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Übungsblatt 01
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)

14. 4. 2005 oder 15. 4. 2005

Aufgaben

1. Zirkon hat eine Molmasse von $m_{Zr} = 91.22 g/mol$ und eine Dichte von $\rho_{Zr} = 6.51 g/cm^3$. Berechne das Volumen eines $Zr$-Atoms.
2. Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix
   
   $$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)$$
   
   

3. Zeigen Sie mit den Methoden der Wärmelehre, wie aus einem $pV$-Diagramm das Volumen eines Gasteilchens bestimmt werden kann. Verwenden Sie dazu eine möglichst einfache Erweiterung des idealen Gasgesetzes.
4. Die folgende Abbildung aus ,,O. Marti, B. Drake, S. Gould and P.K. Hansma, Atomic Force Microscopy and scanning tunneling microscopy with a combination atomic force microscope/scanning tunneling microscope, J. Vacuum Sci. Technol A 6 (3), 2089-2092 (1988)``zeigt eine Graphitoberfläche mit Massstab.
   

   Wie gross ist ein $C$-Atom? Wie gross der Abstand zwischen nächsten Nachbarn? Was können Sie über Bindungsverhältnisse aussagen?

5. Kolloidteilchen werden in einer Flüssigkeit dispergiert.
   1. Zeigen Sie, dass die Teilchenzahldichte durch eine Boltzmann-Verteilung beschrieben wird
      
      $$n(h) = n_0 \exp\left(-\frac{N_A}{RT}V\left(\rho-\rho'\right)gh\right)$$
      
      
      $n_0$ sei die Teilchenzahldichte in der Höhe $h=0$. Hinweis: Benützen Sie für die Herleitung von $n(h)$ einen Ansatz analog zur barometrischen Höhenformel $dp = -\rho(h) g dh$ und vergessen Sie das ideale Gasgesetz nicht.
   2. Bestimmen Sie $N_A$, wenn die experimentellen Daten wie folgt sind: $n_0=134 \textrm{Teilchen}/cm^3$, $n(h=0.003 cm) = 67 \textrm{Teilchen}/cm^3$, die Dichte der Teilchen $\rho= 1.23 g/cm^3$, die Dichte der umgebenden Flüssigkeit $\rho'=1 g/cm^3$, $T= 293 K$ und der Teilchendurchmesser $\emptyset = 0.424 \mu m$.

Lösungen

1. Das Volumen eines $Zr$-Atoms ist
   
   $$V_{Zr} = \frac{M_{zr}}{\rho_{Zr} N_A}$$
   
   
   
   
   $$V_{Zr} = \frac{91.22\,g\, mol^{-1}}{6.51\, g\, cm^{-3}\cdot 6.0221\cdot 10^{23}\,mol^{-1}}$$
   
   
   
   
   $$V_{Zr} = 2.326811044\cdot 10^{-23} cm^{3}$$
   
   

2. Um die Eigenwerte von
   
   $$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)$$
   
   
   zu berechnen löst man
   
   $$\det \left(\begin{array}{ccc} 0-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 0-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1-\lambda \\ \end{array} \right)= 0$$
   
   
   Also muss man die folgende Gleichung lösen:
   
   $$-\lambda^3+\lambda^2+2\lambda=0$$
   
   
   Dies Gleichung kann auch als
   
   $$\left(\lambda-2\right)\left(\lambda+1\right)\lambda=0$$
   
   
   geschrieben werden. Also ist
   
   $$\begin{array}{ccc} \lambda_1 = 2 & \lambda_2 = -1 & \lambda_3 = 0 \\ \end{array}$$
   
   
   Die Eigenvektoren bestimmt man aus
   
   $$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1... ...begin{array}{c} x_i \\ y_i \\ z_i \\ \end{array} \right)$$
   
   
   Wir haben also die Gleichungssysteme
   $$\begin{eqnarray*} y_1 & = & 0 \\ x_1+z_1 & = & 0 \nonumber\\ x_1+y_1+z_1 & ... ... &&\\ y_3&=&-x_3\\ x_3+z_3 &=&-y_3\\ x_3+y_3+z_3 &=& -z_3 \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   zu lösen. Die Lösungen sind
   $$\begin{eqnarray*} e_1 & =& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{... ...t( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

3. Wir verwenden die van der Waals-Zustandsgleichung.
   
   $$\left(p+\frac{a}{V_{mol}^2}\right)\left(V-n\cdot b\right)=n\cdot R\cdot T$$
   
   
   wobei $n$ die Molzahl ist. Das Co-Volumen $b$ ist durch
   
   $$b = N_A V_\textrm{\tiny Molek{\uml u}l}$$
   
   
   gegeben. Wenn $p$ gross ist, sind die Abwichungen vom idealen Gasgesetz durch $b$ gegeben.
4. Die Oberfläche hat die folgende Struktur:
   
   Im STM-Bild sieht man Sechsecke. Der gemessene Abstand zwischen zwei $C$-Atomen ist $d=0.15\pm 0.1 nm$. Dies muss etwa der Durchmesser eines $C$-Atoms sein. Fehler können zum Beispiel dadurch entstehen, dass man die Effekte von Bindungen nicht berücksichtigt.
5. 1. Wir beginnen mit
      
      $$dp = -\rho(h)\cdot g\cdot dh$$
      
      
      Aus $pV = NkT$ mit $N$ der Anzahl Teilchen bekommt man
      
      $$p = \frac{N}{V}\cdot \frac{R}{N_A}\cdot T$$
      
      
      oder
      
      $$p = n\cdot \frac{R\cdot T}{N_A}$$
      
      
      mit $n = N/V$ Damit ist
      
      $$dp = \frac{R\cdot T}{N_A} dn$$
      
      
      Weiter ist
      
      $$\rho(h) = n(h)\cdot m_T$$
      
      
      wobei $m_T$ die Masse eines einzelnen Teilchens ist.
      
      $$\frac{R\cdot T}{N_A} dn=-\rho(h)\cdot g\cdot dh=-n(h)\cdot m_T\cdot g\cdot dh$$
      
      
      und
      
      $$\frac{dn}{dh} = -\frac{N_A}{R\cdot T}\cdot m_T \cdot g \cdot n$$
      
      
      Hier haben wir nicht Gasteilchen, sondern Kugeln, wobei nur der Auftrieb wirksam ist. Also setzen wir
      
      $$m_T = V\cdot(\rho-\rho')$$
      
      
      
      
      $$\frac{dn}{dh} = = -\frac{N_A}{R\cdot T}\cdot V\cdot(\rho-\rho') \cdot g \cdot n$$
      
      
      Die Lösung ist
      
      $$n(h) = n_0 \exp\left(-\frac{N_A}{R\cdot T}\cdot V\cdot(\rho-\rho') \cdot g \cdot h\right)$$
      
      

   2. Wir lösen nach $N_A$ auf.
      
      $$N_A = \frac{R\cdot T}{V\cdot(\rho-\rho') \cdot g \cdot h}\ln\left(\frac{n_0}{n(h)}\right)$$
      
      
      Das Volumen eines Teilchens mit dem Durchmesser $d$ ist
      
      $$V = \frac{\pi}{6}d^3$$
      
      
      Also ist mit $R = 8.31447\cdot 10^{7} erg\,K^{-1}\, mol^{-1}$
      $$\begin{eqnarray*} N_A &=& \frac{R\cdot T}{\frac{\pi}{6}d^3\cdot(\rho-\rho') \cd... ...^{-3}}{67\,cm^{-3}}\right)\\ &=& 6.25\cdot 10^{23}\, mol^{-1} \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      

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