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Übungsblatt 10
PHYS4100 Grundkurs IV (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)
Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)
Date: 30. 6. 2005 oder 1. 7. 2005
- Zeigen Sie, dass eine geschlossene -Schale notwendigerweise aufweisen muss.
- Welche Atomsorte oder welche Atomsorten haben eine zu gefüllte Schale? Welche Schalen sind
ganz gefüllt? Welche Elektronenkonfiguration haben diese Atome?
- Zwei äquivalente -Elektronen seinen stark Spin-Bahn-gekoppelt. Bestimmen Sie die möglichen Werte
des Gesamtdrehimpulses bei -Kopplung. Welches Prinzip muss beachtet werden?
- Welche ergäben sich bei Russell-Saunders-Kopplung?
- Vergleichen Sie die Häufigkeit des Vorkommens der verschiedenen -Werte in den beiden Fällen!
- Bestimmen Sie die Terme der Konfiguration . Welcher Term stellt den Grundzustand des Titan dar?
Wie gross sind , , für diesen Zustand.
- Zeigen Sie, dass für eine endliche Temperatur der angeregte Zustand eines Zweiniveau-Systems immer
schwächer besetzt ist als der Grundzustand.
- Diskutieren Sie die minimal mögliche Linienbreite einer Spektrallinie. Welche Einflüsse verbreitern
diese Linien. Wie gross ist die natürliche Linienbreite von ``verbotenen'' Übergängen.
- Ein Laserpuls wird durch
dargestellt. Welche Frequenzbandbreite hat dieser Puls? Wovon hängt die Bandbreite ab? Wie hängt die
Bandbreite im Frequenzraum und die örtliche Breite zusammen?
- Man betrachtet ein Atom mit mehreren Valenzelektronen und vernachlässigt die Wechselwirkung
untereinander und die Spin-Bahn-Wechselwirkung. Jeder Einelektronenzustand wird durch , , ,
. Die Wellenfunktion des Atoms ist dann
- Das Element ist Technetium () Ganz gefüllt sind die Schalen , , , , , ,
, . zu gefüllt ist die -Schale. Die -Schale ist mit einem Elektron gefüllt.
Für die -Komponenten des Bahndrehimpulses und des Spins ist
Ist eine -Schale ganz gefüllt, dann sind nach Pauli alle möglichen Zustände besetzt. Insbesondere wird
zu jedem Wert der -Komponente auch der entsprechende negative Wert realisiert. Die Gesamtwellenfunktion
besteht aus Zuständen. Sie ist auch eine Eigenfunktion des Gesamtbahndrehimpulses und des
Gesamtspins. Deshalb ist
und
. Also kann nur sein.
- Ein Elektron wird durch
angegeben. Bei zwei Elektronen dürfen nach Pauli nicht beide
Elektronen in allen Zuständen übereinstimmen. Bei einer Konfiguration ergeben sich die folgenden
Möglichkeiten
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, |
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, |
, |
, |
, |
(
, |
(
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, |
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x |
x |
x |
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, |
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, |
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x |
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, |
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x |
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, |
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Ein Zustand wird durch
angegeben.
Zwei Drehimpulse
und
ergeben den Gesamtdrehimpuls
mit den Werten
,, und den zugehörigen -Werten .
Es gilt
. Aus den Zuständen
, und
, ergibt sich
formal der Zustand
,
wobei nach der Kopplung und keine brauchbaren Quantenzahlen mehr sind. Ein
2-Elektronenzustand wird durch die Quantenzahlen
,,, festgelegt.
- Bei der -Kopplung sind die Pauli-verträglichen Kombinationen aus der oberen Tabelle:
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,, |
,, |
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,, |
,, |
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wobei aus der Summe der berechnet wird.
Die treten mit der folgenden Häufigkeit auf
Es gibt also Zustände mit . Dieser Zustand kann nur zu gehören. Deshalb sind jeweils zwei
der Zustande zu den kleineren zu gehörig. Ohne diese Zustände sieht die Tabelle so aus
Es gibt also einen Zustand mit . Es bleiben noch zwei -Zustände, die zu gehören. Es gibt
also die folgenden s:
- Bei der LS-Kopplung müssen zuerst die Bahndrehimpulse und die Spins addiert werden.
Die Pauli-verträglichen Kombinationen aus der oberen Tabelle sind :
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0 |
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,, |
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,, |
,, |
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,, |
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,, |
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wobei aus der Summe der berechnet wird.
Die treten mit der folgenden Häufigkeit auf
Es gibt also Zustände mit . Dieser Zustand kann nur zu gehören. Deshalb sind jeweils zwei
der Zustande zu den kleineren zu gehörig. Ohne diese Zustände sieht die Tabelle so aus
Es gibt also einen Zustand mit . Es bleiben noch zwei -Zustände, die zu gehören. Es gibt
also die folgenden s:
- Ein -Zustand hat den Drehimpuls . Der Gesamtdrehimpuls ist also zwischen 0 und . Der
Spin muss bei geradem antiparallel sein. Also ist
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Terme |
Anzahl der Zustände |
4 |
0 |
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3 |
1 |
, , |
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2 |
0 |
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1 |
1 |
, , |
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0 |
0 |
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Aus den Hundschen Regeln folgt für den Grundzustand
, , , also
- Die Besetzungszahl eines Niveaus mit der Energie
relativ zu einem Niveau ist nach
Boltzmann
Entsprechend ist die Besetzungszahl des Niveaus
wenn die Gesamtzahl der Atome ist, hat man auch
Zusammen also
- Die Linienbreite von Atomen oder Molekülen hängt von
- der Geschwindigkeitsverteilung und deshalb von der Temperatur ab
- Sie hängt vom Druck ab (jeder Stoss ermöglicht einen Übergang, die Lebensdauer der angeregten
Niveaux sinkt deshalb).
- Die natürliche Linienbreite hängt von der Lebensdauer des angeregten Niveaux ab.
Verbotene Übergänge haben eine sehr lange Lebensdauer und deshalb eine sehr kleine Linienbreite, immer viel schmaler als erlaubte Übergänge.
- Die Umhüllende des Pulses ist
Der Ort des Pulses ist demnach
Im mitbewegten Koordinatensystem ist
Die Fouriertransformation ist
wobei die Heaviside-Funktion ist.
Die Bandbreite ist also . Mit der Dispersionsrelation
bekommt man die Frequenzbreite
Die Breite hängt von den ersten Minimas der -Funktion ab. Diese liegen bei
.
Dies ist auch die gesuchte Beziehung
Bemerkung: Wenn Sie mit Maple rechnen ergibt evalm oft eine wesentliche Vereinfachung der Terme.
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm