Elastomechanik

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 342]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 130])

Wir betrachten zuerst allgemein, welche Kräfte auf einen Würfel wirken können. Beliebige Körper kann man sich im Sinne der Finiten Elemente Rechnung aus Würfeln zusammengesetzt denken.

Allgemeine Kräfte an einem Würfel

An einem Würfel, der parallel zu den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems liegt, können im allgemeinen Falle die folgenden Kräfte oder Spannungen sowie Deformationen auftreten:

• An jeder der 6 Flächen können
  • 3 unabhängige Kräfte (2 parallel zur Fläche, eine senkrecht dazu) und
  • 3 unabhängige Deformationen, die aus einer Kompression oder Dilatation sowie zwei Scherungen bestehen.
• Da keine Netto-Kraft auf den Würfel wirken soll, müssen die Kräfte in die $x$-, $y$-, oder $z$-Richtung auf gegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.
• Wir können also 3 mal 3 Kräfte spezifizieren.
• Ebenso müssen die Deformationen auf gegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.
• Wir haben also als Resultat der 3 mal 3 Kräfte 3 mal 3 Deformationen.
• Kräfte und Deformationen sind jeweils 3 mal 3 Matrizen, die über einen Tensor 4. Stufe (eine 3 mal 3 mal 3 mal 3 Matrix) miteinander verbunden sind.

Formal können wir schreiben

$$\sigma_{i\text{,} j} = \sum\limits_k \sum\limits_\ell E_{i\text{... ... \; i\text{,} j\text{,} k\text{,} \ell = x\text{,} y\text{,} z$$ (7.638)

Der Würfel soll drehmomentenfrei sein. Das Drehmoment um die $3$-Achse kann durch das Kräftepaar auf in der $2$-Richtung auf der $1$-Fläche oder durch das Kräftepaar in die $1$-Richtung auf der $2$-Fläche herrühren. Wenn die beiden Kräfte positiv sind, erzeugen sie ein entgegengesetztes Drehmoment und garantieren, dass und kein Netto-Drehmoment um die $3$-Achse existiert. Analog kann man mit den beiden anderen möglichen Drehachsen argumentieren. Deshalb sind von den $9$ Kräften $F_{i\text{,} j}$ gilt

$$F_{i\text{,} j} = F_{j\text{,} i}$$

Es bleiben sechs unabhängige Kräfte ( $F_{1\text{,} 1}$, $F_{2\text{,} 2}$, $F_{3\text{,} 3}$, $F_{1\text{,} 2}$, $F_{2\text{,} 3}$, $F_{3\text{,} 1}$). Es gibt also 6 unabhängige Spannungen ( $\sigma_{1\text{,} 1}$, $\sigma_{2\text{,} 2}$, $\sigma_{3\text{,} 3}$, $\sigma_{1\text{,} 2}$, $\sigma_{2\text{,} 3}$, $\sigma_{3\text{,} 1}$).

Von den neun Deformationen $\epsilon{k\text{,} \ell}$ sind sechs unabhängig. Die Deformationen mit den gleichen Indizes bedeuten Dehnungen und Stauchungen. Die anderen sechs bedeuten Scherungen. So beschreibt die $\epsilon_{1\text{,} 2}$ die Scherung der $1$-Achse gegen die $2$-Achse, also die Änderung des Zwischenwinkels zwischen beiden Achsen. $\epsilon_{2\text{,} 1}$ beschreibt die Scherung der $2$-Achse gegen der $1$-Achse, also auch die Änderung des Zwischenwinkels. Dies ist aber in beiden Fällen der gleiche Winkel. Also gilt $\epsilon{k\text{,} \ell} = \epsilon_{\ell\text{,} k}$ für $k \neq \ell$. Es bleiben also auch sechs unabhängige Deformationen ( $\epsilon_{1\text{,} 1}$, $\epsilon_{2\text{,} 2}$, $\epsilon_{3\text{,} 3}$, $\epsilon_{1\text{,} 2}$, $\epsilon_{2\text{,} 3}$, $\epsilon_{3\text{,} 1}$).

Es bleiben also noch $6\cdot 6= 36$ unabhängige Komponenten im Tensor übrig.

Wenn wir berücksichtigen, dass für kleine Deformationen $\epsilon_{k\text{,} \ell}$ die potentielle Energie wie bei jeder Feder eine quadratische Funktion der Dehnungen sein muss und dass die Spannungen durch die Ableitung dieser Energie nach den Deformationen berechnet werden, folgt dass es noch 21 unterschiedliche Komponenten des Elastizitätstensors gibt. Mit anderen Worten, die Deformation des allgemeinsten Materials wird durch 21 Parameter beschrieben.

Je höher die Symmetrie eines Materials ist, desto weniger unabhängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall des isotropen Mediums bleiben zwei, $E$ und $G$.

Dehnung und Kompression

(Siehe Tipler, Physik [Tip94, pp. 342]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 130])

Zieht man an einem Draht (Länge $\ell$, Querschnitt $d$ und Querschnittsfläche $A=\frac{\pi}{4}d^2$), dann vergrössert sich die Länge um $\Delta \ell$ und verringert sich (meistens) der Querschnitt um $\Delta d$.

$$\Delta \ell = \epsilon\ell$$

$$-\Delta d = \mu\epsilon d$$ (7.639)

Es sind

• $\epsilon$ die relative Dehnung
• $\mu$ die Poisson-Zahl

Wir definieren nun die Spannung

$$\sigma = \frac{F}{A}$$ (7.640)

dabei ist $F$ die an der Querschnittsfläche $A$ wirkende Kraft.

Das Hookesche Gesetz verknüpft Spannung $\sigma$ und Dehnung $\epsilon$

$$\sigma = E \epsilon$$ (7.641)

$E$ ist eine Materialkonstante, der Elastizitäts- oder der Dehnungsmodul (im englischen Young's Modulus genannt).

Einheiten

• $\epsilon$: dimensionslos
• $\sigma$: $\frac{N}{m^2}$
• $E$: $\frac{N}{m^2}$

Wenn wir die obigen Gleichungen umschreiben, erhalten wir

$$\delta \ell = \frac{1}{E} \frac{\ell F}{A}$$ (7.642)

Aus Änderung des Querschnitts und der Länge können wir die Volumenänderung berechnen. Wir setzen an, dass $V = \ell d^2$ ist

$$\Delta V = d^2 \Delta \ell + 2 \ell d \Delta D = V \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 V \frac{\Delta d}{d}$$ (7.643)

Umgeschrieben erhalten wir

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta d}{d} = \epsilon - 2\mu\epsilon = \epsilon(1-2\mu) = \frac{\sigma}{E}(1-2\mu)$$ (7.644)

Wir sehen, dass für positives $\Delta V$ die Poisson-Zahl der Ungleichung $\mu \leq 0.5$ genügen muss. In speziellen fällen kann $\mu$ auch grösser als $0.5$ sein.

Wir haben hier $\sigma$ und $\epsilon$ als Skalare angenommen.

Wird der Testkörper hydrostatischem Druck $\Delta p$ unterworfen, ist also die Spannung auf allen Seiten gleich, ändert sich das Volumen um den dreifachen Wert, der bei einer uniaxialen Spannung auftreten würde.

$$\frac{\Delta V}{V} = - \frac{3 \Delta p}{E}(1-2\mu)$$ (7.645)

Die Kompressibilität $\kappa = -\frac{\Delta V}{V\Delta p}$ ist

$$\kappa = \frac{3}{E}(1-2\mu)$$ (7.646)

Wird ein Draht gedehnt, kann ihm die Federkonstante $k = \frac{\Delta F}{\Delta \ell} = \frac{A E}{\ell}$ zuschreiben.

Bei der Dehnung wird die Arbeit

$$W = \int\limits_0^{\Delta\ell} k x dx = \frac{1}{2} k \Delta\ell^2 = \frac{1}{2} E A \ell \frac{\Delta \ell^2}{\ell^2} = \frac{1}{2} E V \epsilon^2$$ (7.647)

verrichtet. Wenn wir die Arbeit, oder Energie, pro Volumeneinheit ausrechnen, ist die elastische Energiedichte

$$w = \frac{1}{2}E\epsilon^2$$ (7.648)

Scherung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 131])

Scherung eines Würfels

Wenn die Kraft $F$ tangential zur Oberfläche steht, dann wird der Testkörper geschert. Wenn die Stirnfläche des Würfels $A$ ist, ist die Schubspannung

$$\tau = \frac {F}{A}$$ (7.649)

Als Konsequenz dieser Schubspannung wird der Testkörper um den Winkel $\alpha$ geschert.

$$\tau = G \alpha$$ (7.650)

Einheiten

• $\alpha$: dimensionslos
• $\tau$: $\frac{N}{m^2}$
• $G$: $\frac{N}{m^2}$

$G$ ist der Schub- oder Torsionsmodul (englisch: shear modulus)

Analog zur Energiedichte der axialen Deformation kann auch für die Scherenergiedichte

$$w = \frac{1}{2} G\alpha^2$$ (7.651)

geschrieben werden.

