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Übungsblatt 05
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Hans-Dieter Vollmer, (hans-dieter.vollmer@physik.uni-ulm.de)

Date: 19.5.2005 bzw. 20.5.2005

Aufgaben

1. Ein Elektron bewege sich eindimensional in dem $\delta$-förmigen Potential
   
   $$V(x)=V_0 \delta(x)\ ,\qquad (V_0 >0).$$
   Ein solches Potential kann man sich als hohes und schmales Rechteckpotential der Höhe $V_0/h$ und der Breite $h$ im Grenzfall $h \rightarrow 0$ vorstellen.
   1. Zeigen Sie, dass die zeitunabhängige Schrödingergleichung für diese Bewegung auf die Differentialgleichung
      
      $$(+)\qquad \psi'' - \gamma\delta(x)\psi + k^2 \psi = 0$$    mit $$\quad k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$
      für die Wellenfunktion $\psi(x)$ führt und bestimmen Sie den Faktor $\gamma$.
   2. Zeigen Sie, indem Sie die Differentialgleichung (+) von der Stelle $x=-a$ bis zur Stelle $x=a$ integrieren, dass sich im Grenzwert $a\rightarrow0$ die sog. Sprungbedingung ergibt:
      
      $$\psi'(a) - \psi'(-a) = \gamma \psi(0)\,.$$
      Sie bestimmt zusammen mit der Stetigkeitsbedingung $\psi(-a) = \psi(a)$, wie die Wellenfunktionen links und rechts des Potentials miteinander zusammenhängen.

2. An dem Potential von Aufgabe 1. werde eine von links einfallende Elektronenwelle mit dem Wellenvektor $k$ gestreut.
   1. Machen Sie einen für diese Situation geeigneten Ansatz jeweils für die linke und rechte Seite des Potentials mit noch unbekannten Amplituden. Verknüpfen Sie die beiden Seiten, indem Sie die Sprung- und die Stetigkeitsbedingung verwenden.
   2. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem für die Amplituden. Zeigen Sie so, dass die Amplitude der reflektierten Welle $\alpha$ und die der durchgehenden Welle $\beta$ relativ zu der der einfallenden Welle bestimmt sind durch
      
      $$\alpha=\frac{-i\gamma}{2k+i\gamma}\,,\qquad \beta=1+\alpha.$$

   3. Bestimmen Sie den Reflexionskoeffizienten $R$ und den Transmissionskoeffizienten $T$ für die Rechnung von Aufgabe 2. (Hinweis: Die beiden Koeffizienten sind gleich dem Betragsquadrat der Amplitude der jeweiligen Welle, relativ zur einfallenden Welle.)
      Zeigen Sie, dass für die obigen Lösungen $R+T=1$ gilt.
3. Ein Elektron bewege sich frei in einem quaderförmigen Potentialtopf, der unendlich hohe Potentialwände besitzt. Die Kantenlängen seien $(a_1,a_2,a_3)$ in $(x,y,z)$-Richtung.
   1. Stellen Sie die zeitunabhängige Schrödingergleichung für dieses Problem auf.
   2. Die partielle Differentialgleichung läßt sich durch einen Separationsansatz $\psi(\vec{x})= \psi_1(x) \psi_2(y) \psi_3(z)$ lösen. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen in jeder der Raumrichtungen.
4. 1. Wie lauten Eigenwerte und Eigenfunktionen für den quaderförmigen Hohlraum von Aufgabe 3?
   2. Betrachten Sie speziell einen Würfel mit Kantenlänge $a$. Wie sieht das Energiespektrum in diesem Fall aus und welche Eigenfunktionen gehören jeweils zu den Energieeigenwerten?
      Welche Entartungen gibt es hier?
5. Der Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators mit Kreisfrequenz $\omega$ und Masse $m$ lautet $H=\hbar\omega \left( a^\dagger a + \frac{1}{2} \right)$, wobei $a^\dagger$ bzw. $a$ der Erzeugungs- bzw. der Vernichtungsoperator ist. Sie lauten in der Ortsdarstellung:
   
   $$a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left( x-\frac{\hbar}... ...frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left( x+\frac{\hbar}{m\omega}\, \frac{d}{dx}\right).$$
   
   
   1. Zeigen Sie für den Kommutator in der Ortsdarstellung: $[a,a^\dagger] = 1$.
   2. Die Wellenfunktion $\varphi_0$ des Grundzustandes ist bestimmt durch die Gleichung $a \varphi_0= 0$.
      Stellen Sie diese Differentialgleichung in der Ortsdartellung auf und integrieren Sie sie unter der Bedingung, dass die Funktion $\varphi_0(x)$ normiert sein muss. Wie lautet somit die Eigenfunktion des Grundzustands in der Ortsdarstellung explizit?
   3. Für den 1. angeregten Zustand gilt $\varphi_1= a^\dagger\varphi_0$. Berechnen Sie damit die Eigenfunktion $\varphi_1(x)$ in der Ortsdarstellung.

