Übungsblatt 05
PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

15. 12. 2003 oder 12. 1. 2004

Aufgaben

1. In einer Leitung, die parallel zur $x$-Achse liegt, befindet sich flüssiges Natrium. Entlang der $y$-Achse wird die magnetische Induktion $\vec B$ angelegt. Entlang der $z$-Achse fliesst der Strom $I$. Was soll die Anordnung bewirken?
2. Eine Wien-Robinson-Brücke sieht wie folgt aus:
   
   Die Eingangsspannung ist $U$, die Ausgangsspannung ist $U_a = U_2-U_1$. Nehmen Sie an, dass $U(t) = U_0 e^{i \omega t}$ ist.
   1. Berechnen Sie
      
      $$\dot{U}(t)=\frac{\partial U(t)}{\partial t}$$
      
      

   2. Drücken Sie $\dot{U}$ durch $U$ aus. Diese Funktion hat einen gemeinsamen, von $t$ abhängigen Faktor. Wird dieser abgespaltet, hängen die Vorfaktoren nur von $\omega$ ab.
   3. Berechnen Sie für einen Kondensator das Äquivalent des Ohmschen Gesetzes $U(\omega) = I(\omega)\cdot Z_C(\omega)$. $Z_C(\omega)$ ist die komplexe Impedanz des Kondensators bei der Frequenz $\omega$.
   4. Berechnen Sie für die Wien-Robinson-Brücke $U_a(\omega)/U_0$.
3. Zur Definition: Eine leiterförmige Anordnung (Widerstandsleiter) besteht aus zwei Holmen, verbunden durch Sprossen.
   
   Die Enden des einen Holms heissen $A$ und $B$, die des anderen $%% A'$ und $B'$. - Man lötet eine sehr lange Leiter zusammen; jede Sprosse hat einen Widerstand $R_{2}$, jeder Holm hat zwischen je zwei Sprossen den Widerstand $R_{1}$.
   1. Welchen Widerstand misst man zwischen den ''linken'' Enden $A$ und $A'$?
   2. Wenn man an $AA'$ die Spannung $U$ legt, welche Spannung misst man dann
      1. zwischen den Lötstellen der ersten Sprosse,
      2. der zweiten Sprosse,
      3. der $n$-ten Sprosse?
   3. Kann man z.B. erreichen, dass an jeder Sprosse genau halb soviel Spannung liegt wie an der vorhergehenden?
   4. Wenn man gezwungen ist, die Leiter auf wenige Sprossen zu verkürzen: Was kann man tun, damit sich der Widerstand zwischen $A$ und $A'$ und die Spannungen an den verbleibenden Sprossen nicht ändern? Hinweis: Wie ändert sich der Widerstand zwischen $A$ und $A'$, wenn Sie die ohnehin schon sehr lange Leiter um eine weitere Sprosse ($R_{2}$) und die beiden Holmstücke ($R_{1}$) nach links verlängern?
4. Der Large-Electron-Proton-Beschleuniger (LEP) des CERN hat einen Umfang von $27 km$. Angenommen, das Magnetfeld sei homogen entlang des Umfanges, wie gross müsste es sein um Elektronen mit dem Bruchteil $\beta$ der Lichtgeschwindigkeit auf der Bahn zu halten?
5. In Wirklichkeit gibt es am LEP $4600$ Magnete. Wie lang dürfen die Magnete maximal sein? Nehmen wir $10\%$ Füllung an, d.h. die Magnete beanspruchen eine totale Länge von $2.7 km$. Wie gross ist der Winkel pro Magnet? Was ist der äquivalente Radius? Was wäre das maximale $\beta$, wenn $B\leq 5 T$ wäre?
6. Zwei unendlich ausgedehnte, parallele Kupferebenen mit der Dicke $d=1mm$ führen einen Gleichstrom von $1A$ pro Breite $b=1mm$ hin und zurück. Die Spannung zwischen beiden Leitern beträgt $U=24V$. Wie gross ist die relativistische Korrektur des elektrischen Feldes zwischen den beiden Leitern?

Lösungen

1. Die Elektronen werden durch die Lorentz-Kraft in Richtung der Röhre abgelenkt. Da sie mit den Natriumatomen stossen, übertragen sie einen Impuls in Richtung der Röhre und pumpen so das flüssige Metall.
   Siehe auch Institut für Geophysik Göttingen
2. 1. Wir erhalten
      
      $$\dot{U}(t) = i\omega U_0e^{i\omega t}$$
      
      

   2. 
      
      $$\dot{U}(t) = i\omega U(t)$$
      
      

   3. Wir erhalten
      
      $$Z_C = \frac{1}{i\omega C}$$
      
      

   4. $U_1$ erhalten wir über
      
      $$U_1 = U \frac{R_2}{R_1+R_2}$$
      
      
      $U_2$ erhalten wir über
      
      $$U_2 = \frac{R\vert\vert Z_C}{R\vert\vert Z_C+R+Z_C}U = \frac{RZ_C}{RZ_C+(R+Z_C)^2}U$$
      
      
      oder
      
      $$U_2 = \frac{\frac{R}{i\omega C}}{\frac{R}{i\omega C}+(R+\frac{1}{i\omega C})^2}U$$
      
      
      
      
      $$U_2 = \frac{i\omega RC}{i\omega RC+(i\omega RC+1)^2}U$$
      
      
      also
      
      $$U_a = U_2-U_1 = \left[\frac{i\omega RC}{i\omega RC+(i\omega RC+1)^2}-\frac{R_2}{R_1+R_2}\right]U$$
      
      
      Setzen wir $R2=2R_1$ so ist
      
      $$U_a(\omega = 1/(RC)) = 0$$
      
      
      da
      
      $$\frac{i}{i+(1+i)^2} = \frac{i}{i+1+2i-1}= \frac{i}{3i} = \frac{1}{3}$$
      
      
      ist.

3. 1. Zwischen $A$ und $A'$ messe man den Widerstand $R$ für eine sehr lange Leiter.

      Aus der Tatsache, dass überhaupt etwas Endliches herauskommt, d. h. dass der Widerstand konvergiert, folgt, dass man oben ein weiteres Glied anlöten kann, ohne $R$ zu ändern.

      Die zu berechnende Schaltung ist:
      
      

      $$R = 2R_1 + R \vert\vert R_2 = 2R_1 + \frac{R_2\cdot R}{R+R_2}$$
      
      

      
      

      $$R^2 + R R_2 = 2R_1(R+ R_2) + R R_2$$
      
      

      
      

      $$R^2 -2 R R_1 = 2R_1R_2$$
      
      

      
      

      $$(R - R_1)^2-R_1^2 = 2R_1R_2$$
      
      

      
      

      $$R - R_1 = \pm\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}$$
      
      

      
      

      $$R = R_1\pm\sqrt{R_1^2+2R_1R_2}$$
      
      

      Nur die Lösung mit $+$ ist physikalisch sinnvoll, so dass wir

      
      

      $$R = R_1\left(\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1\right)$$
      
      

   2. • Legen wir zwischen $A$ und $A'$ die Spannung $U$ an, ist die Spannung über der ersten Sprosse
        $$\begin{eqnarray*}U_1 &=& \frac{R\vert\vert R_2}{R\vert\vert R_2+2R_1}U\\ &=& \... ...rac{1}{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}+\frac{R_1}{R_2}\right)}U\\ \end{eqnarray*}$$
        
        
        
        
        

      • Für die zweite Sprosse lautet die Gleichung:
        $$\begin{eqnarray*}U_2 &=& \frac{R\vert\vert R_2}{R\vert\vert R_2+2R_1}U_1\\ & =... ...\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}+\frac{R_1}{R_2}\right)\right)^2} U \end{eqnarray*}$$
        
        
        
        
        

      • $U_n$ berechnet man, indem man diese Formel wiederholt anwendet. Wir benützen die Tatsache, dass der Widerstand unserer unendlich langen Leiter konstant ist.

        
        

        $$U_n = \frac{1}{\left[1+2\left(\frac{1}{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}+\frac{R_1}{R_2}\right)\right]^n}U$$
        
        

   3. Wir setzen
      
      $$\frac{1}{2} = \frac{1}{1+2\left(\frac{1}{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}+\frac{R_1}{R_2}\right)}$$
      
      

      oder

      
      

      $$1+2\left(\frac{1}{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}+\frac{R_1}{R_2}\right) = 2$$
      
      

      
      

      $$2\left(\frac{1}{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}+\frac{R_1}{R_2}\right) = 1$$
      
      

      
      

      $$\left(\frac{1}{\sqrt{1+2\frac{R_2}{R_1}}+1}+\frac{R_1}{R_2}\right) = \frac{1}{2}$$
      
      

      Wir setzen $R_2/R_1 = \alpha$.

      
      

      $$\left(\frac{1}{\sqrt{1+2\alpha}+1}+\frac{1}{\alpha}\right) = \frac{1}{2}$$
      
      

      
      

      $$\frac{1}{\sqrt{1+2\alpha}+1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{\alpha}= \frac{\alpha-2}{2\alpha}$$
      
      

      
      

      $$\sqrt{1+2\alpha}+1 = \frac{2\alpha}{\alpha-2}$$
      
      

      
      

      $$\sqrt{1+2\alpha} = \frac{2\alpha}{\alpha-2}-1=\frac{2\alpha}{\alpha-2}-\frac{\alpha-2}{\alpha-2}=\frac{\alpha+2}{\alpha-2}$$
      
      

      
      

      $$1+2\alpha = \left(\frac{\alpha+2}{\alpha-2}\right)^2=\frac{\alpha^2+4\alpha+4}{\alpha^2-4\alpha+4}$$
      
      

      
      

      $$\alpha^2-4\alpha+4+2\alpha\left(\alpha^2-4\alpha+4\right) = \alpha^2+4\alpha+4$$
      
      

      
      

      $$2\alpha\left(\alpha^2-4\alpha+4\right) = 8\alpha$$
      
      

      
      

      $$\alpha^2-4\alpha+4 = 4$$
      
      

      
      

      $$\left(\alpha-4\right)\alpha = 0$$
      
      

      Also ist $\alpha = 0$ (unsinnig) oder $\alpha = \frac{R_2}{R_1} = 4$

      
      

      $$R_2 = 4R_1$$
      
      

      $R$ ist dann $R = 4 R_1$.

   4. Dieses $R$ ist auch der Widerstand, mit dem man die kurze Leiter abschliessen muss, damit sie sich verhält wie eine lange.

4. Der Radius ist
   
   $$r = \frac{U}{2\pi}$$
   
   
   Die Lorentzkraft ist gleich der durch der Geometrie bedingten Zentripetalkraft.
   
   $$m(v)\frac{v^2}{r} = qvB$$
   
   
   Die geschwindigkeitsabhängige Masse ist
   
   $$m(v) = m_0 \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
   
   
   also
   
   $$B = \frac{m_0 v}{qr \sqrt{1-v^2/c^2}}$$
   
   
   Mit $\beta = v/c$ erhalten wir
   
   $$B = \frac{2\pi m_0 c \beta}{q U \sqrt{1-\beta^2}}$$
   
   
   Zum Beispiel mit $\beta = 0.999999$ erhalten wir $B=0.28 mT$
5. Bei einer Länge von $U= 27km$ und 4600 Magneten stehen für jeden Magneten
   
   $$\ell_{max} = 27000 m/4600 = 5.870 m$$
   
   
   zur Verfügung. Der Füllfaktor von $10\%$ heisst, dass jeder Magnet
   
   $$\ell = \ell_{max}/10 = 0.5870 m$$
   
   
   lang ist. Zur Berechnung des Magnetfeldes kann angenommen werden, dass der Umfang nun $\hat U = 2.7 km$ ist. Aufgelöst erhalten wir
   
   $$\beta = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{4\pi^2 c^2}{q^2U^2B^2}}}$$
   
   
   Eingesetzt erhalten wir (mit 20 signifikanten Stellen)
   
   $$\beta = 0.99999999999996496480$$
   
   

6. Zur Berechnung verwenden wir, dass die elektrischen und magnetischen Felder unendlich ausgedehnter Platten oder unendlich ausgedehnter homogener ebener Ströme unabhängig vom Abstand zur Platte oder zum Strom sind.

   Wir nehmen an, dass wir im Ruhezustand die Flächenladungsdichten $\sigma$ für die positiven wie für die negativen Ladungen haben.

   Das elektrische Feld einer homogen geladenen unendlich ausgedehnten Platte ist
   

   $$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$
   
   

   Mit einer Rechnung analog zur Vorlesung (Kapitel 3.6.2) bekommt man
   

   $$\sigma' = -2\beta\beta'\gamma = \frac{-2\sigma v v_0}{c^2}\gamma$$
   
   

   Das neue elektrische Feld ist also
   

   $$E' = \frac{\sigma'}{2\epsilon_0}= \frac{-2\sigma v v_0}{2\epsilon_0 c^2}\gamma$$
   
   

   Das elektrische Feld im Ruhesystem der bewegten Ladung ist dann ( $\gamma = \sqrt{1-v^2/c^2}$)
   

   $$E' = -\frac{\sigma v v_0}{\epsilon_0 c^2}\gamma$$
   
   

   Die Kraft auf ein Teilchen im zweiten Leiter
   

   $$F' = -q E' = \frac{q \sigma v v_0}{\epsilon_0 c^2}\gamma$$
   
   

   Nun gilt für die Transformation der Kraft
   

   $$F' = \gamma F$$
   
   

   Also ist
   

   $$F = \frac{q \sigma v v_0}{\epsilon_0 c^2}$$
   
   

   Im Querschnitt $A=b\cdot d$ fliesst der Strom $I$. Die Stromdichte ist $j = I/A$. Weiter ist $I = \Delta q/\Delta t = = (\Delta q /\ell) \cdot v_0$ und damit $j_0 = \Delta Q/(A\cdot \ell) v_0 = \sigma v_0$.

   also ist
   

   $$F=\frac{j_0 q}{\epsilon_0 c^2}$$
   
   

   Mit
   

   $$c^{-2} = \epsilon_0\mu_0$$
   
   
   bekommen wir
   
   $$\frac{1}{\epsilon_0 c^2} = \frac{\epsilon_0 \mu_0}{\epsilon_0} = \mu_0$$
   
   
   und damit
   
   $$F= \mu_0 q v j_0$$
   
   
   Wir vergleichen diese Gleichung mit der Lorentzkraft $F_L = q v B$ und können schreiben, dass die relativistische Korrektur
   
   $$B = \mu_0 j_0$$
   
   
   ist, wie auch anders in der Vorlesung abgeleitet.

   Bemerkung: Die Angabe $U=24V$ ist nicht notwendig.

Korrektur zu den Lösungen zum Übungsblatt 4

	Die Raumdiagonale von $A$ zu $F$ ist eine Symmetrieachse (3-zählige Rotationssymmetrie). Gesucht wird die Ersatzkapazität zwischen $A$ und $F$. Deshalb müssen die Spannungen an den Punkten $B$ gleich sein, ebenso an den Punkten $C$, $D$ und $E$. Wir erhalten also folgende Ersatzschaltung:
	Die Ersatzschaltung besteht also aus der Serieschaltung von vier Kondensatoren mit den Kapazitäten $3C$, $3C$ sowie der Parallelschaltung von je zwei Serieschaltungen von $3C$ und $6C$. $$\begin{eqnarray*} C_{tot} &=& \frac{1}{\frac{1}{3C}+\frac{1}{\frac{2}{\frac{1}{... ...}+\frac{1}{3C}}\\ &=&\frac{12C}{4+3+4}\\ &=&\frac{12}{11 }C \end{eqnarray*}$$

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PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

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