Mechanische Maschinen

Wenn Maschinen im Gleichgewicht sind, können Kräfte über virtuelle Verrückungen aus dem Energiesatz berechnet werden.

Virtuell heisst, die Bewegungen müssen mit den Zwangsbedingungen vereinbar sein. Das bedeutet, dass bei einer durch Führungen vorgegebenen Bahn (Wasserrutsche im Schwimmbad) alle betrachteten Bewegungen dem Weg der Wasserrutsche folgen müssen. Wir betrachten zuerst einmal alle Teile des Systems als unabhängig. Die verschiedenen möglichen Verschiebungen $i$ sind dann durch die Koordinaten $x_i$ gegeben. Diese werden zuerst als unabhängig angesehen. Die Energieerhaltung fordert aber, dass

$$\delta E=\sum\frac{\partial E}{\partial x_{i}}\delta x_{i}=0$$ (6.635)

ist.

Dabei ist $\frac{\partial E}{\partial x_{i}}=0$ die Gleichgewichtsbedingung.

Flaschenzug: Berechnung mit virtuellen Verschiebungen.

Versuch zur Vorlesung: Rollen, Flaschenzug (Versuchskarte M-120)

Wir betrachten als Beispiel einen Flaschenzug. $U$ sei die potentielle Energie als Funktion der Koordinaten $x_{1}$ und $x_{2}$. Wir haben also

$$\delta x_{1}=-2\delta x_{2}$$

mit

$$\frac{\partial E}{\partial x_{1}}=-F_{1}$$ (6.636)

Die Seile des Flaschenzuges ergeben die Beziehungen für die Arbeit

$$F_{1}\delta x_{1}+F_{2}\delta x_{2}=0$$

Wir setzen die Beziehung zwischen $\delta x_{1}$ und $\delta x_{2}$ ein

$$F_{1}\left( -2\delta x_{2}\right) +F_{2}\delta x_{2}=0$$

        

Die gefundene Beziehung ist unabhängig von $\delta x_{2}$. Also hat man

$$2F_{1}=F_{2}$$

oder $F_{1}=\frac{F_{2}}{2}$.

Ein zweites Beispiel ist die Kurbelwelle und der Pleuel eines Motors.

Kurbelwelle und Pleuel berechnet mit virtuellen Verschiebungen.

Link zur Vorlesung:(Kolbenmotor)

Für die virtuellen Verrückungen (Arbeit) bekommt man

$$F_{2}r\delta\varphi=F_{1}\delta x_{1}$$

Weiter verwenden wir die Beziehung zwischen den Grössen

$$\ell^{2}=x_{1}^{2}+r^{2}+2xr\cos\varphi$$

Daraus kann $x_{1}$ als Funktion von $\varphi$ dargestellt werden.

$$x_{1}=-r\cos\varphi+\sqrt{\ell^{2}-r^{2}\sin\varphi}$$

und für die virtuelle Verschiebung

$$\delta x_{1}=r\sin\varphi\left( 1-r\frac{\cos\varphi}{\sqrt{\ell^{2}-r^{2} \sin^{2}\varphi}}\right) \delta\varphi$$

Also ist die Kraft auf die Kurbelwelle

$$F_{2}=F_{1}\frac{\delta x_{1}}{r\delta\varphi}=F_{1}\sin\varphi\l... ...\cos\varphi}{\sqrt{1-\left( \frac{r}{\ell}\right) ^{2} \sin^{2}\varphi}}\right)$$ (6.637)

Wenn $r\ll \ell$ ist, dann ist $F_{2}=F_{1}\sin\varphi$.