Verdrillung eines Drahtes

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 131])

Verdrillung. Zur Berechnung wird der Draht in koaxiale Zylinder unterteilt.

Hier verdrehen zwei entgegengesetzte Drehmomente $M$ einen Draht um den Winkel $\phi$. Ein Hohlzylinder mit dem Radius $r$ un der Dicke $dr$ wird um

$$\alpha = \frac{r\phi}{\ell}$$ (7.652)

geschert. Wir benötigen die Scherspannung $\tau = G \alpha$ und eine Scherkraft $dF = \tau \cdot 2 \pi r dr$. Das Drehmoment ist also

$$dM = dF r = \frac{2\pi G \phi}{\ell} r^3 dr$$ (7.653)

Das gesamte Drehmoment erhalten wir durch Integration

$$M = \int\limits_0^R = \frac{2\pi G \phi}{\ell} r^3 dr = \frac{\pi}{2} G \frac{R^4}{\ell} \phi$$ (7.654)

Wir können dem Draht die Richtgrösse

$$D_r = \frac {M}{\phi} = \frac{\pi}{2} G \frac{R^4}{\ell}$$ (7.655)

zuschreiben. Beachte, dass die Richtgrösse $D_r$ extrem stark vom Drahtdurchmesser abhängt.

Biegung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 134])

Biegebalken

Biegebalken werden heute in vielen die Oberflächen abtastenden Instrumenten eingesetzt. Als Stimmgabeln sind sie die zeitbestimmenden Elemente in einer Uhr.

Der Balken der Länge $\ell$, Breite $b$ und Dicke $h$ soll einseitig eingespannt sein. Wir legen am Ende eine Kraft $F$ an, die senkrecht zur ursprünglichen Lage des Balkens sein soll. An einem Punkt im Abstand $x$ vom Balkenende ist als Wirkung der Kraft der Balken gebogen, und zwar mit einem Krümmungsradius von $r$. Die oberen Schichten werden um $\frac{h}{2r}$ gedehnt, die unteren entsprechend gestaucht. In der Mitte befindet sich (rot eingezeichnet) die neutrale Faser Gemittelt über die obere Hälfte des Balkenquerschnitts (über der neutralen Faser) ist die Dehnung $\frac{h}{4r}$. Die untere Hälfte ist entsprechend gestaucht. Sowohl für die Stauchung wie auch für die Dehnung wird eine Kraft von $\widetilde{F} = E \cdot \frac{h}{4r} \frac{hb}{2}$, und analog dazu eine Kraft für die Stauchung. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar (Abstand $\frac{h}{2}$), das Drehmoment

$$M(x) = \widetilde{F}\frac{h}{2} \approx \frac{E h^3 b}{16 r} \approx \alpha \frac{E h^3 b}{r}$$ (7.656)

$\alpha$ ist hier eine Schätzung und müsste mit einer ausführlicheren Rechnung berechnet werden. Für einen rechteckigen Querschnitt zeigt die genauere Rechnung, dass $\alpha = 1/12$ und nicht $1/16$ ist. Die Ursache für das Drehmoment $M(x)$ ist die Kraft $F$ am Ende des Balkens im Abstand $x$. Wir erhalten

$$F x = M(x) = \frac{\alpha E h^3 b}{r }$$ (7.657)

oder

$$r = \frac{\alpha E h^3 b}{F x }$$ (7.658)

Die Krümmung $1/r$ ist an der Einspannungsstelle am grössten. Die Spannung $\sigma$ ist

$$\sigma = E \frac{h}{2r} = \frac{E h}{2} \frac{F \ell}{\alpha E h^3 b} = \frac{F \ell}{2\alpha h^2 b}$$ (7.659)

Wird die Festigkeitsgrenze überschritten, bricht der Balken an der Einspannstelle. Die Belastbarkeit eines einseitig eingespannten Balkens ( und auch eines zweiseitig eingespannten oder aufgestützten Balkens) geht mit $\frac{h^2 b}{\ell}$.

