...ial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \\ \end{array} \right)$$
   
   
   gegeben. In sphärischen Koordinaten lautet die Rotation
   $$\begin{eqnarray*}\textrm{rot} {}\vec F& =& \textrm{rot} {}\left( \begin{array... ...rtial r}\left(r \cdot F_\phi\right)\right)\right]\vec e_\theta \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   1. Wegen
      $$\begin{eqnarray*} \textrm{rot} {}\vec F_1(r,\phi,\theta) &=& \textrm{rot} {}\... ...l r}\left(r\cdot 0\right)\right)\right]\vec e_\theta\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      
      ist die Funktion konservativ.
   2. Wegen
      $$\begin{eqnarray*} \textrm{rot} {}\vec F_2(r,\phi,\theta) &=& \textrm{rot} {}\... ...l r}\left(r\cdot 0\right)\right)\right]\vec e_\theta\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      
      ist die Funktion konservativ.
   3. Wegen
      $$\begin{eqnarray*} \textrm{rot} {}\vec F_3(r,\phi,\theta) &=& \textrm{rot} {}\... ...os\theta}{r^2\sin\theta} \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      
      ist die Funktion nicht konservativ.
   4. Wegen
      $$\begin{eqnarray*} \textrm{rot} {}\vec F_4(x,y,z) &=& \textrm{rot} {}\left(x-y... ...ght]\vec e_y\\ &&+ \left[ -1-(-1) \right]\vec e_z\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      
      ist die Funktion konservativ.
   5. Wegen
      $$\begin{eqnarray*} \textrm{rot} {}\vec F_5(x,y,z) &=& \textrm{rot} {}\left((x-... ...ay}{c} 0 \\ 4(-x+y+z) \\ 4(x-y-z) \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      
      ist die Funktion nicht konservativ.
4. Wir verwenden
   
   $$\Delta U = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho_{el}$$
   
   
   oder
   
   $$\rho_{el} = -\epsilon_{0}\Delta U$$
   
   
   Nun ist
   
   $$\Delta U = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial z^2}$$
   
   
   Wir setzen $U$ ein
   $$\begin{eqnarray*} \Delta U & = & -\frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\rho_0}{... ...\epsilon_0}\frac{x\cdot y\cdot z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \nonumber \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Da die Funktion in $x$ ,$y$, $z$ symmetrisch ist berechnen wir nur
   $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{x\cdot y\cdot z}{\sqrt{x... ...3x^3\cdot y\cdot z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}\nonumber\\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Alle drei Komponenten zusammen ergeben (Vorzeichen!)
   $$\begin{eqnarray*} \rho_{el} &=& -\epsilon_0\Delta U \\ &=& \epsilon_0 \cdot -... ...c{6\rho_0\cdot x\cdot y\cdot z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}} \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

5. Wir verwenden den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten.
   
   $$\Delta U = \frac{\partial^2 U}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \fra... ...a^2}+\frac{1}{r^2}\cot\theta \frac{\partial U}{\partial \theta}$$
   
   
   Wir verwenden, dass der Laplace-Operator linear ist. Betrachten wir nur den Term mit $\frac{\partial U}{\partial\Theta}$ dann muss
   
   $$\frac{\rho(r;\phi;\theta)}{\rho_0}=\frac{\cos{\theta}}{r^2\si... ...r^2}=\frac{\cot{\theta}}{r^2}\frac{\partial U}{\partial\Theta}$$
   
   
   sein. Also muss
   
   $$\frac{\partial U}{\partial \theta} = 1$$
   
   
   sein. Der Term mit $\frac{\partial^2 U}{\partial\Theta^2}$ ist mit dieser Wahl identisch null. Also ist
   
   $$\frac{U}{\rho_0} = \theta$$
   
   
   eine Lösung des Problems. Allgemein kann noch eine radiale Funktion, für die
   
   $$\frac{\partial^2 U}{\partial r^2} = -\frac{2}{r} \frac{\partial U}{\partial r}$$
   
   
   ist addiert werden. Wir setzen an, dass $\tilde{U}=r^n$ ist.
   
   $$\frac{\partial r^n}{\partial r^2}=\frac{\partial n\cdot r^{n-... ...ial r^n}{\partial r}=-\frac{2}{r} n\cdot r^{n-1} = -2n r^{n-2}$$
   
   
   Also muss
   
   $$n(n-1) = -2n$$
   
   
   sein. Es gibt zwei Lösungen, $n=0$ und $n=-1$. Der dritte Summand des Laplaceoperators ist null, wenn $U= A\cdot \phi + B$ ist. Zusammen haben wir also die Lösungen
   $$\begin{eqnarray*} U(r;\phi;\theta) & = & \rho_0\left(A\cdot \phi + B +\theta\ri... ...= & \rho_0\left(\frac{R_0}{r}+A\cdot \phi + B +\theta\right)\\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

6. Wir rechnen ohne Berücksichtigung der Vorzeichen. Die Geometrie der Bahn bedingt die Zentripetalbeschleunigung
   
   $$a_z = \omega^2 \cdot r$$
   
   
   Die physikalische Ursache der Zentripetalbeschleunigung ist die Coulombkraft
   
   $$a_z = \frac{F_C}{m_{red}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{m_{red} r^2} = \omega^2 r$$
   
   
   Wir verwenden die reduzierte masse, da es sich hier um ein Zweikörperproblem handelt. Umgestellt
   
   $$\omega = \sqrt{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{m_{red} r^3}}$$
   
   
   und mit $\omega = 2\pi/T$
   
   $$T = \frac{2\pi}{e}\sqrt{4\pi\epsilon_0 m_{red} r^3}=\frac{4}{e}\sqrt{\pi^3\epsilon_0 m_{red} r^3}$$
   
   
   Die Masse des Elektrons ist $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31} kg$. Die Protonenmasse ist $m_p = 1.673\cdot 10^{-27} kg$. Die reduzierte Masse ist dann
   
   $$m_{red} = \frac{m_p \cdot m_e}{m_e+m_p} = 9.105\cdot 10^{-31} kg$$
   
   
   Also ist
   
   $$T = 0.152 fs$$
   
   

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