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Übungsblatt 02
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)

21. 4. 2005 oder 22. 4. 2005

Aufgaben

1. Das Plancksche Strahlungsgesetz als Funktion der Frequenz $\nu$ lautet:
   
   $$\varrho\left( \nu,T\right) d\nu=\frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}}\frac{1} {e^{h\nu/k_{B}T}-1}d\nu$$
   
   
   Geben Sie das Gesetz $\varrho\left( \lambda,T\right)$ in Abhängigkeit von der Wellenlänge $\lambda$ an.
2. Wie würde die Energieverteilung der schwarzen Strahlung aussehen, wenn es keine erzwungene Emission gäbe?
   Entspricht das einer bekannten Strahlungsformel?
   Wie sieht man anschaulich, dass es nicht so sein kann?
3. Berechnen Sie für beliebige $\nu$ und $T$ das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit einer spontanen und einer induzierten Emission. Skizzieren Sie den Verlauf von spontaner und induzierter Emission in Funktion von $h\nu/(k_B T)$. Berechnen Sie die Frequenz, bei der spontane und induzierte Emission gleich wahrscheinlich sind und skizzieren Sie den Verlauf für das Temperaturintervall $[1K\ldots 10000K]$.
4. Welche Temperatur hat eine schwarze Kugel von $0.1 m$ Durchmesser, die insgesamt $123 W$ thermisch abstrahlt? Wie gross ist der Masseverlust pro Jahr?
5. Berechnen Sie die Temperatur der Sonne und die Energiedichte der Strahlung im Inneren unter der Annahme, dass die Sonne ein sphärischer schwarzer Körper mit dem bekannten Sonnenradius ist. Die Intensität der Strahlung auf der Erde ist $D_E = 1.4 kW m^{-2}$. Nehmen Sie zur Rechnung an, dass die Energiedichte im Inneren homogen sei.
   Ist das realistisch?

Lösungen

1. Das Plancksche Gesetz lautet:
   
   $$\varrho(\nu,T) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/(kT)}-1} d\nu$$
   
   
   Um nach $\lambda$ umzurechnen müssen wir
   
   $$\lambda = \frac{c}{\nu}$$
   
   
   verwenden. Dann gilt auch mit $\nu = c/\lambda$
   
   $$d\nu = \frac{c}{\lambda^2}d\lambda$$
   
   
   also bekommt man
   
   $$\varrho(\lambda,T) = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^{h c/(kT\lambda)}-1} d\lambda$$
   
   

2. Ohne erzwungene Emission wäre die Einsteinsche Photonenbilanz anzusetzen:
   Absorbierte Photonen/(cm3s) spontan emittierte Photonen/(cm3s)
   
   
   $$\alpha\varrho(\nu,T) n_0 d\nu = \beta n^*$$
   
   
   Daraus folgt
   
   $$\varrho(\nu,T) = \frac{\beta n^*}{\alpha n_0}= \frac{4\pi h \nu^3}{c^3}e^{-h\nu/k_B T}$$
   
   
   Das ist das Wiensche Strahlungsgesetz. Es liefert maximale Strahlungsdichte für die Frequenz $\nu_m$ mit $h\nu_m = 3k_B T$. Das ist noch kein sehr grosser Unterschied gegen das richtige Planck-Gesetz mit seinem Maximum bei $h \nu_m = 2.82 k_B T$ zwar würde das Wien-Gesetz eine fast um 400° höhere Sonnentemperatur ergeben, aber wir wissen ja nicht a priori, wie heiss die Sonne ist). Schlimmer wird es bei kleineren Frequenzen oder höheren Temperaturen: Bei $h\nu \ll k_B T$ ergibt Wien $\varrho \sim \nu^3$, Planck $\varrho \sim \nu^2$. Ein 20 000 K-Strahler z. B. würde nach Wien im Sichtbaren kaum $1/3$ der Helligkeit haben wie in Wirklichkeit.

