Vektoren

beschreiben Orte oder gerichtete Grössen

Definition von Vektoren. $\vec{r}$ ist ein Ortsvektor, $\vec{v}$ der Geschwindigkeitsvektor.

$$\overrightarrow{r}=\vec{r}=\left( \begin{array}[c]{r} x\\ y \end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{v}=\vec{v}=\left( \begin{array}[c]{r} v_{x}\\... ...eft( \begin{array}[c]{r} \dot{x}\\ \dot{y} \end{array}\right)$$

Die Ableitung nach der Zeit wird auch als

$$\dot{\vec{x}}=\frac{d\vec{x}}{dt}$$

geschrieben.

Addition:

$$\vec{a}+\vec{b}=\left( \begin{array}[c]{r} a_{x} a_{y} b_{z... ...egin{array}[c]{r} a_{x}+b_{x} a_{y}+b_{y} d_{z}+b_{z} \end{array} \right)$$ (C..922)

Versuch zur Vorlesung: Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28)

Länge eines Vektors

$$\left\vert \vec{a}\right\vert =\sqrt{a_{y}^{2}+b_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$$ (C..923)

Skalarprodukt

$$\vec{a}\cdot\vec{b}={a_{x}b_{x}+a_{y}b_{z}+a_{z}b_{z}}=\left\vert... ...\vert \vec{b}\right\vert \cdot\cos\left( \angle \vec{a}\text{,} \vec{b}\right)$$ (C..924)

der Einheitsvektor $\vec{e}_{x}$ ist ein Vektor der Länge $1$, der in die $x$-Richtung zeigt.

Vektorprodukt

$$\vec{a}\times\vec{b}=\left( \begin{array}[c]{r} a_{x} a_{y} ... ..._{z}b_{y} a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z} a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x} \end{array} \right)$$ (C..925)

Gesetze

Für die Orientierung der Vektoren gilt:

$$\vec{a}\times\vec{b}\perp\vec{a}$$ (C..926)

$$\vec{a}\times\vec{b}\perp\vec{b}$$ (C..927)

$$\left\vert \vec{a}\times\vec{b}\right\vert =\left\vert \vec{a}\right\vert \left\vert \vec{b}\right\vert \cdot\sin\left( \angle a\text{,} b\right)$$ (C..928)

Spatprodukt

$$\vec{a}\cdot\left( \vec{b}\times\vec{c}\right) =\vec{b}\cdot\left( \vec{c}\times\vec{a}\right)=-\vec{b}\cdot\left( \vec{a}\times\vec{c}\right)$$ (C..929)

Das Spatprodukt berechnet das Volumen des durch $\vec{a}$,$\vec{b}$   ,$\vec{c}$ aufgespannten Spates.

Orthogonalität zweier Vektoren testen

Gegeben seien zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Die Projektion von $\vec{a}$ auf $\vec{b}$, das heisst, die Komponente von $\vec{a}$ in die Richtung von $\vec{b}$ ist

$$a_b = a_{\text{in Richtung $\vec{b}$}} = \vec{a}\cdot\vec{e}_b = ... ...dot\frac{\vec{b}}{\left\vert\vec{b}\right\vert} = \vec{a}\cdot\frac{\vec{b}}{b}$$ (C..930)

In kartesischen Koordinaten heisst dies

$$a_b = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$$ (C..931)

Beispiel:

Sei $\vec{a}= \left(3\text{,} 2\text{,} -2\right)$ und $\vec{b}= \left(-2\text{,} 0\text{,} 1\right)$. Dann ist

$$a_b = \frac{3\cdot (-2)+2\cdot 0+ (-2)\cdot 2}{\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}}=\frac{-6-4}{\sqrt{8}} =-\frac{10}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{\sqrt{2}}$$

Beispiel:

Sei $\vec{a}= \left(3\text{,} 2\text{,} -2\right)$ und $\vec{b}= \left(0\text{,} 0\text{,} 1\right)$. Dann ist

$$a_b = \frac{3\cdot 0+2\cdot 0+ (-2)\cdot 2}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{-2}{\sqrt{1}} =-2$$

Dis ist die $z$-Komponente von $\vec{a}$.