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Übungsblatt 04
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Hans-Dieter Vollmer, (hans-dieter.vollmer@physik.uni-ulm.de)

12.5.2005 bzw. 13.5.2005

Aufgaben

1. Der Operator $A$ sei proportional zur Ableitung nach der Ortskoordinate, d.h. es sei $A:=\alpha\,\frac{d}{dx}$.
   Wie muss die Konstante $\alpha$ gewählt werden, damit $A$ ein hermitescher Operator ist?
2. Der Kommutator der Operatoren $A,B$ wird definiert durch
   
   $$[A,B]:= AB - BA .$$
   
   
   Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln für Operatoren $A,B,\ldots$:
   1.          $[A,B] = - [B,A]$
   2.          $[A,B+C] = [A,B] + [A,C]$
   3.          $[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B$
   4.          $[A,BC] = [A,B]C + B[A,C]$
   5. Berechnen Sie damit den Ausdruck $[AB,CD]$.
   6. Berechnen Sie in der Ortsdarstellung den Kommutator von Impulsoperator $p_x=\frac{\hbar}{i}\,\frac{d}{dx}$ und Ortsoperator $x$: $[p_x,x]$.
3. Ausgehend von dem Kommutator $[x,p]= i\hbar$ soll gezeigt werden ($p$ ist hier der Impulsoperator der $x$-Komponente):
   1. Wenn $G(x)$ eine Funktion von $x$ ist, die in eine Taylorreihe an der Stelle $x=0$ entwickelbar ist, so gilt:      $[p,G(x)] = -i\hbar\frac{dG(x)}{dx}$.
   2. Wenn $F(p)$ eine Funktion des Operators $p$ ist, die an der Stelle $p=0$ in eine Taylorreihe entwickelbar ist, dann gilt:     $[x,F(p)] = i\hbar\frac{dF(p)}{dp}$.
4. $\overline{\vec{x}(t)}=\int f^*(\vec{x},t) \vec{x} f(\vec{x},t)\,dV$ ist der zeitabhängige Mittelwert des Ortes eines Teilchens, dessen Wellenfunktion $f(\vec{x},t)$ die quantenmechanische Bewegung beschreibt. Das Teilchen bewege sich in einem Potential $V(\vec{x})$, so dass der Hamiltonoperator durch $H(\vec{x})= -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{x})$ gegeben ist. Berechnen Sie die Zeitableitung des Mittelwerts $\frac{d}{dt}\overline{\vec{x}(t)}$ indem Sie benutzen, dass $\frac{df}{dt}$ die zeitabhängige Schrödingergleichung erfüllen muss.
   Leiten Sie so die folgende Differentialgleichung her:
   
   $$\frac{d}{dt}\,\overline{\vec{x}} = \frac{1}{m}\,\overline{\vec{p}}$$
   
   

5. Berechnen Sie die Zeitableitung des Impulses in gleicher Weise wie in der vorhergehenden Aufgabe und zeigen Sie damit die Bewegungsgleichung
   
   $$\frac{d}{dt}\,\overline{\vec{p}} = - \overline{\mbox{grad} V(\vec{x})}.$$
   
   
   Was ergibt sich durch Elimination des Impulsmittelwerts aus den beiden Differentialgleichungen? Interpretieren Sie das Ergebnis.

Lösungen

1. Die folgende Umformung eines Matrixelements
   $$\begin{eqnarray*} \int f^*(x)\left(\alpha \frac{d}{dx} \right) g(x) dx &\stack... ... &=&\int \left( -\alpha^* \frac{d}{dx} f(x) \right)^* g(x) dx \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   zeigt, dass die Bedingung für Hermitizität lautet:
   
   $$\alpha\frac{d}{dx} \stackrel{!}{=} -\alpha^* \frac{d}{dx} \q... ...)+\mbox{Im}(\alpha) = - (\mbox{Re}(\alpha)-\mbox{Im}(\alpha))$$
   
   
   
   
   $$\quad\Rightarrow\quad 2 \mbox{Re}(\alpha) = 0$$
   
   
   Der Faktor muss also rein imaginär sein, wie dies beim Impulsoperator auch der Fall ist.
2. 1. 
      
      $$[A,B]= AB-BA = -(BA-AB) = - [B,A]$$
      
      

   2. 
      
      $$[A,B+C]= A(B+C) - (B+C)A = AB +AC -BA-CA$$
      
      
      
      
      $$= AB-BA + AC-CA = [A,B] + [A,C]$$
      
      

   3. 
      
      $$[AB,C]= ABC - CAB = ABC - CAB + \underbrace{(ACB - ACB)}_0$$
      
      
      
      
      $$= A(BC - CB) + (AC -CA)B = A[B,C] + [A,C]B$$
      
      

   4. 
      
      $$[A,BC]= ABC - BCA = ABC - BCA + \underbrace{(BAC - BAC)}_0$$
      
      
      
      
      $$= (AB - BA)C + B(AC -CA) = [A,B]C + B[A,C]$$
      
      

   5. 
      
      $$[AB,CD]= A[B,CD] + [A,CD]B = AC[B,D] + A[B,C]D + C[A,D]B + [A,C]D$$
      
      

   6. $$\begin{eqnarray*} \left[\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}, x \right] f(x) &=& \left(... ...{dx} f(x) - x \frac{d}{dx} f(x)\right) = \frac{\hbar}{i} f(x) \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      Symbolisch also: $$\left[\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}, x \right] =\frac{\hbar}{i}$$

3. 1. Taylorreihe der Funktion $G(x)$ an der Stelle $x=0$:
      
      $$G(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\,\frac{d^k G(x)}{dx^... ...iggr.\, x^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\,G^{(k)} \,x^k$$
      
      
      Damit folgt:
      
      $$[p, G(x)]= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\,G^{(k)} \,[p,x^k]$$
      
      
      $$\begin{eqnarray*}[p,x^k]&=& [p,x] x^{k-1} + x [p,x] x^{k-2} + \ldots + x^{k-1}[p... ...(-i\hbar) = -i\hbar\,k\, x^{k-1} = -i\hbar\,\frac{d}{dx}\,x^k \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      Somit:
      $$\begin{eqnarray*}[x, G(x)] &=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\,G^{(k)} \,[p,x... ...ty}\frac{1}{k!}\,G^{(k)} \,x^k = - i\hbar\,\frac{d}{dx}\, G(x) \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      

   2. Taylorreihe des Operators $F(p)$ an der Stelle $p=0$:
      
      $$F(p) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\,\frac{d^k F(p)}{dp^... ...iggr.\, p^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\,F^{(k)} \,p^k$$
      
      
      Damit folgt:
      
      $$[x, F(p)]= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\,F^{(k)} \,[x,p^k]$$
      
      
      $$\begin{eqnarray*}[x,p^k]&=& [x,p] p^{k-1} + p [x,p] p^{k-2} + \ldots + p^{k-1}[x... ...-1}(i\hbar) = i\hbar\,k\, p^{k-1} = i\hbar\,\frac{d}{dp}\,p^k \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      
      Somit:
      $$\begin{eqnarray*}[x, F(p)] &=& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\,F^{(k)} \,[x,p... ...nfty}\frac{1}{k!}\,F^{(k)} \,p^k = i\hbar\,\frac{d}{dp}\, F(p) \end{eqnarray*}$$
      
      
      
      
      

4. Der Mittelwert $\overline{\vec{x}(t)}$ kann aus der Kenntnis der zeitabhängigen Wellenfunktion berechnet werden, die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung ist:
   
   $$i\hbar \dot{f}(\vec{x}) = H f(\vec{x})\ ,\qquad -i\hbar \dot{f}^*(\vec{x}) = H f^*(\vec{x})\ .$$
   
   
   Dabei ist der Hamiltonoperator $H(\vec{x})= -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{x})$. Er ist nicht von der Zeit abhängig!
   Damit gilt:
   $$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\,\overline{\vec{x}(t)} &=& \frac{d}{dt}\, \int ... ...int f^*(\vec{x},t) \left[ \vec{x},H \right] f(\vec{x},t) dV\\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   $\Longrightarrow\qquad$
   
   
   Diese Gleichung besagt, dass die Ableitung des Mittelwerts gleich dem Mittelwert des Kommutators $\frac{1}{i\hbar}[\vec{x},H]$ ist.
   Wenn man die obige Rechnung genau betrachtet, stellt man fest, dass die hier durchgeführten Umformungen nicht von $\vec{x}$ speziell Gebrauch machen. Die Rechnung lässt sich deshalb z.B. auch für den Impulsoperator so durchführen. Der Kommutator ist:
   
   $$[ \vec{x},H ] = \left[\vec{x}\ ,\ \frac{\vec{p}^{\,2}}{2m} +... ...right] = \frac{1}{2m} \left[\vec{x}\ ,\ \vec{p}^{\,2} \right]$$
   
   
   
   
   $$\left[\vec{x}\ ,\ \vec{p}^{\,2} \right]_x= [x, (p_x^2 +p_y^2 + p_z^2)] = [ x, p_x^2] = p_x[x,p_x] + [x,p_x]p_x = 2i\hbar p$$
   
   
   und damit
   
   $$[ \vec{x},H ]=\frac{i\hbar}{m}\ \vec{p}$$
   
   
   und schließlich
   
   $$\frac{d}{dt}\,\overline{\vec{x}(t)} = \overline{\frac{\vec{p}}{m}}$$
   
   

5. Wir leiten wie oben her:
   
   $$\frac{d}{dt}\,\overline{\vec{p}(t)} = \frac{1}{i\hbar} \overline{[\vec{p},H]}$$
   
   
   
   
   $$[ \vec{p},H ] = \left[\vec{p}\ ,\ \frac{\vec{p}^{\,2}}{2m} + V(\vec{x})\right] = \left[\vec{p}\ ,\ V(\vec{x}) \right]$$
   
   
   
   
   $$[ \vec{p},H ]_x = \left[p_x\ ,\ V(\vec{x}) \right] = -i\hbar\ \frac{\partial V(\vec{x})}{\partial x}$$
   
   
   
   
   $$[ \vec{p},H ]=-i\hbar\ \mbox{grad}V(\vec{x})$$
   
   
   
   
   $$\Longrightarrow\qquad \frac{d}{dt}\,\overline{\vec{p}(t)} = - \overline{\mbox{grad}V(\vec{x})}$$
   
   
   Dies ist das Newtonsche Grundgesetz für die Mittelwerte.
   
   Durch Eliminiation des Impulsmittelwerts ergibt sich
   
   $$\frac{d}{dt}\,\overline{\vec{p}(t)} = m \frac{d}{dt}\, \over... ...\overline{\vec{x}(t)} = - \overline{\mbox{grad}V(\vec{x})}}\ ,$$
   
   
   also schließlich das Newtonsche Grundgesetz für die Mittelwerte mit der äußeren Kraft $\vec{F} = -\overline{\mbox{grad} V(\vec{x})}$.
   
   ''Der Mittelwert des Orts bewegt sich nach nach dem Newtonschen Grundgesetz''. Dies ist eine Formulierung des Ehrenfestschen Satzes.

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