3. Wir bezeichnen die Anzahl Prozesse pro Volumen und Zeit mit
   $n_S$ spontane Emission
   $n_E$ erzwungene Emission
   $n_A$ Absorption S
   Strahlungsgleichgewicht:
   
   $$n_A=n_E+n_S$$
   
   
   Wir haben weiter für die Anzahl der angeregten Atome $n^*$ und die Anzahl der Grundzustandsatome $n_0$ nach Boltzmann
   
   $$\frac{n^*}{n_0} = \exp\left(-\frac{h\nu}{k_BT}\right)$$
   
   
   Aus der Vorlesung folgt mit den Einstein-Koeffizienten
   
   $$n_A = B\varrho(\nu,T) n_0$$
   
   
   
   
   $$n_S = An^* = A n_0 e^{-h\nu/k_B T}$$
   
   
   
   
   $$n_E = B\varrho(\nu,T) n^* = B\varrho(\nu,T) n_0 e^{-h\nu/k_B T}$$
   
   
   Wir wollen $n_E/n_S$, das Verhältnis zwischen stimulierter und spontaner Emission berechnen
   
   $$\frac{n_E}{n_S} = \frac{B\varrho(\nu,T)}{A}$$
   
   
   Die rechte Seite können wir aus einem Zwischenschritt der Ableitung des Planck-Gesetzes berechnen. Aus
   
   $$B\varrho(\nu,T) n_0 = A n_0 e^{-h\nu/k_B T} + Bn_0 e^{-h\nu/k_B T}$$
   
   
   bekommt man
   
   $$\frac{B\varrho(\nu,T)}{A} = \frac{1}{1-e^{-h\nu/k_B T}} = \frac{n_E}{n_S}$$
   
   
   Verwenden wir die reduzierte Variable $x=h\nu/k_B T$, so bekommen wir die Darstellung und berechnen $n_S/(n_S+n_E)$ sowie $n_E/(n_S+n_E)$

   

   Kleines $x$ bedeutet kleine Frequenz, und bei kleinen Frequenzen ist die Emission vorwiegend stimuliert.

   Der Übergang ist bei $n_E = n_S$ oder bei
   

   $$1-e^{-x} = e^{-x}$$
   
   
   oder
   
   $$e^{x} = 2$$
   
   
   oder
   
   $$x = \frac{h\nu}{k_B T} = \ln(2)$$
   
   
   und damit die Grenze bei
   
   $$\nu_G(T) = \frac{\ln(2) k_B T}{h}$$
   
   

   

4. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz liefert
   
   $$P = \pi r^2 \sigma T^4$$
   
   
   wobei $r$ der Radius der Kugel und $\sigma$ die Stefan-Boltzmann-Konstante ist.
   
   $$P = \pi \cdot (0.1 m)^2 \cdot 5.67\cdot 10^{-8} W m^{-2} K^{-4} T^4 = 1.78\cdot 10^{-9} W K^{-4} = 123 W$$
   
   
   
   
   $$T^4 = 69051350971 K^4$$
   
   
   oder
   
   $$T=512 K$$
   
   
   Der Masseverlust ist
   
   $$\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2} = \frac{P t}{c^2} = \frac{12... ...ag}{9\c dot 10^16 m^2 s^{-2}} = 4.3 \cdot 10^{-8} kg = 43 \mu g$$
   
   

5. Wir setzen den Sonnenradius $R=7\cdot 10^8 m$ und den abstand Erde-Sonne $r_{se} = 1.5\cdot 10^{11} m$ Der gesamte Strahlungsfluss von der Sonne ist konstant. Er beträgt
   
   $$\Phi = D_E \cdot 4\pi\cdot r_{se}^2 = D_S \cdot 4\pi R^2$$
   
   
   wobei $D_S$ die Intensität der Strahlung auf der Sonnenoberfläche ist. Aus Stefan-Boltzmann folgt
   
   $$P = \sigma \cdot A \cdot T^4 = \sigma \cdot 4\pi R^2 \cdot T^4 = D_S \cdot 4\pi \cdot R^2$$
   
   
   und
   
   $$T = \sqrt[4]{\frac{D_S}{\sigma}}=\sqrt[4]{\frac{D_E r_{se}^2}{\sigma\cdot R^2}}= 5802 K$$
   
   
   Durch die Integration der spektralen Energiedichte $\varrho(\nu,T)$ über die Frequenz ergibt die Energiedichte.
   
   $$\omega = \int\limits_0^\infty \varrho(\nu,T) d\nu = \int_0^\i... ...} d\nu = \frac{8\pi^5 k^4}{15 c^3 h^3}T^4 = 0.854 \frac{J}{m^2}$$
   
   
   $D_E$ ist im Sonneninneren nicht konstant, da die Energie nicht punktförmig im Inneren erzeugt wird.

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