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Übungsblatt 06
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)


Date: 2. 6. 2005 oder 3. 6. 2005


Aufgaben

  1. Schätzen Sie die relativistische Korrektur $\Delta E_{n,k}/E_n$ für für die $n=2$-Niveaux im Wasserstoff-Atom ab.
    (nach Sommerfeld ist $E_{n,k} = -R_H  h  c 
\frac{Z^2}{n^2}\left[1+\frac{\alpha^2  Z^2}{n^2}\left(\frac{n}{k}-\frac{3}{4}\right)+\ldots \right]$
  2. Ein Myon-Atom besteht aus einem Atomkern der Kernladungszahl $Z$ und einem eingefangenen Myon, das sich im Grundzustand befindet. Das Myon ist ein Teilchen, dessen Masse 207 mal so gross ist wie die des Elektrons. Seine Ladung ist gleich wie die eines Elektrons.
    1. Wie gross ist die Bindungsenergie eines Myons, das von einem Proton eingefangen ist?
    2. Wie gross ist der Radius der Bohrschen Bahn mit $n=1$.
    3. Wie gross ist die Energie des Photons, das ausgestrahlt wird, wenn ein Myon vom Zustand $n=2$ in den Grundzustand übergeht?
  3. Unter Positronium versteht man ein gebundenes Elektronen-Positronen-Paar. Mit der Vorstellung, dass $e^+$ und $e^-$ analog wie bei einem $H$-Atom um den gemeinsamen Schwerpunkt kreisen, berechne man die Umlauffrequenz $\omega/(2\pi)$, den Radius $r$ und die Bindungsenergie des Systems im Grundzustand.
  4. Die anziehende Kraft zwischen einem Neutron und einem Elektron ist durch $F= G \frac{m_N  m_e}{r^2}$ gegeben. Wir betrachten die kleinste Bahn, die nach der Bohrschen Theorie für das das Neutron umkreisende Elektron möglich ist.
    1. Man schreibe eine Formel für die Zentripetalkraft auf, die $m_e$, $r$ (Radius der Bohrschen Bahn) und $v$ (Geschwindigkeit auf der Bohrschen Bahn) enthält.
    2. Man drücke die kinetische Energie durch $G$, $m_N$, $m_e$ und $r$ aus.
    3. Man drücke die potentielle Energie durch $G$, $m_N$, $m_e$ und $r$ aus.
    4. Man drücke die Gesamtenergie durch $G$, $m_N$, $m_e$ und $r$ aus.
    5. Man stelle eine Gleichung auf, die dem Bohrschen Postulat von der Quantisierung entspricht.
    6. Wie gross ist der Bahnradius für $r=1$? Man drücke $r$ durch $\hbar$, $G$, $m_N$ und $m_e$ aus. Wie gross ist $r$?
  5. Natürliches Helium enthält neben dem Isotop $^4He$ ( $m= 4.00260u$) auch das Isotop $^3He$ ( $m = 3.01603
u$). Berechnen Sie die Wellenlängendifferenzen für die erste und die dritte Linie der Pickering-Serie ( $\bar{\nu}_P = 4\cdot R_{He}\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{n^2}\right)$).
  6. Schätzen Sie für die stationären Zustände von $^1H$, $^2H$, $^3H$, $He^+$ und $Li^{2+}$ die Grösse des Korrekturterms ab, der von der Mitbewegung des Kerns herrührt.
  7. Man berechne die Erwartungswerte der kinetischen und der potentiellen Energie
    1. für den Grundzustand des Wasserstoff-Atoms, $n=1$, $l=m=0$
    2. für die Wellenfunktion $n=2$, $l=0$, $m=0$ und $n=2$, $l=1$, $ m= \pm 1$,$  0$.
    Verwenden sie sphärische Koordinaten mit $dV=\sin\theta  d\theta  d\phi  r^2  dr$.
  8. Man berechne

    $\displaystyle \kappa_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{m_0 Z e^2}{\hbar^24\pi\epsilon_0}$

    und

    $\displaystyle E_n = -\frac{m_0 Z^2 e^4}{2\hbar^2(4\pi\epsilon_0)^2}\cdot \frac{1}{n^3}$

    numerisch für die ersten drei $ n$-Werte beim Wasserstoff-Atom.

Lösungen

  1. Relative Abweichung $ \gamma$ zwischen Sommerfeldscher Energieformel $ E_{n,k}$ und Bohrscher Energieformel $ E_n$ beim Wasserstoffatom für $n=2$

    $\displaystyle \gamma = \frac{E_{2,k}-E_2}{E_2} = \frac{\alpha^2}{4}\left(\frac{2}{k}-\frac{3}{4}\right)$

    $ k$ $ 1$ $ 2$
    $ \gamma$ $ 1.67\cdot 10^{-5}$ $ 3.33\cdot 10^{-6}$
    1. $\displaystyle E_n(\mu) = -
\frac{Z^2e^4m_\mu}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}=-2813\frac{Z^2}{n^2}\,eV$

    2. $\displaystyle r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{Z e^2 m_\mu} n^2 = 0.256\, \frac{n^2}{Z}\, pm$

    3. $\displaystyle h\nu = E_2(\mu) -E_1(\mu)= 2110 Z^2\, eV$

  2. $\displaystyle \frac{\omega}{2\pi} = \frac{m e^4}{64 \pi^3 \epsilon_0^2 \hbar^3}\cdot \frac{1}{n^3}=3.288\cdot
10^{15}\frac{1}{n^3}\,\frac{1}{s}$

    $\displaystyle r=\frac{8\pi\epsilon_0\hbar^2}{m e^2}n^2=105.9\cdot n^2 \cdot pm$

    $\displaystyle E_n = -\frac{m e^4}{64\pi^2 \epsilon_0^2 \hbar^2}\cdot \frac{1}{n^2}=-6.80\frac{1}{n^2}\, eV$

    $r$ ist der Abstand von $e^-$ und $e^+$.
    1. $\displaystyle F_z = m\frac{v^2}{r}=G\frac{M m}{r^2}$

    2. $\displaystyle E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}G\frac{M m}{r}$

    3. $\displaystyle E_{pot} = -\frac{G M m}{r}$

    4. $\displaystyle E_{ges} = E_{pot}+E_{kin} = -\frac{G M m}{2 r}$

    5. Quantisierung des Bahndrehimpulses

      $\displaystyle L = m v r = n \hbar$

    6. Aus $ F_z = m\frac{v^2}{r}=G\frac{M m}{r^2}$ folgt

      $\displaystyle v^2 r = G M$

      und

      $\displaystyle v_n = \frac{G M m}{\hbar} \cdot \frac{1}{n}= 9.654\cdot 10^{-34} \frac{1}{n} Js$

      $\displaystyle r_n = \frac{\hbar^2}{G M m^2} = \cdot n^2 1.199 \cdot 10^{29} m$

  3. Die Pickering-Serie ist

    $\displaystyle \nu_P = 4 R_{He} c \left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

    Die Rydbergkonstante ist

    $\displaystyle R_{He} = \frac{R_\infty}{1+\frac{m_0}{M_{He}}}$

    1. Linie: $ n=5$; $ \Delta \nu_P = 13.29 GHz$; $ \Delta E = 5.5 \cdot 10^{-5} eV$
    3. Linie: $ n=7$; $ \Delta \nu_P = 24.84 GHz$; $ \Delta E = 1.03 \cdot 10^{-4} eV$
  4. Wir verwenden die reduzierte Elektronenmasse $ \mu = m_0 M/(m_0 + M)$

    $\displaystyle E_n(A,Z) = \frac{E_1(H)}{n^2}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{A}\cdot \frac{m_0}{m_p}}Z^2$

    wobei $ A$ die Massenzahl ist.

    $\displaystyle \frac{m_0}{m_p} = \frac{1}{1836.15}$

    Atom $ 10^4\cdot\frac{\Delta E(Z,n)}{E(Z,n)}$
    $^1H$ $ 5.45$
    $^2H$ $ 2.75$
    $^3H$ $ 1.82$
    $ ^4He^+$ $ 1.36$
    $ ^7Li^{2+}$ $ 0.78$
    1. $\displaystyle \overline{E}_{kin} = \frac{1}{2}\frac{m_0e^4}{(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}$

      $\displaystyle \overline{E}_{pot} = -\frac{m_0e^4}{(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}$

    2. $\displaystyle \overline{E}_{kin} = \frac{1}{8}\frac{m_0e^4}{(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}$

      $\displaystyle \overline{E}_{pot} = -\frac{1}{4}\frac{m_0e^4}{(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}$

  5. $\displaystyle \kappa_1 = (0.529 \cdot 10^{-10}\, m)^{-1}$

    $\displaystyle E_1 = -13.55\, eV$

    $\displaystyle \kappa_2 = (1.058 \cdot 10^{-10}\, m)^{-1}$

    $\displaystyle E_2 = -3.39\, eV$

    $\displaystyle \kappa_3 = (1.587 \cdot 10^{-10}\, m)^{-1}$

    $\displaystyle E_3 = -1.51\, eV$




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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm