Eine physikalische Grösse besteht aus der Masszahl und der Einheit
Beispiel:
Gleichungen müssen nicht nur für die Masszahlen sondern auch für Einheiten gelten, das heisst, dass man mit einer Einheitenbetrachtung feststellen kann, dass eine Gleichung falsch ist. |
Beispiel:
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Die SI-Einheiten sind die gesetzlichen Einheiten. Das SI ist überbestimmt, nur die Einheiten der Länge, der Zeit und der Masse wären notwendig.
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(2.1) |
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(2.2) |
d.h. Lichtgeschwindigkeit ist definiert, nicht die Länge. Man könnte
setzen und die Länge in Sekunden
messen.
Grössen werden im cgs-System durch
,
,
ausgedrückt
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Eine Grösse messen heisst, das zu messende Objekt mit der Masseinheit zu vergleichen.
Es gibt auch indirekte Messmethoden, z.B. bei Thermometern
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Bei jeder Messung gibt es eine Messunsicherheit
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Messunsicherheiten werden wie folgt kategorisiert
Wir betrachten die Fehlerfortpflanzung anhand der Geschwindigkeitsmessung. Die Geschwindigkeit kann aus
der Zeit , die zum Durchlaufen einer bestimmten Strecke
benötigt wird, berechnet werden. Wir nehmen an,
dass wir
Messungen durchführen, und dabei die Messungen mit
bezeichnen. Wir verwenden fernen den
Mittelwert der Ortsmessung
und den Mittelwert der Zeitmessung
Die Abweichung der einzelnen Messwerte vom Mittelwert ist dann
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Die Standardabweichung eines einzelnen Messwertes einer Grösse bei
Messungen ist definiert durch
Die Standardabweichung des Mittelwertes
einer Grösse
bei
Messungen ist
Die einzelnen Messwerte können dann auch als
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Es gelten
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Mit
wird
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Dies bedeutet, dass man für statistisch unabhängige Daten sowohl zuerst das Resultat ausrechnen kann und dann
mitteln, oder zuerst die Messwerte Mitteln, und dann das Resultat berechnen kann. Die beiden Resultate werden bis
auf Summanden der Ordnung in den Fehlern identisch sein.
Der Begriff sagt, dass Terme mit der Ordnung (Summe aller Exponenten) von 2 oder mehr vernachlässigt
wurden.
Die Messunsicherheit von
wird durch
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Ein einzelner berechneter Wert der Geschwindigkeit wird dann
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Zufällige Fehler sind Gauss-verteilt. Der relative Fehler des Mittelwertes aller Messungen nimmt meist mit
(wobei
die Anzahl Messungen ist) ab. Die Messunsicherheit von
wird durch
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Nun ist aber
und
nach unseren Annahmen statistisch unabhängig, also nicht korreliert.
Daraus folgt, dass das Produkt
sich zu null mittelt
und weggelassen werden kann. Wir haben also
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Im besprochenen Falle haben wir eine Funktion, die als Polynom geschrieben werden kann. Deshalb lässt sich das
Fehlerfortpflanzungsgesetz relativ schreiben. Im Allgemeinen gilt: wenn
ist, lautet das Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz
Das Symbol
bedeutet die partielle Ableitung nach
. Hängt
eine Funktion von mehreren Variablen ab, also zum Beispiel
,
,
,
, dann betrachtet
man bei der partiellen Ableitung
die Variablen
,
und
als konstant und leitet wie gewöhnlich nach
ab. Man kann auch schreiben:
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Analog sind man bei der partiellen Ableitung
die
Variablen
,
und
konstant und man leitet wie gewöhnlich nach
ab.
Andererseits könnte man auch so argumentieren: Wir ersetzen die Messwerte durch die Schätzwerte und
. Wir erhalten (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen, da wir dies ja nicht kennen)
Allgemein gilt: wenn
ist, ist
Diese letzteren Rechnungen (Grösstfehlerabschätzung) sollten nicht verwendet werden. Sie liefern bis zu zehn mal zu hohe Fehlerschranken.
Othmar Marti