Up: PHYS4100 Grundkurs IV
Skript: PDF-Datei
Übungsblatt 04
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)
Hans-Dieter Vollmer, (hans-dieter.vollmer@physik.uni-ulm.de)
12.5.2005 bzw. 13.5.2005
- Der Operator
sei proportional zur Ableitung nach der Ortskoordinate,
d.h. es sei
.
Wie muss die Konstante
gewählt werden, damit
ein hermitescher
Operator ist?
- Der Kommutator der Operatoren
wird definiert durch
Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln für Operatoren
:
-
-
-
-
- Berechnen Sie damit den Ausdruck
.
- Berechnen Sie in der Ortsdarstellung den Kommutator von
Impulsoperator
und Ortsoperator
:
.
- Ausgehend von dem Kommutator
soll gezeigt werden
(
ist hier der Impulsoperator der
-Komponente):
- Wenn
eine Funktion von
ist, die in eine
Taylorreihe an der Stelle
entwickelbar ist,
so gilt:
.
- Wenn
eine Funktion des Operators
ist, die an der Stelle
in eine
Taylorreihe entwickelbar ist,
dann gilt:
.
-
ist der zeitabhängige Mittelwert des Ortes eines Teilchens, dessen
Wellenfunktion
die quantenmechanische Bewegung beschreibt.
Das Teilchen bewege sich in einem Potential
, so dass der
Hamiltonoperator durch
gegeben ist.
Berechnen Sie die Zeitableitung des Mittelwerts
indem Sie benutzen, dass
die zeitabhängige Schrödingergleichung erfüllen muss.
Leiten Sie so die folgende Differentialgleichung her:
- Berechnen Sie die Zeitableitung des Impulses in gleicher Weise wie in der
vorhergehenden Aufgabe und zeigen Sie damit die Bewegungsgleichung
Was ergibt sich durch Elimination des Impulsmittelwerts aus den beiden
Differentialgleichungen? Interpretieren Sie das Ergebnis.
- Die folgende Umformung eines Matrixelements
zeigt, dass die Bedingung für Hermitizität lautet:
Der Faktor muss also rein imaginär sein, wie dies beim
Impulsoperator auch der Fall ist.
-
-
-
-
-
-
Symbolisch also:
- Taylorreihe der Funktion
an der Stelle
:
Damit folgt:
Somit:
- Taylorreihe des Operators
an der Stelle
:
Damit folgt:
Somit:
- Der Mittelwert
kann aus der Kenntnis
der zeitabhängigen Wellenfunktion berechnet werden,
die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung ist:
Dabei ist der Hamiltonoperator
.
Er ist nicht von der Zeit abhängig!
Damit gilt:
Diese Gleichung besagt, dass die Ableitung des Mittelwerts gleich dem
Mittelwert des Kommutators
ist.
Wenn man die obige Rechnung genau betrachtet, stellt man fest, dass die
hier durchgeführten Umformungen nicht von
speziell
Gebrauch machen. Die Rechnung lässt sich deshalb z.B. auch für den
Impulsoperator so durchführen.
Der Kommutator ist:
und damit
und schließlich
- Wir leiten wie oben her:
Dies ist das Newtonsche Grundgesetz für die Mittelwerte.
Durch Eliminiation des Impulsmittelwerts ergibt sich
also schließlich das Newtonsche Grundgesetz für die Mittelwerte
mit der äußeren Kraft
.
''Der Mittelwert des Orts bewegt sich nach nach dem Newtonschen
Grundgesetz''. Dies ist eine Formulierung des Ehrenfestschen Satzes.
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Skript: PDF-Datei
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm