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Übungsblatt 08
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

Othmar Marti (othmar.marti@uni-ulm.de)

Date: 16. 6. 2005 oder 17. 6. 2005

Aufgaben

1. Die Spektrallinien, die den Übergang $3p\leftrightarrow 3s$ entsprechen, haben bei Natrium die Wellenlängen $\lambda_1 = 588,96 nm$ und $\lambda_2=589,59 nm$.
   1. Bestimmen Sie die Magnetfeldstärke, bei der das unterste Zeemann-Niveau des Terms $^2P_{3/2}$ mit dem obersten Niveau des Terms $^2P_{1/2}$ zusammenfallen würde, wenn die Bedingungen für den anomalen Zeemanneffekt noch erfüllt wären.
   2. Wie gross ist die Frequenzdifferenz zwischen den beiden äusseren Zeemann-Komponenten der $D_1$ und $D_2$ Linie in einem Magnetfeld der Stärke 1 Tesla?
2. Untersuchen Sie die Aufspaltung der Linien im $4f \leftrightarrow 3d$-Übergang bei Anwesenheit eines Magnetfeldes, wenn die Zeemann-Aufspaltung verglichen mit der Spin-Bahn-Wechselwirkung schwach ist. Verwenden Sie die Definition des Landéschen g-Faktors $g_j = 1+\left[j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)\right]/\left[2j(j+1)\right]$
3. In einem Magnetfeld von $4.734 Tesla$ befinden sich Wasserstoffatome.
   1. Wird bei dieser Feldstärke die Aufspaltung der $H_\alpha$-Linie ( $n=3\rightarrow n=2$) durch den anomalen Zeemanneffekt oder durch den Paschen-Back-Effekt verursacht? Warum? (Die Spin-Bahn-Aufspaltung zwischen den Termen $3\;{^2P_{1/2}}$ und $3\;{^2P_{3/2}}$ beträgt $0.108 cm^{-1}$.
   2. Skizzieren Sie die Aufspaltung der Terme in dem angegebenen Magnetfeld und tragen Sie die Übergänge ein, auf denen die $H_\alpha$-Linie beobachtet werden kann.
   3. In wieviele Komponenten spaltet die $H_\alpha$-Linie auf?
   4. Bestimmen Sie $e/m$ aus der beobachteten Frequenzaufspaltung zwischen zwei benachbarten Komponenten von $6.617\cdot 10^{10}Hz$.
   5. Erwarten Sie für die erste Linie der Lyman-Serie ( $n=2 \rightarrow n=1$) eine grössere, kleinere oder gleiche Frequenzaufspaltung wie bei der $H_\alpha$-Serie?

Lösungen

1. 1. Die Energiedifferenz zwischen den Zuständen $^2P_{3/2}$ und $^2P_{1/2}$ ohne Magnetfeld
      $$\Delta E = \frac{hc}{\lambda_1}-\frac{hc}{\lambda_2}$$
      Zusatzenergie im Magnetfeld
      $^2P_{1/2}$ mit $l=1$ und $j=1/2$ folgt $g_j = 2/3$ und
      $$E_{mj}(\frac{1}{2}$$,$$\,1) = \frac{2}{3}\mu_B B_0 m_j$$
      $^2P_{3/2}$ mit $l=1$ und $j=3/2$ folgt $g_j = 4/3$ und
      $$E_{mj}(\frac{3}{2}$$,$$\,1) = \frac{4}{3}\mu_B B_0 m_j$$
      Das unterste Zeemann-Niveau von $^2P_{3/2}$ hat $m_j=-3/2$. Das oberste Zeemann-Niveau von $^2P_{1/2}$ hat $m_j=1/2$. Aus
      $$E_{1/2}(\frac{1}{2}$$,$$\,1)-E_{-3/2}(\frac{3}{2}$$,$$\,1)=\Delta E$$
      folgt
      $$\frac{2}{3}\mu_B B_0 \frac{1}{2}-\frac{4}{3}\mu_B B_0\frac{-3}{2}=\frac{hc}{\lambda_1}-\frac{hc}{\lambda_2}$$
      $$\frac{1}{3}\mu_B B_0 +2\mu_B B_0=hc\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)$$
      $$\frac{7}{3}\mu_B B_0 =hc\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)$$
      $$B_0 =\frac{3hc}{7\mu_B}\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)$$
      $$B_0 = 16.655\, Tesla$$

   2. Wenn der $g$-Faktor des oberen Niveaus $g_{j,m_j,P}$ und der des unteren Niveaus $g_{j\text{,}\,m_j\text{,}\,S}$ ist, ist die maximale Differenz
      $$\Delta E = \left[\left(j_{1\text{,}\,1} g_{j_{1\text{,}\,1}\text{... ...{j_{1\text{,}\,2}\text{,}\,-j_{1\text{,}\,2}\text{,}\,P}\right)\right]\mu_B B_0$$
      $$\Delta E = \left[\left(j_{1\text{,}\,1} g_{j_{1\text{,}\,1}\text{... ...{j_{1\text{,}\,2}\text{,}\,-j_{1\text{,}\,2}\text{,}\,P}\right)\right]\mu_B B_0$$
      Für die $D_1$-Linie bekommt man
      $$\Delta E_{D_1} = \left[\left(\frac{1}{2}\frac{2}{3}+1\right)+\left(1+\frac{1}{2}\frac{2}{3}\right)\right]\mu_B B_0 = \frac{8}{3}\mu_B B_0$$
      und
      $$\Delta\nu = \frac{8}{3}\frac{\mu_B}{h} B_0 = 37.32 GHz$$
      Für die $D_2$-Linie bekommt man
      $$\Delta E_{D_2} = \left[\left(\frac{1}{2}\frac{4}{3}+1\right)+\left(1+\frac{1}{2}\frac{4}{3}\right)\right]\mu_B B_0 = \frac{8}{3}\mu_B B_0$$
      und
      $$\Delta\nu = \frac{10}{3}\frac{\mu_B}{h} B_0 = 46.65 GHz$$

2. $$\Delta E_{B,m_j}= g_j \mu_B B_{0} m_j$$
   $$g_j = 1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}$$
   Wir haben
   

   $g_j(^2 G_{9/2}) = \frac{10}{9}$	$g_j(^2 G_{7/2}) = \frac{8}{9}$
   $g_j(^2 F_{7/2}) = \frac{8}{7}$	$g_j(^2 F_{5/2}) = \frac{6}{7}$
   $g_j(^2 D_{5/2}) = \frac{6}{5}$	$g_j(^2 D_{3/2}) = \frac{4}{5}$
   $g_j(^2 P_{3/2}) = \frac{4}{3}$	$g_j(^2 P_{1/2}) = \frac{2}{3}$
   $g_j(^2 S_{1/2}) = 2$	-

   
   Auswahlregeln
   $$\Delta l = \pm1\hspace{1cm}\Delta j = 0,\pm1\hspace{1cm}\Delta m_j = 0,\pm 1$$
   • Übergang $^2D_{5/2} \leftrightarrow ^2P_{3/2}$ (mit $\Delta l = -1$, $\Delta j = -1$)
     $$\frac{\Delta(\hbar \omega)}{\mu_B B_0} = g_j(^2 F_{7/2})m_j(^2 F_{7/2})- g_j(^2 D_{5/2})m_j(^2 D_{5/2})$$
     Die folgende Tabelle gibt $\frac{\Delta(\hbar \omega)}{\mu_B B_0}$
     

     		$(^2 F_{7/2})$
     		$m_j=\frac{7}{2}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{3}{2}$	$-\frac{5}{2}$	$-\frac{7}{2}$
     $(^2 D_{5/2})$	$m_j = \frac{5}{2}$	$1$	- $\frac{1}{7}$	$-\frac{9}{7}$	-	-	-	-	-
     	$m_j = \frac{3}{2}$	-	$\frac{37}{35}$	$-\frac{3}{35}$	$-\frac{43}{35}$	-	-	-	-
     	$m_j = \frac{1}{2}$	-	-	$\frac{39}{35}$	$-\frac{1}{35}$	$-\frac{41}{35}$	-	-	-
     	$m_j = -\frac{1}{2}$	-	-	-	$\frac{41}{35}$	$\frac{1}{35}$	$-\frac{39}{35}$	-	-
     	$m_j = -\frac{3}{2}$	-	-	-	-	$\frac{43}{35}$	$\frac{3}{35}$	$-\frac{37}{35}$	-
     	$m_j = -\frac{5}{2}$	-	-	-	-	-	$\frac{9}{7}$	$\frac{1}{7}$	$-1$

   • Übergang $^2F_{5/2} \leftrightarrow ^2D_{5/2}$ (mit $\Delta l = -1$, $\Delta j = 0$)
     $$\frac{\Delta(\hbar \omega)}{\mu_B B_0} = g_j(^2 F_{5/2})m_j(^2 F_{5/2})- g_j(^2 D_{5/2})m_j(^2 D_{5/2})$$
     Die folgende Tabelle gibt $\frac{\Delta(\hbar \omega)}{\mu_B B_0}$
     

     		$(^2 F_{5/2})$
     		$m_j = \frac{5}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{3}{2}$	$-\frac{5}{2}$
     $(^2 D_{5/2})$	$m_j = \frac{5}{2}$	- $\frac{6}{7}$	$-\frac{12}{7}$	-	-	-	-
     	$m_j = \frac{3}{2}$	$\frac{12}{35}$	$-\frac{18}{35}$	$-\frac{48}{35}$	-	-	-
     	$m_j = \frac{1}{2}$	-	$\frac{24}{35}$	$-\frac{6}{35}$	$-\frac{36}{35}$	-	-
     	$m_j = -\frac{1}{2}$	-	-	$\frac{36}{35}$	$\frac{6}{35}$	$-\frac{24}{35}$	-
     	$m_j = -\frac{3}{2}$	-	-	-	$\frac{48}{35}$	$\frac{18}{35}$	$-\frac{12}{35}$
     	$m_j = -\frac{5}{2}$	-	-	-	-	$\frac{12}{7}$	$\frac{6}{7}$

   • Übergang $^2F_{5/2} \leftrightarrow ^2D_{3/2}$ (mit $\Delta l = -1$, $\Delta j = -1$)
     $$\frac{\Delta(\hbar \omega)}{\mu_B B_0} = g_j(^2 F_{5/2})m_j(^2 F_{5/2})- g_j(^2 D_{3/2})m_j(^2 D_{3/2})$$
     Die folgende Tabelle gibt $\frac{\Delta(\hbar \omega)}{\mu_B B_0}$
     

     		$(^2 F_{5/2})$
     		$m_j = \frac{5}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{3}{2}$	$-\frac{5}{2}$
     $(^2 D_{3/2})$	$m_j = \frac{3}{2}$	$\frac{33}{35}$	$\frac{3}{35}$	$-\frac{27}{35}$	-	-	-
     	$m_j = \frac{1}{2}$	-	$\frac{31}{35}$	$\frac{1}{35}$	$-\frac{29}{35}$	-	-
     	$m_j = -\frac{1}{2}$	-	-	$\frac{29}{35}$	$-\frac{1}{35}$	$-\frac{31}{35}$	-
     	$m_j = -\frac{3}{2}$	-	-	-	$\frac{27}{35}$	$-\frac{3}{35}$	$-\frac{33}{35}$

3. 1. Wir berechnen
      $$a= \frac {1}{512}\,\frac {{e}^{8}{m_0}}{{c}^{2}{{\epsilon_0}}^{4}... ...pi }^{4}} \,\frac{Z^4}{n^6} = 1.158766386\cdot 10^{-20}\,J \cdot\frac{Z^4}{n^6}$$
      Die Spin-Bahn-Kopplungsenergie ist
      $$E_{l,s} = \frac{a}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]$$
      Für den $3\;{^2}P_{1/2}$-Zustand ist

      $$E_{1,1/2} = \frac{1.158766386\cdot 10^{-20}\,J \cdot\frac{1^4}{3^6}}{2}\left[\frac{1}{2}\frac{3}{2}-1\cdot 2-\frac{1}{2}\frac{3}{2}\right]$$

      $$= - \frac{1.158766386\cdot 10^{-20}\,J} {729}$$

      $$= -0.9921053369\, \mu eV$$

      
      
      Für den $3\;{^2}P_{3/2}$-Zustand ist

      $$E_{1,1/2} = \frac{1.158766386\cdot 10^{-20}\,J \cdot\frac{1^4}{3^6}}{2}\left[\frac{3}{2}\frac{5}{2}-1\cdot 2-\frac{1}{2}\frac{3}{2}\right]$$

      $$= \frac{1.158766386\cdot 10^{-20}\,J} {2\cdot729}$$

      $$= 0.4960526684\, \mu eV$$

      
      
      Die gesamte Aufspaltung durch die Spin-Bahn-Kopplung ist also
      $$\Delta E = 1.488158005\,\mu eV$$
      Wir vergleichen das mit der Zeemann-Aufspaltung
      $$\Delta E_{m_j,m_{j}-1}= \Delta E_{Zee,j} = g_j \mu_b B_{grenz}$$
      Für den $3\;{^2}P_{3/2}$-Zustand ist
      $$g_{3/2} = 1+ \frac{\frac{3}{2}\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\frac{3}{2}-1\cdot 2}{2\frac{3}{2}\frac{5}{2}}=\frac{4}{3}$$

      $$\Delta E_{Zee,3/2} = g_j \mu_b B_{grenz}$$

      $$=\frac{4}{3} 9.27402\cdot10^{-24}Am^2 B_{grenz}$$

      $$= 1.236536\cdot10^{-21} Am^2 B_{grenz}$$

      
      
      Für den $3\;{^2}P_{1/2}$-Zustand ist
      $$g_{3/2} = 1+ \frac{\frac{1}{2}\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\frac{3}{2}-1\cdot 2}{2\frac{1}{2}\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$$

      $$\Delta E_{Zee,3/2} = g_j \mu_b B_{grenz}$$

      $$=\frac{2}{3} 9.27402\cdot10^{-24}Am^2 B_{grenz}$$

      $$= 6.18268\cdot 10^{-22} Am^2 B_{grenz}$$

      
      

      Wir nehmen den kleineren Wert und definieren die Grenze zwischen Zeemann-Effekt und Paschen-Back-Effekt bei $\Delta E_{Zee}= \Delta E$, also

      $$B_{grenz}= \frac{1.488158005\,\mu eV}{6.18268\cdot 10^{-22} Am^2} =0.03856\,T$$
      Wir sind im Regime des Paschen-Back-Effektes.
   2. Die Abweichung der Energie vom ungestörten Falle beim Paschen-Back-Effekt ist
      $$\Delta E_{m_l,k_s} = -\mu_{l,z} B_0 - \mu_{s,z}B_0 = \mu_B B_0 \left(m_l+2m_z\right)$$
      Auswahlregeln:
      $$\Delta m_l = 0$$,$$\,\pm 1\hspace{1cm}\Delta m_s = 0$$
      
      Die Linien sind im Abstand
      $$\Delta E = \mu_B B_0 = 4.390321068\cdot 10^{-21} J = 0.2740221740\, meV$$

   3. Es gibt drei Linien.
   4. Der Abstand zwischen zwei Linien beim Paschen-Back-Effekt ist
      $$\Delta E = \mu_B B_0 = \frac{e\hbar}{2 m_0}B_0 = \hbar \Delta\omega$$
      und
      $$\frac{e}{m_0} = \frac{2\Delta \omega}{B_0}= \frac{2\cdot 2\pi 6.617\cdot 10^{10} Hz}{4.734}=1.7564\cdot 10^{11}\frac{C}{kg}$$

   5. Die Niveau-Aufspaltung $\Delta E = \hbar \Delta\omega$ beim Paschen-Back-Effekt ist unabhängig von der Hauptquantenzahl $n$. Da die Lyman-Serie eine höhere Frequenz hat als die Balmer-Serie ist
      $$\Delta \lambda_{Lyman} < \Delta\lambda_{Balmer}$$

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