Lösungen

1. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung für die eindimensionale Bewegung in einem Potential $V(x)$ lautet:
   $$\left(-\,\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^{\,2}}{dx^2} + V(x)\right)\psi(x) = E \psi$$
   1. Die Multiplikation mit $-\frac{2m}{\hbar^2}$ liefert:
      $$\psi'' - \frac{2m}{\hbar^2} V(x) \psi = -\frac{2mE}{\hbar^2} \psi$$
      Mit dem Potential $V(x) = V_0 \delta(x)$ folgt:
      $$\psi'' - \gamma \delta(x) \psi + k^2 \psi=0$$   mit$$\qquad \gamma=\frac{2mV_0}{\hbar^2} \ , \quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

   2. Wir betrachten das Integral um das $\delta$-Potential von $-a$ bis $+a$ über die obige Differentialgleichung,
      $$\int\limits_{-a}^a \psi''(x) dx -\gamma \int\limits_{-a}^a \delta(x)\psi(x) dx + k^2 \int\limits_{-a}^a \psi(x) dx = 0.$$
      und gehen zum Limes $a\rightarrow0$ über. Dies ergibt:
      $$\left[\psi'(x)\right]^a_{-a} -\gamma \psi(0) + 0= 0,$$
      da das dritte Integral dem Betrag nach $\leq 2a\vert\psi\vert _{\mbox{max}}$ ist mit endlichem $\vert\psi\vert _{\mbox{max}}$ und daher für $a\rightarrow0$ Null wird. Damit folgt
      $$\psi'(a) - \psi'(-a) =\gamma \psi(0)$$
      Die Wellenfunktion ist an der Stelle der $\delta$-Funktion stetig und hat einen Knick (Sprung der Ableitung).
2. 1. Ansatz für die Wellenfunktion, wenn ein Elektronenstrahl von links her einfällt. $\alpha$ ist die Amplitude der reflektierten Welle (prop. $e^{-ikx}$, läuft also nach links), $\beta$ ist die Amplitude der durchgehenden Welle:
      $$\underline{x<0:}\quad \psi_I = e^{ikx} + \alpha e^{-ikx} \ , \qquad\qquad \underline{x>0:}\quad\psi_{II} = \beta e^{ikx}$$
      Stetigkeitsbedingung an der Stelle $x=0$:
      $$\psi_I(0) = \psi_{II}(0) \quad\Rightarrow\quad 1+ \alpha = \beta$$
      Sprungbedingung an der Stelle $x=0$:
      

      $$\psi'_{II}(0) - \psi'_{I}(0)=\gamma\psi_{II}(0) \quad\Rightarrow\quad \beta ik - ik +\alpha ik = \gamma \beta$$

      $$\quad\Rightarrow\quad \beta - 1 +\alpha = \frac{\gamma}{ik} \ \beta$$

      
      

   2. Mit $\beta=1+\alpha$ kann man $\beta$ eliminieren und es folgt daraus
      $$1+\alpha -1 + \alpha =\frac{\gamma}{ik} (1+\alpha) \quad\Rightarr... ... \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{\frac{\gamma}{ik}}{2 - \frac{\gamma}{ik}}$$
      und somit
      $$\underline{\alpha= \frac{-i\gamma}{2k+i\gamma}}\ , \qquad \beta =... ...{2k+i\gamma} \quad\Rightarrow\quad \underline{\beta =\frac{2k}{ 2k + i\gamma}}$$

   3. Reflexionskoeffizient $R$ und Transmissionskoeffizient $D$:
      $$R = \alpha^\ast \alpha = \frac{\gamma^2}{4k^2+\gamma^2} \ ,\qquad T = \beta^\ast \beta =\frac{4k^2}{4k^2+\gamma^2}$$
      Offensichtlich gilt hier $R+T=1$.
3. 1. Freie Bewegung in einem quaderförmigen Hohlraum $(a_1,a_2,a_3)$ mit der Energie $E$:
      $$-\,\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \fra... ...ial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\psi(x) = E \psi$$
      mit unendlich hohen Potentialwänden entsprechend den Randbedingungen für die Schrödingergleichung: $\psi($Rand$) = 0$.
   2. Der Separationsansatz für die Wellenfunktion $\psi(x,y,z)= \psi_1(x) \psi_2(y) \psi_3(z)$ transformiert die Schrödingergleichung in die Form
      $$-\,\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\psi_1''}{\psi_1} +\frac{\psi_2''}{\psi_2}+\frac{\psi_3''}{\psi_3} \right) = E.$$
      Für jede Raumrichtung $i$ muss daher die Differentialgleichung
      $$-\,\frac{\psi_i''}{\psi_i} = \frac{2mE_i}{\hbar^2} \equiv k_i^2 \quad\Rightarrow\quad \psi_i'' + k_i^2 \psi_i = 0$$
      gelöst werden mit den Randbedingungen $\psi_i(0) = \psi_i(a_i) = 0$. Die Lösungen der Differentialgleichung lauten
      $$\psi_i = \alpha_i \sin(k_i x_i).$$
      Diese Lösungen erfüllen bereits die Randbedingung $\psi_i(0)= 0$.
      Die Randbedingung $\psi_i(a_i)= 0$ ist erfüllt, wenn gilt:
      $$k_i a_i = n_i \pi , \quad\Rightarrow\quad k_i=\frac{\pi}{a_i}\,n_i , \qquad n_i = 1,2,\ldots$$
      (der Eigenwert $n_i=0$ führt auf $k_i=0$ und damit auf die triviale Eigenfunktion $\psi_i=0$, die im übrigen nicht normierbar ist).
      Damit sind auch die Energieeigenwerte festgelegt: $E_i = \frac{\hbar^2}{2m} k_i^2$.
4. 1. Die Eigenwerte des Gesamtproblems sind somit
      $$E_{n_1,n_2,n_3}= \frac{\hbar^2}{2m} \left(k_1^2 + k_2^2 +k_3^2\ri... ...m}\left( \frac{n_1^2}{a_1^2} + \frac{n_2^2}{a_2^2} + \frac{n_3^2}{a_3^2}\right)$$
      und die Eigenfunktionen
      $$\psi_{n_1,n_2,n_3} = \alpha_{n_1,n_2,n_3} \sin(k_1 x)\sin(k_2 y)\sin(k_3 z),$$
      charakterisiert durch die Quantenzahlen $n_i=1,2,\ldots$.
   2. Spezialfall Würfel: $a_i = a$.
      Die Eigenwerte des Gesamtproblems sind damit
      $$E_{n_1,n_2,n_3}= \frac{\hbar^2}{2m} \left(k_1^2 + k_2^2 +k_3^2\right) = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}\left( n_1^2 + n_2^2 + n_3^2\right)$$
      und die Eigenfunktionen
      $$\psi_{n_1,n_2,n_3} = \alpha_{n_1,n_2,n_3} \sin(k_1 x)\sin(k_2 y)\sin(k_3 z) , \qquad k_i = n_i \frac{\pi}{a}.$$
      Die Eigenfunktionen sind in der Regel entartet: Sie hängen nur von $n_1^2 + n_2^2 + n_3^2$ ab, nicht aber von den individuellen $n_i$; eine Vertauschung der $n_i$ z.B. ändert die Energie nicht.
      
      
      

      $n_1,n_2,n_3$	$n_1^2 + n_2^2 + n_3^2$	Entartung
      1 , 1 , 1	3	1     (Grundzustand)
      1 , 1 , 2	6	3
      1 , 2 , 2	9	3
      1 , 1 , 3	11	3
      2 , 2 , 2	12	1
      1 , 2 , 3	14	6
      2 , 2 , 3	17	3
      1 , 1 , 4	18	3
      1 , 3 , 3	19	3
      1 , 2 , 4	21	6
      2 , 3 , 3	22	3
      2 , 2 , 4	24	3
      1 , 3 , 4	26	6
      3 , 3 , 3	27	1
      1 , 1 , 5	27	3
      2 , 3 , 4	29	6
      1 , 2 , 5	30	6
      2 , 2 , 5	33	3

              

      Die Eigenwerte sind 1-, 3- oder 6-fach entartet als Konsequenz der Symmetrie in den 3 Raumrichtungen. Einzelne mit $n_1^2+n_2^2+n_3^2=27,\ldots$ zeigen darüber hinaus noch eine zufällige Entartung.

5. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren lauten in der Ortsdarstellung:
   $$a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left( x-\frac{\hbar}... ...frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left( x+\frac{\hbar}{m\omega}\, \frac{d}{dx}\right).$$
   1. Vertauschungsrelation:
      

      $$[a, a^\dagger] = \left[\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left( x+\frac{\hbar}{m\ome... ...\omega}{2\hbar}}\ \left( x-\frac{\hbar}{m\omega}\, \frac{d}{dx}\right) \right]$$

      $$= \frac{m\omega}{2\hbar} \left[ \left( x+\frac{\hbar}{m\omega}\, \frac{d}{dx}\right), \left( x-\frac{\hbar}{m\omega}\, \frac{d}{dx}\right) \right]$$

      $$= \frac{m\omega}{2\hbar}\frac{\hbar}{m\omega} \left( - \left[x, \frac{d}{dx}\right] + \left[\frac{d}{dx} , x\right] \right)$$

      $$= \frac{1}{2} \left( - \left[x, \frac{d}{dx}\right] + \left[\frac{d... ...}{2} \left( \left[\frac{d}{dx},x\right] + \left[\frac{d}{dx} , x\right] \right)$$

      $$= \left[\frac{d}{dx},x\right] = 1$$

      
      

   2. Grundzustand:
      Der Grundstand ist der niedrigte Zustand: aus ihm kann man somit durch Anwenden des Vernichtungsoperators keinen weiteren Zustand erzeugen: $a \varphi_0= 0$.
      Diese Bedingung lautet in der Ortsdarstellung:
      $$a \varphi_0 = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left( x+\frac{\hbar}{m\omega}\, \frac{d}{dx}\right) \varphi_0(x) = 0.$$
      oder
      

      $$x \varphi_0(x) + \frac{\hbar}{m\omega}\,\frac{d}{dx}\varphi_0(x) =$$ 0

      $$\frac{d}{dx}\varphi_0(x) = - \frac{m\omega}{\hbar}\, x \varphi_0(x)$$

      $$\frac{d\varphi_0 }{\varphi_0} = -\frac{m\omega}{\hbar}\, x dx$$

      $$\mbox{(Integrationskonstante $C$)} \qquad\qquad \ln(\varphi_0) = -\frac{m\omega}{2\hbar} \, x^2 + \ln C$$

      $$\varphi_0(x) = C\,\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar} \, x^2\right)$$

      
      
      Normierung:
      

      $$\int\limits_{-\infty}^\infty \varphi_0^2(x) dx = \int\limits_{-\infty}^\infty C^2 \,\exp \left(-\frac{m\omega}{\hbar} \, x^2\right) dx$$

      $$\left( u = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x, \quad du = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,dx\right)\quad = C^2 \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} \underbrace{\int\limits_{-\infty}^\infty \exp(-u^2) du}_{=\sqrt{\pi}}$$

      $$= C^2 \sqrt{\frac{\pi\hbar}{m\omega}} \stackrel{!}{=} 1 .$$

      
      
      Damit also
      $$C = \sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \quad\Rightarrow\quad \fbo... ...ac{m\omega}{\pi\hbar}} \,\exp \left(-\frac{m\omega}{2\hbar} \, x^2\right) $}\\$$

   3. 1. angeregter Zustand: $\varphi_1= a^\dagger\varphi_0$
      In der Ortsdarstellung lautet er:
      $$\varphi_1(x) = a^\dagger \varphi_0(x) = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left( x-\frac{\hbar}{m\omega}\, \frac{d}{dx}\right) \varphi_0(x)$$
      Mit der Abkürzung $\alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ folgt:
      

      $$\varphi_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\alpha x - \frac{1}{\alpha} \frac{d}{dx} \right) \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt[4]{\pi}} \exp (- \alpha^2 x^2/2)$$

      $$= \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{2}\sqrt[4]{\pi}} \left(\alpha x +\frac{1}{\alpha}\alpha^2 x \right) \exp (- \alpha^2 x^2/2)$$

      $$= \sqrt{\frac{\alpha}{2\sqrt{\pi}}} \ 2\alpha x \exp (- \alpha^2 x^2/2)$$

      $$\varphi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{\pi}}}\, {\sqrt[4]{\frac{m\omega}{\hbar}}}^{\,3} x \exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}\, x^2\right)$$

      
      

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