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Klausur 1
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)

Date: 31. 5. 2005

Prüfungstermin 31. 5. 2005, 14:15 bis 16:00

Name	Vorname	Matrikel-Nummer	Kennwort

Die Prüfungsresultate werden ab 3. 6. 2005 vor dem Sekretariat Experimentelle Physik, N25/540, bekanntgegeben. Dabei können Sie Ihre Klausur einsehen. Damit Ihr Resultat, sobald vorhanden, per Aushang vor dem Sekretariat bekanntgegeben werden kann, müssen Sie ein Kennwort (leserlich) angeben.

Vom Korrektor auszufüllen:

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	$\Sigma$
Punkte

Note: $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

Prüfer: $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

Universität Ulm

Hinweise zur Bearbeitung der Klausur

Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.

1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner und 3 Blätter (sechs Seiten, Grösse A4) mit eigener Hand in Handschrift verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack aufbewahrt werden!

2. Die Klausur umfasst:
   1. 3 Blätter (6 Seiten) mit 6 Aufgaben.
   2. 1 Deckblatt bestehend aus einer Titelseite und dieser Hinweisseite.
3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer in leserlicher Druckschrift aus.

4. Jede Aufgabe ergibt zwischen 2 und 6 Punkten.

5. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der Aufgabenstellung, soweit angegeben.

6. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer sowie eine Seitennummer. Schönschrift beim Schreiben erleichtert die Korrektur. Unleserliche Teile der Klausur werden nicht gewertet.

7. Lösen Sie Aufgabe 1 auf den Aufgabenblättern.

8. Beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufgabennummer. Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf dieses Blatt. Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch. Sollten Sie ausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinanderfolgende Blätter benötigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Aufgabe zu finden ist.

Viel Erfolg!

Aufgaben

1. Bitte geben Sie die Resultate dieser Aufgabe auf dem Aufgabenblatt an. Gewertet werden nur die Antworten in den Antwortfeldern. Bei Aufgaben mit 0.5 Punkten müssen jeweils alle Antworten richtig sein um die 0.5 Punkte zu erhalten.
   1. Die folgenden Objekte strahlen alle elektromagnetische Wellen ab. Ordnen Sie die Objekte nach der Energie eines Photons der dominierenden Strahlung beginnend mit der kleinsten Energie.
      1. roter Laserpointer
      2. 20 kV Hochspannungsnetz der Stadtwerke Ulm
      3. Gamma-Quant aus $^{137}Cs$
      4. Strahlung aus ihrem 2 Jahre alten Handy
      5. Omas Bullerofen
      
      
      
      (1 Punkt)
   2. Ein Proton $p$ und ein Elektron $e$ können den
      1. gleichen Impuls
      2. die gleiche kinetische Energie
      3. die gleiche Geschwindigkeit haben
      Welches Teilchen hat jeweils die kürzere De Broglie-Wellenlänge?
      
      
      (1 Punkt)
   3. Wie verhält sich die Wellenlänge eines durchtunnelnden Elektrons links $\lambda_\ell$ und rechts $\lambda_r$, wenn die potentielle Energie sich wie in der Abbildung verhält? $x$-Achse.
      
      
      (0.5 Punkte)
   4. Wie verhält sich die Wellenlänge eines durchtunnelnden Elektrons links $\lambda_\ell$ und rechts $\lambda_r$, wenn die potentielle Energie sich wie in der Abbildung verhält? $x$-Achse.
      
      
      (0.5 Punkte)
   5. Die Abbildung zeigt drei unendlich hohe Kastenpotentiale mit den angegebenen Breiten. Jedes der Potentiale enthalte ein Elektron im Zustand $n=10$.
      
      
      (0.5 Punkte)
   6. Ein Wasserstoffatom befinde sich im Quantenzustand $n=6$. Geben Sie die möglichen Werte für die unten angegebenen Situationen an.
      
      
      (0.5 Punkte)
   7. Wir vergleichen die Compton-Streuung für
      1. Röntgenstrahlen ( $\lambda \approx 10 nm$) und
      2. sichtbarem Licht ( $\lambda\approx 532 nm$)
      bei einem festen Streuwinkel.
      
      
      (0.5 Punkte)
   8. Wir vergleichen die Compton-Streuung für
      1. Röntgenstrahlen ( $\lambda \approx 10 nm$) und
      2. sichtbarem Licht ( $\lambda\approx 532 nm$)
      bei einem festen Streuwinkel.
      
      
      (0.5 Punkte)
   9. Zwei identische teilweise spiegelnde Flächen seien mit identischen Gelenken in identischer Orientierung beweglich gelagert. Beide Flächen werden mit der identischen Intensität $I_0$ beleuchtet. Fläche $A$ werde mit $\lambda_A = 347.2375418 nm$ und Fläche $B$ mit $\lambda_b = 1032.34612 nm$ bestrahlt.
      
      
      (0.5 Punkte)
   10. Zwei identische Flächen seien mit identischen Gelenken in identischer Orientierung beweglich gelagert. Fläche $A$ sei schwarz, Fläche $B$ sei spiegelnd. Beide Flächen werden mit der identischen Intensität $I_0$ und der Wellenlänge $\lambda = 534 nm$ bestrahlt.
       
       
       (0.5 Punkte)
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   
2. Wenn eine isolierte Metallplatte mit UV-Licht beleuchtet wird, werden durch dieses Licht von der Platte für eine Weile Elektronen herausgelöst. Warum hört die Emission auf?
   $\Sigma:$ 2 Punkte
   
   
   
3. Sie haben die folgenden Messdaten zur Verfügung:
   • Elektronen wurden mit der Spannung $U_e$ so beschleunigt, dass sie in gekreuzten Feldern $E$ und $B$ gradlinig weiterfliegen. Berechnen Sie mit einer Formel eine Grösse, die nur $e$ und $m$ enthält. Die Messwerte waren (Achtung: die resultierenden Grössen sind nicht die Standardwerte!)
     

     	$E/(V/m)$	$U/(V)$	$B/(T)$
     1. Messung	80219.0955	2462.21681	0.00242369
     2. Messung	85658.3816	2303.66845	0.00268981
     3. Messung	93042.3917	2037.18101	0.00315636
     4. Messung	87174.7588	2470.55501	0.00266332
     5. Messung	92903.8576	2142.70667	0.00302201
     6. Messung	78894.9076	2135.27281	0.00258143

     
     
   • In einem zweiten Schritt wird die Rydbergkonstante aus spektroskopischen Messungen an der Balmer-Serie bestimmt. Berechnen Sie mit einer Formel eine Grösse, die nur $e$ und $m$ enthält und die die spektrale Information mit den gesuchten Grössen verknüpft. Die folgende Tabelle zeigt die Messwerte für die ersten vier Spektrallinien ($n=3$ und weiter).
     

     	3	4	5	6
     1. Messung	$1686.510 nm$	$1249.267 nm$	$1115.417 nm$	$1054.06 nm$
     2. Messung	$1632.530 nm$	$1209.282 nm$	$1079.716 nm$	$1020.331 nm$
     3. Messung	$1540.720 nm$	$1141.274 nm$	$1018.994 nm$	$962.950 nm$
     4. Messung	$1614.988 nm$	$1196.287 nm$	$1068.114 nm$	$1009.367 nm$
     5. Messung	$1573.030 nm$	$1165.207 nm$	$1040.364 nm$	$983.144 nm$
     6. Messung	$1644.237 nm$	$1217.953 nm$	$1087.458 nm$	$1027.648 nm$

   Aus den obigen Werten sollen Sie die Elektronenladung $e$ und die Elektronenmasse $m_0$ berechnen. Berechnen Sie zuerst aus den Messwerten gemittelte Werte. Berechnen Sie die Standardabweichung. Geben Sie beim Schlussresultat für $e$ und $m_0$ Fehlerschranken an, die Sie mit dem Gaussschen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet haben. Nehmen Sie an, dass $\hbar$ und $\epsilon_0$ ohne Fehler bekannt sind.
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   
4. Zeigen Sie, dass beim harmonischen Oszillator für die Operatoren $b$, $b^+$ gilt
   $$bb^+-b^+b= 1$$
   Verwenden Sie die Definition von $b$ und $b^+$ und die Vertauschungsrelationen zwischen Ort und Impuls.
   $\Sigma:$ 3 Punkte
   
   
   
5. Die Austrittsarbeit für den Photoeffekt an Kalium beträgt $2.25 eV$. Bestimmen Sie die kinetische Energie und die Geschwindigkeit der schnellsten emittierten Elektronen, wenn Licht der Wellenlänge $\lambda = 3,4\cdot 10^{-7} m$ auf das Material fällt.
   $\Sigma:$ 3 Punkte
   
   
   
6. Die Anzahl der von einer Folie in einen Zähler gestreuten $\alpha$-Teilchen beträgt $10^7$ pro Sekunde bei einem Streuwinkel von $\pi/18$.
   1. Berechnen Sie in Schritten von $\pi/18$ von $\pi/18$ bis $\pi$ die Anzahl der in den auf diesem Kreis mitbewegten Zähler gestreuten $\alpha$-Teilchen.
   2. Stellen Sie das Resultat $N(\theta)$ graphisch dar, wobei die Winkelskala mindestens $9cm$ und die Skala für $N$ ebenfalls mindesten $9cm$ lang sein sollen.
      
   $\Sigma:$ 5 Punkte
   
   
   

Gesamt-$\Sigma:$ 25 Punkte. Zum Bestehen werden 12 Punkte benötigt.

• $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7} N\cdot A^{-2}= 4\pi\cdot 10^{-7} T\cdot m\cdot A^{-1}$
• $\epsilon_0 = \mu_0^{-1}c^{-2}$
• $c = 3\cdot 10^8 m/s$
• $m_e=9.1\cdot 10^{-31} kg$
• $e=1.6\cdot 10^{-19} C$
• $\hbar = 1.055\cdot 10^{-34} Js$

Lösungen

1. 1. 
      (1 Punkt)

   2. 
      (1 Punkt)

   3. 
      (0.5 Punkte)

   4. 
      (0.5 Punkte)

   5. 
      (0.5 Punkte)
   6. 
      (0.5 Punkte)
   7. 
      (0.5 Punkte)
   8. 
      (0.5 Punkte)
   9. 
      (0.5 Punkte)
   10. 
       (0.5 Punkte)
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   
2. Die Platte wird positiv geladen und die Elektronen werden durch Coulombkräfte wieder angezogen.
   $\Sigma:$ 2 Punkte
   
   
   
3. Es gilt:
   $$e U_e = \frac{1}{2} m_0 v^2$$
   $$e E = e v B$$
   oder
   $$v = \frac{E}{B}$$
   und
   $$A = \frac{e}{m_0} = \frac{E^2}{2 U_e B^2}$$
   Zur Erinnerung:

   $$\textbf{Mittelwert:} <x> = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i$$

   $$\textbf{Standardabweichung:} \sigma^2 = \sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-<x>)^2}$$

   $$\textbf{Fehler eines Messwertes:} s^2 = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-<x>)^2}$$

   $$\textbf{Fehler des Mittelwertes:} s^2 = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-<x>)^2}$$

   
   

   Messwerte

   $$E = 86320\pm 2460 \frac{V}{m}$$

   $$U = 2258.6\pm 74.4 V$$

   $$B = 0.002756\pm 0.000113 T$$

   
   
   Also
   $$A = \frac{e}{m_0} = \left(2.1713\pm 0.0485\right)\cdot 10^{11} \frac{C}{kg}$$
   Fehler
   $$\frac{\Delta A}{A} = \sqrt{2^2\left(\frac{\Delta E}{E}\right)^2 +... ...ft(\frac{\Delta B}{B}\right)^2 + \left(\frac{\Delta U_e}{U_e}\right)^2} = 0.105$$
   mit

   $$\frac{\Delta E}{E} = 0.0285$$

   $$\frac{\Delta B}{B} = 0.0411$$

   $$\frac{\Delta U}{U} = 0.0329$$

   
   
   Die Rydberg-Konstante ist
   $$R_H = \frac{e^4 m_0}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$$
   Also ist für die Balmer-Serie
   $$\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n^2}\right)$$
   oder
   $$R_H = \frac{1}{\lambda}\frac{4n^2}{n^2-4}$$
   Mittelwerte

   $$n = 3 \hspace{1cm} \lambda = 1615\pm 21\; nm \hspace{1cm}$$

   $$n = 4 \lambda = 1197\pm 15\; nm$$

   $$n = 5 \lambda = 1068\pm 14\; nm$$

   $$n = 6 \lambda = 1010\pm 13 \; nm$$

   
   
   Für alle $n$ gilt
   $$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.0132$$
   Resultate

   $$n = 3 \hspace{5mm} R_H = (4.4573\pm 0.0587)\cdot 10^{6}\; \frac{1}{m} \hspace{5mm}$$

   $$n = 4 \hspace{5mm} R_H = (4.4573\pm 0.0587)\cdot 10^{6}\; \frac{1}{m} \hspace{5mm}$$

   $$n = 5 \hspace{5mm} R_H = (4.4573\pm 0.0587)\cdot 10^{6}\; \frac{1}{m} \hspace{5mm}$$

   $$n = 6 \hspace{5mm} R_H = (4.4573\pm 0.0587)\cdot 10^{6}\; \frac{1}{m} \hspace{5mm}$$

   
   
   Mittelwert (Der Fehler des Mittelwertes ist um $\sqrt{n}$ bei $n$ Messungen kleiner.
   $$R_H = (4.45728\pm 0.00293)\cdot 10^{6}\; \frac{1}{m}$$
   Wir haben

   $$C = e^4 m_0 = R_H \cdot 8 \epsilon_0^2 h^3 c$$

   $$= 2.43598\cdot 10^{-106} C^4 kg$$

   
   
   Da $R_H$ linear in $C$ vorkommt, ist der relative Fehler der beiden gleich.
   $$C = (2.4360\pm 0.0160)\cdot 10^{-106} C^4 kg$$
   Nun ist

   $$e = A m_0$$

   $$C = A^4 m_0^5$$

   $$m_0 = \sqrt[5]{\frac{C}{A^4}}$$

   $$= 6.44485\cdot10^{-31}kg$$

   $$\frac{\Delta m_0}{m_0} = \frac{1}{5} \sqrt{\left(\frac{\Delta C}{C}\right)^2+4^2\left(\frac{\Delta A}{A}\right)^2}$$

   $$= 0.000485$$

   
   
   Also
   $$m_0 = (6.44485\pm 0.00312)\cdot 10^{-31} kg$$
   und

   $$m_0 = \frac{e}{A}$$

   $$C = \frac{e^5}{A}$$

   $$e = \sqrt[5]{CA}$$

   $$= 1.386865\cdot10^{-19}C$$

   $$\frac{\Delta e}{e} = \frac{1}{5} \sqrt{\left(\frac{\Delta C}{C}\right)^2+\left(\frac{\Delta A}{A}\right)^2}$$

   $$= 0.000485$$

   
   
   Also
   $$e = (1.386865\pm 0.000672)\cdot 10^{-19} C$$
   $\Sigma:$ 6 Punkte
   
   
   

4. $$b = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\partial}{\partial\xi}+\xi\right)$$
   $$b^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{\partial}{\partial\xi}+\xi\right)$$
   mit
   $$\xi = \sqrt{\frac{m_0 \omega}{\hbar}}x$$

   $$\left[bb^+\right] = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{\partial}{\partial\xi}+\xi\right)... ...}{\partial\xi}+\xi\right) \left(\frac{\partial}{\partial\xi}+\xi\right) \right]$$

   $$= \frac{1}{2}\left[ -\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}-\xi\frac{\p... ...rac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\xi}\xi +\xi^2-\xi^2 \right]$$

   $$= -\xi\frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial \xi}\xi$$

   $$= -\xi\frac{\partial}{\partial\xi}+\xi\frac{\partial}{\partial\xi}+1$$

   $$=1$$

   
   
   $\Sigma:$ 3 Punkte
   
   
   

5. $$\frac{U_{max}} = \frac{h\nu}{e}-U_A = \frac{hc}{\lambda e}- U_A/e = 3.66V-2.25V = 1.41 V$$
   $$E_{kin\text{,} max} = e U_{max} = 1.41 eV = 2.25\cdot 10^{-19} J$$
   $$v_{max} = \sqrt{\frac{2 E_{kin}}{m}} = 7.03\cdot 10^{6}\frac{m}{s}$$
   $\Sigma:$ 3 Punkte
   
   
   
6. 1. Rutherford:
      $$\frac{dn_0}{n_0} = \frac{K}{\sin^4(\theta/2)}$$
      $$K = \frac{dn_0}{n_0}\sin^4(\theta_0/2)$$
      also
      $$\frac{dn}{n_0}(\theta) = \frac{dn_0}{n_0}\frac{\sin^4(\theta_0/2)}{\sin^4(\theta/2)}$$
      $$dn(\theta) = dn_0\frac{\sin^4(\theta_0/2)}{\sin^4(\theta/2)}$$

      $\theta$	$dn$
      $\frac{\pi}{18}$	$10 000 000$
      $\frac{2\pi}{18}$	$634 604$
      $\frac{3\pi}{18}$	$128 587$
      $\frac{4\pi}{18}$	$42 167$
      $\frac{5\pi}{18}$	$18 088$
      $\frac{6\pi}{18}$	$9 232$
      $\frac{7\pi}{18}$	$5 331$
      $\frac{8\pi}{18}$	$3 380$
      $\frac{9\pi}{18}$	$2 308$
      $\frac{10\pi}{18}$	$1 676$
      $\frac{11\pi}{18}$	$1 282$
      $\frac{12\pi}{18}$	$1 026$
      $\frac{13\pi}{18}$	$855$
      $\frac{14\pi}{18}$	$740$
      $\frac{15\pi}{18}$	$663$
      $\frac{16\pi}{18}$	$613$
      $\frac{17\pi}{18}$	$586$
      $\frac{18\pi}{18}$	$577$

      
      
   2. Stellen Sie das Resultat graphisch dar
      
      
   $\Sigma:$ 5 Punkte
   
   
   

Notenskala

Punkte	Note	Anzahl
0-11,5	5
12-12,5	4
13-13,5	3,7
14-14,5	3,3
15-15,5	3
16-16,5	2,7
17-17,5	2,3
18-18,5	2
19-19,5	1,7
20-20,5	1,3
21-25	1

Aufgabe	Punkte
1	6
2	2
3	6
4	3
5	3
6	5
$\Sigma$	25

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