Übungsblatt 04
PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

1. 12. 2003 oder 8. 12. 2003

Aufgaben

1. Mit Kondensatoren der Grösse $C$ wird ein Würfel zusammengelötet. Wie gross ist die Ersatzkapazität entlang der Raumdiagonale?
2. Mit Kondensatoren der Grösse $C$ wird ein Rhomben-Dodekaeder zusammengelötet. Wie gross ist die Ersatzkapazität entlang der Raumdiagonale zwischen gegenüberliegenden vierflächigen Ecken? Wie gross ist die Ersatzkapazität entlang der Raumdiagonale zwischen gegenüberliegenden dreiflächigen Ecken?
3. Berechnen Sie die Dielektrizitätszahl für Kohlenstoff ($C$). Bekannt ist: $C$ hat eine Kernladungszahl $Z=6$ und eine Masse von $m=12u$, wobei $u=1.67*10^{-27} kg$ die atomare Masseneinheit ist. Die Dichte ist $3520 kg/m^3$. Ein $C$-Atom hat eine erste Ionisationsenergie von $E_{ion}=11.26 eV$. Nehmen Sie ein klassisches harmonisches Potential an und berechnen Sie die atomare Federkonstante $k$. Nach dem Lindemann-Kriterium (u.a. der wissenschaftliche Berater von Winston Churchill) bricht eine Bindung auf (quantenmechanisches Tunneln), wenn der Bindungsabstand $2r_C=d=0.182 nm$ um $8.3\%$ gedehnt wird. Vergleichen Sie das Resultat mit $n=\sqrt{\epsilon}=2.417$ für Diamant.
   (Quelle: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pertab/c.html#c1)
4. Beim ersten Rastertunnelmikroskop (STM, erfunden von Binnig und Rohrer, Nobelpreis 1986) wurden elektrostatische Klammern verwendet. Polierte Saphirplättchen ( $\epsilon_{\vert\vert} = 11.5$ und $\epsilon_\bot = 9.4$ bezogen auf die kristallographische $c$-Achse, Quelle: http://bibliothek.fzk.de/zb/berichte/FZKA6496.pdf, Seite 29) mit einer Dicke $d= 1mm$ wurden zwischen einer festen und einer beweglichen Elektrode angebracht. Zwischen den beiden Elektroden wurde eine Spannung von $2500 V$ angelegt. Welche Haltekraft hatte diese Klammer, wenn die Elektroden Kreise mit $r=1cm$ waren?
5. Die Standbyschaltung eines Gerätes soll aus einem Kondensator mit $C=100 mC$ versorgt werden. Die Ladespannung sei $U_{max} = 5 V$, die Endspannung, be der die Standbyschaltung nicht mehr arbeitet, sei $U_{min}= 3 V$. Wie lange überbrückt die Standby-Schaltung einen Stromausfall, wenn ihr Verbrauch $I=2 \mu A$ ist?
6. Die Kugel oben bei einem van de Graaff-Generatoren hat einen Durchmesser von $20 cm$. Wie gross ist die Oberflächenladungsdichte bei einer Spannung von $U=400 kV$?
7. Wir modellieren den Fahrdraht der DB AG wie folgt: Ein zylinderförmiger Leiter, unendlich lang, mit einer Querschnittsfläche von $A= 100 mm^2$ ist $h=5.75 m$ über einer unendlich ausgedehnten leitenden Ebene. Die Spannung zwischen dem Fahrdraht und der Ebene ist sinusförmig, der RMS-Wert $U_{RMS} = 15 kV$ ( $U_{RMS}= \sqrt{ \frac{1}{T}\int_0^T U^2(t)dt}$). Wie gross ist die maximale Oberflächenladungsdichte $\sigma$, gemittelt über den ganzen Umfang, auf dem Fahrdraht?

Lösungen

1. Die Situation sieht folgendermassen aus:
   

   	Die Raumdiagonale ist eine Symmetrieachse (3-zählige Rotationssymmetrie). Gesucht wird die Ersatzkapazität zwischen A und D. Deshalb müssen die Spannungen an den Punkten $B$ gleich sein, ebenso an den Punkten $C$. Wir erhalten also folgende Ersatzschaltung:
   	Die Ersatzschaltung besteht also aus der Serieschaltung von drei Kondensatoren mit den Kapazitäten $3C$, $6C$ und $3C$ $$\begin{eqnarray*} C_{tot} &=& \frac{1}{\frac{1}{3C}+\frac{1}{6C}+\frac{1}{3C}}\\ &=&\frac{6C}{2+1+2}\\ &=&\frac{6}{5}C \end{eqnarray*}$$

2. Die Situation sieht folgendermassen aus:
   

   	Die Raumdiagonale von $A$ zu $E$ ist eine Symmetrieachse (4-zählige Rotationssymmetrie). Gesucht wird die Ersatzkapazität zwischen A und E. Deshalb müssen die Spannungen an den Punkten $B$ gleich sein, ebenso an den Punkten $C$ und $D$. Wir erhalten also folgende Ersatzschaltung:
   	Die Ersatzschaltung besteht also aus der Serieschaltung von vier Kondensatoren mit den Kapazitäten $4C$, $8C$, $8C$ und $4C$ $$\begin{eqnarray*} C_{tot} &=& \frac{1}{\frac{1}{4C}+\frac{1}{8C}+\frac{1}{8C}+\frac{1}{4C}}\\ &=&\frac{8C}{2+1+1+2}\\ &=&\frac{4}{3}C \end{eqnarray*}$$

   Die Situation sieht folgendermassen aus:
   

   	Die Raumdiagonale von $A$ zu $F$ ist eine Symmetrieachse (3-zählige Rotationssymmetrie). Gesucht wird die Ersatzkapazität zwischen $A$ und $F$. Deshalb müssen die Spannungen an den Punkten $B$ gleich sein, ebenso an den Punkten $C$, $D$ und $E$. Wir erhalten also folgende Ersatzschaltung:
   	Die Ersatzschaltung besteht also aus der Serieschaltung von vier Kondensatoren mit den Kapazitäten $3C$, $3C$ sowie der Parallelschaltung von je zwei Serieschaltungen von $3C$ und $6C$. $$\begin{eqnarray*} C_{tot} &=& \frac{1}{\frac{1}{3C}+\frac{1}{\frac{2}{\frac{1}{... ...}+\frac{1}{3C}}\\ &=&\frac{12C}{4+3+4}\\ &=&\frac{12}{11 }C \end{eqnarray*}$$

3. Die Ionisationsenergie ist $E_{ion}$
   
   $$E_{ion} = \frac{1}{2} k x^2$$
   
   
   wobei $x$ der Abstand ist, bei der die Ionisation eintritt. Wir haben auch
   
   $$k = \frac{2 E_{ion}}{x^2}$$
   
   
   Nach Lindemann ( $f_{Lindemann}=0.083$) bricht (quantenmechanisches Tunneln) eine Bindung, wenn Sie um $x=\frac{d}{2}*f_{Lindemann}$ ausgelenkt wird (Auslenkung wird auf beide Atome aufgeteilt). Also ist bei einer Bindungslänge $d$
   
   $$k = \frac{2 E_{ion}}{f_{Lindemann}^2\frac{d^2}{4}}=\frac{8 E_{ion}}{f_{Lindemann}^2 d^2}$$
   
   
   Die atomare Polarisierbarkeit ist also
   
   $$\alpha = \frac{\left(Z e\right)^2}{k} = \frac{\left(Z \cdot e \cdot f_{Lindemann}\cdot d\right)^2}{ 8 E_{ion}}$$
   
   
   Nach Clausius und Mosotti ist
   
   $$\frac{\epsilon-1}{\epsilon+2} = \frac{N\alpha}{3\epsilon_0}$$
   
   
   Aufgelöst nach $\epsilon$
   
   $$\epsilon = \frac{\epsilon_0+2N\alpha}{\epsilon_0-N\alpha}$$
   
   
   oder
   
   $$\epsilon = \frac{8 E_{ion}\epsilon_0+2N\left(Z \cdot e \cdot ... ...epsilon_0-N\left(Z \cdot e \cdot f_{Lindemann}\cdot d\right)^2}$$
   
   
   Die Anzahl Atome errechnet sich aus
   
   $$N = \frac{\rho}{m}$$
   
   
   so dass wir
   
   $$\epsilon = \frac{8 E_{ion}\epsilon_0+2\frac{\rho}{m}\left(Z \... ...ilon_0-\rho\left(Z \cdot e \cdot f_{Lindemann}\cdot d\right)^2}$$
   
   
   bekommen. Eingesetzt (mit SI-Einheiten) erhalten wir
   
   $$\epsilon=\frac{8\cdot 12\cdot1.67\cdot10^{-27}\cdot 11.26\cdo... ...\right)^2\cdot 0.083^2\cdot \left(0.182\cdot 10^{-9}\right)^2}$$
   
   
   oder
   
   $$\epsilon=\frac{8\cdot 12\cdot1.67\cdot10^{-27}\cdot 11.26\cdo... ...t 10^{-19}\cdot 0.083^2\cdot \left(0.182\cdot 10^{-9}\right)^2}$$
   
   
   oder
   
   $$\epsilon =2.222$$
   
   
   Zum Vergleich $n=2.417 \simeq \epsilon = 5.84$.
4. Die potentielle Energie in einem Kondensator ist
   
   $$E_{pot} = \frac{Q^2}{2C}$$
   
   
   Die Kapazität ist
   
   $$C = \epsilon\epsilon_0\frac{A}{d}=\epsilon\epsilon_0\frac{\pi r^2}{d}$$
   
   
   Die Ladungsmenge auf dem Kondensator ist
   
   $$Q = C\cdot U$$
   
   
   Zusammen
   
   $$E_{pot}=\frac{C\cdot U^2}{2}$$
   
   
   Wenn der Abstand abnimmt, nimmt die potentielle Energie im Kondensator zu, sofern $U=const$. Das heisst, die Gesamtenergiebetrachtung muss die Batterie einschliessen. Sie liefert die Energie $dE_{bat}=U^2dC$. Weiter ist die mechanische Energie $E_{mech}=Fdx$. Wir erhalten also
   
   $$dE_{mech}+ dE_{pot}=d E_{bat} = Fdx+\frac{U^2}{2}dC=U^2dC$$
   
   
   oder
   
   $$Fdx= \frac{U^2}{2}dC=\frac{U^2}{2}\epsilon\epsilon_0\frac{\pi r^2}{x^2}dx$$
   
   
   Die Kraft ist
   
   $$F = \epsilon\epsilon_0\frac{\pi r^2U^2}{2d^2}$$
   
   
   oder (mit $\epsilon \approx 10$)
   
   $$F= 10\cdot 8.85\cdot 10^{-12}\frac{\pi \cdot 0.01^2 \cdot 2500^2}{2\cdot0.001^2} N = 87 mN$$
   
   

5. Bei der Spannung $U$ speichert ein Kondensator $C$ die Ladung
   
   $$Q = C\cdot U$$
   
   
   In unserem Falle kann die Ladungsmenge
   
   $$\Delta Q = C\left(U_{max}-U_{min}\right)$$
   
   
   als Strom fliessen. Mit $I = \frac{\delta Q}{\Delta t}$ bekommen wir
   
   $$\Delta t = \frac{\Delta Q}{I}= \frac{C\left(U_{max}-U_{min}\right)}{I}$$
   
   
   oder
   
   $$\delta t = \frac{0.1\cdot 2}{2\cdot 10^{-6}}s = 10^5 s \approx 1 Tag$$
   
   

6. Die Kapazität ist
   
   $$C=4\pi\epsilon_0 R$$
   
   
   Dann ist die Ladung
   
   $$Q = C\cdot U = 4\pi\epsilon_0 R U$$
   
   
   Die Oberfläche ist
   
   $$A = 4\pi R^2$$
   
   
   Also ist
   
   $$\sigma = \frac{C}{A} = \frac{4\pi\epsilon_0 R U}{4\pi R^2}= \frac{\epsilon_0 U}{R}$$
   
   
   Mit Zahlenwerten
   
   $$\sigma = \frac{8.85\cdot 10^{-12} \cdot 4\cdot 10^5}{0.2}\frac{C}{m^2} =17.7\frac{\mu C}{m^2}$$
   
   

7. Das elektrische Feld um eine Linienladung ist (radial vom Leiter gesehen)
   
   $$E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$$
   
   
   Das elektrische Feld auf der Verbindungslinie vom Draht zur Ebene ist die Überlagerung des Feldes mit seinem Bildfeld.
   
   $$E(x) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2h-x}\right)$$
   
   
   Wir haben dann, wenn $R$ der Radius des Leiters ist,
   $$\begin{eqnarray*} U(x) &=& U(R)-\int\limits_R^x \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\... ...eft(\frac{x}{R}\right)-\ln\left(\frac{2h-x}{2h-R}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Wir setzen $U(h)=0$ und erhalten
   
   $$U(R) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left(\ln\left(\frac{h}... ...= \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\left(\frac{2h}{R}-1\right)$$
   
   
   Der Umfang $\ell$ des Drahtes beträgt
   
   $$\ell = 2\pi r = 2\pi\sqrt{\frac{A}{\pi}}=2\sqrt{\pi A}$$
   
   
   Die Flächenladungsdichte ist dann
   
   $$\sigma = \frac{\lambda}{\ell}$$
   
   
   Weiter ist die maximale Spannung
   
   $$U_{max} = \sqrt{2}U_{RMS}$$
   
   
   Zusammen
   
   $$\sigma = \frac{\lambda}{\ell}=\frac{2\pi\epsilon_0 U_{max}}{\... ...sqrt{\frac{2\pi h}{A}}-1\right)}=5.2\cdot 10^{-6} \frac{C}{m^2}$$
   
   

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