Typische Anwendungen einseitig eingespannter Balken finden sich in der Mikrosystemtechnik.

Prinzip der Herstellung eines freitragenden, einseitig eingespannten Balkens mit mikrotechnologischen Mitteln (W. Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[Noe98, 84])

REM (Rasterelektronenmikroskop)-Bilder des Balkens a) und der Sonde b) eines AFM-Sensors (W. Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[Noe98, 85])

Beziehung zwischen den elastischen Konstanten

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 132])

Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung

Die blau eingezeichneten Kräfte in der obigen Abbildung bewirken eine Scherung um den Winkel $\alpha$ des Würfels mit der Seitenfläche $A=d^2$. Der Schermodul des Materials ist also

$$G = \frac{2F}{\alpha d^2}$$

Die blauen Kräfte können jeweils in zwei halb so grosse Kräfte (rot)aufgespalten werden. Nun werden jeweils zwei roten Kräfte von zwei nebeneinander liegenden Flächen zusammengefasst; das Resultat sind die grünen Kräfte. Diese bewirken eine reine Dehnung oder Stauchung.

Jede Scherung kann also als Kombination von einer Stauchung und einer orthogonal dazu liegenden Dehnung aufgefasst werden.

Die eine Diagonale wird um $\alpha d/\sqrt{2}$ gedehnt, die andere um den gleichen Wert gestaucht. Die Kräfte wirken auf dreieckförmige Körper. Im Mittel ist die effektive Fläche halb so gross wie die Diagonalfläche (analog zur Berechnung der Dreiecksfläche $A = (c/2)\cdot h$).

Effektiv verwenden wir eine Fläche der Grösse $A'=d \cdot d\sqrt{2}/2$. Jede der Kräfte $F/\sqrt{2}$ erzeugt eine relative Dehnung oder Stauchung um $\frac{F}{\sqrt{2}EA'}$ in ihrer Richtung und eine Querkontraktion oder -dilatation von $\mu\frac{\sqrt{2}F}{EA'2}$. Die Kräfte auf die beiden anderen Seiten bewirken noch einmal die gleichen Deformationen. Beide Deformationen zusammen ergeben².

$$\frac{\Delta \ell}{\ell} =2\left(\frac{F}{\sqrt{2}EA'}+ \mu\frac{... ...\left(1+\mu\right) =2\frac{F}{\sqrt{2}E \frac{d^2}{\sqrt{2}}}\left(1+\mu\right)$$

Die Deformation $\frac{\Delta \ell}{\ell}$ kann aus der Scherung berechnet werden:

$$\frac{\Delta \ell}{\ell} =\frac{\alpha d}{\sqrt{2} d \sqrt{2}} = \frac {\alpha}{2}$$

Also ist

$$2\frac{F}{E d^2}\left(1+\mu\right)= \frac {\alpha}{2}$$

Umgestellt erhalten wir

$$E = \frac {4F(1+\mu)}{\alpha d^2}$$

und durch Vergleich

$$E = 2G(1+\mu)$$ (7.660)

Da die Poissonzahl $0 < \mu < 0.5$ ist, bekommt man auch

$$\frac{E}{2} > G > \frac{E}{3}$$ (7.661)

Anelastisches Verhalten

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 132])

Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss

Bei grossen Deformationen ist die Antwort des deformierten Körpers nicht mehr linear. Wir nennen diesen Bereich auch den Nicht-Hookeschen Bereich. Im obigen Bild wird das Verhalten für Grauguss und Stahl dargestellt. Es können die folgenden Bereiche unterschieden werden:

• Für kleine Dehnungen $\epsilon$ bis zur Elastizitätsgrenze $\sigma_E$ wir alle in der Deformation gespeicherte Energie bei der Entlastung wieder zurückgewonnen.
• Bis zur Proportionalitätsgrenze $\sigma_P$ ist die Dehnung proportional zur Spannung.
• An der Streckgrenze $\sigma_S$ beginnen, manchmal schubweise, starke plastische Verformungen.
• An der Festigkeitsgrenze $\sigma_F$, auch Fliessgrenze genannt, beginnt das Material zu fliessen.
• Bei der Bruchdehnung $\epsilon_B$ bricht das Material.