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Up: PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik  Skript:  PDF-Datei

Aufgabenblatt zum Seminar 05
PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)


Date: 17. 11. 2008

Aufgaben

  1. Gegeben ist das Kraftfeld

    \begin{displaymath}
\vec{F}\left( \vec{r}\right) =\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}}\left(
...
...{c}%%
2yx-z^{2}\\
x^{2}+2zy\\
y^{2}-2zx
\end{array}\right)
\end{displaymath}

    Berechnen Sie die Arbeit der Systemkraft entlang der geraden Wege

    1. $ \left( 0 \metre,0 \metre,0 \metre\right) \rightarrow\left( 0 \metre,0 \metre,5 \metre\right) \rightarrow
\left( 0 \metre,3 \metre,5 \metre\right) $

    2. $ \left( 0 \metre,0 \metre,0 \metre\right) \rightarrow\left( 3 \metre,0 \metre,0...
...,3 \metre, 0 \metre\right) \rightarrow\left(
0 \metre,3 \metre,5 \metre\right) $

    3. $ \left( 0 \metre,0 \metre,0 \metre\right) \rightarrow\left( 0 \metre,3 \metre,0 \metre\right) \rightarrow
\left( 0 \metre,3 \metre,5 \metre\right) $

    4. Was vermuten Sie über die Konservativität des Kraftfeldes?


  2. \includegraphics[width=0.3\textwidth]{ue05-01-2008}

    1. Eine Kugel (Masse $ m_{2}$) trifft mit der Geschwindigkeit $ v_{2}$ inelastisch auf ein ballistisches Pendel mit der Masse $ m_{1}$. Wie hoch steigt das Pendel mit der Länge $ \ell$ (Angabe des Winkels)?

    2. Wie viel Energie wird in Wärme umgewandelt?

    3. Wenn $ \alpha=\frac{\pi}{6} \radian$, $ \ell=30 \centi\metre$, $ m_{1}=120 \gram$ und $ m_{1}+m_{2}=130 \gram$ sind, wie gross ist dann $ v_{2}$?

  3. Gegeben sind:

    Nr. $ m$ $ v_{x}$ $ v_{y}$ $ v_{z}$ $ r_{0x}$ $ r_{oy}$ $ r_{0z}$
    1 $ 30 \gram$ $ -1 \metre\per\second$ $ 2 \metre\per\second$ $ 1 \metre\per\second$ $ 1 \metre$ $ 2 \metre$ $ -1 \metre$
    2 $ 60 \gram$ $ -2 \metre\per\second$ $ -3 \metre\per\second$ $ 0 \metre\per\second$ $ -1 \metre$ $ 0 \metre$ $ 0 \metre$
    3 $ 40 \gram$ $ -4 \metre\per\second$ $ 1 \metre\per\second$ $ -2 \metre\per\second$ $ 0 \metre$ $ -2 \metre$ $ 1 \metre$
    4 $ 50 \gram$ $ 3 \metre\per\second$ $ 5 \metre\per\second$ $ 1 \metre\per\second$ $ 0 \metre$ $ 3 \metre$ $ -2 \metre$
    5 $ 20 \gram$ $ 1 \metre\per\second$ $ -3 \metre\per\second$ $ 4 \metre\per\second$ $ 1 \metre$ $ 4 \metre$ $ 0 \metre$

    Berechnen Sie

    1. die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes $ \vec{v}_{s}$,

    2. den Gesamtimpuls $ \vec{p},$

    3. den Ort des Massenmittelpunktes $ \vec{r}_{s}\left( t\right) $,

    4. die Energie der Massenmittelpunktsbewegung,

    5. die innere Energie.

  4. Ein mathematisches Pendel der Länge $ \ell$, Masse $ m$ schwingt mit einer maximalen Auslenkung $ \varphi_{\max}\ll 1$ im Schwerefeld der Erde. Bestimmen Sie in Funktion der Zeit die Kraft auf die Schnur und die die Masse beschleunigende Kraft.

  5. Ein auf einer horizontalen Platte gleitender Körper (Masse $ m_{1}$) wird durch einen Faden über eine Rolle von einem frei herabhängenden Körper (Masse $ m_{2}$) gezogen. (Rollen- und Fadenmasse nicht berücksichtigen!)

    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{ue05-02-2008}

    Um welchen Wert $ \Delta F$ ändert sich die Fadenkraft, wenn der gleitende Körper von einer Glasplatte (Gleitreibungszahl $ \mu\approx0$) auf rauhes Holz ($ \mu>0$) gelangt?

    $ m_{1}=12 \gram$ $ m_{2}=30 \gram$ $ \mu=0,6$

  6. Beim Rangieren stösst ein Waggon der Masse $ m_{A}=m$ mit der Geschwindigkeit $ v_{0}$ auf zwei einzeln stehende Waggons der Massen $ m_{B}=m/2$ und $ m_{c}=\frac{3}{4}m$.

    1. Wie viele Zusammenstösse finden insgesamt statt, wenn diese elastisch ablaufen?

      Mit welchen Geschwindigkeiten $ v_{A}, v_{B}$ und $ v_{c}$ bewegen sich die Waggons nach dem letzten Zusammenstoss?

    2. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn die beiden stehenden Waggons vertauscht sind?

  7. Eine Kugel mit dem Radius $ r$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $ v_{0}$ so auf eine gleichartige ruhende Kugel zu, dass ein schiefer, vollkommen elastischer Stoss stattfindet. Die Gerade, auf der sich die erste Kugel der zweiten nähert, führt im Abstand $ b$ an deren Zentrum vorbei.

    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{ue05-03-2008}

    1. Unter welchem Winkel $ \alpha_{2}$ wird die zweite Kugel gestossen?

    2. Stellen Sie die Aussage des Impulserhaltungssatzes in vektorieller Form zeichnerisch dar!

    3. Wie gross ist der Winkel $ \alpha_{1}$ , unter dem sich die erste Kugel nach dem Stoss weiterbewegt?

    4. Wie gross sind die Geschwindigkeiten $ v_{1}$ und $ v_{2}$ der Kugeln nach dem Stoss?

      $ d=12 \milli\metre$ $ r=10 \milli\metre$ $ v_{0}=10 \centi\metre\per\second$

  8. Zwei Massen $ m_{1}$ und $ m_{2}$ bewegen sich von den Orten $ \vec{r}_{1}$ und $ \vec{r}_{2}$ mit den Anfangsgeschwindigkeiten $ \vec{v}_{1}$ und $ \vec{v}_{2}$ weg. Die Masse $ m_{2}$ übt auf die Masse $ m_{1}$ die Kraft

    $\displaystyle \vec{F}=\left( \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right) \cdot\frac{F_{0}}{\ell_{0}}%%
\cdot\cos\left( \omega t\right)
$

    aus. Berechnen Sie die Bahnen der beiden Massen!

  9. (3 Minuten)

    Die Schauerfrau lädt 50-Kilo-Fässer auf einen Lastwagen, indem sie diese eine Rampe hinaufrollt. Die Ladefläche liegt $ 1m$ über der Strasse und die Rampe ist $ 2m$ lang. Mit wie viel Kraft muss sie die Fässer die Rampe hinaufschieben?

    1. 1000 Newton

    2. 500 Newton

    3. 250 Newton

    4. 50 Newton

    5. kann's nicht sagen

  10. (3 Minuten)

    Ein Schwarm Fliegen befindet sich in einem verschlossenen Glas. Man stellt das Glas auf eine Waage. Die Waage zeigt das grösste Gewicht an, wenn die Fliegen

    1. im Glas auf dem Boden sitzen;

    2. im Glas herumschwirren;

    3. das Gewicht ist in beiden Fällen gleich.

Lösungen

  1. Gegeben ist das Kraftfeld

    \begin{displaymath}
\vec{F}\left( \vec{r}\right) =\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}}\left(
...
...{c}%%
2yx-z^{2}\\
x^{2}+2zy\\
y^{2}-2zx
\end{array}\right)
\end{displaymath}

    Wir verwenden

    \begin{displaymath}\int\limits_{\text{Weg $s$}} \vec{F}(\vec{r}(s))\cdot d\vec{s...
...
y^{2}(s)-2z(s)\cdot x(s)
\end{array}\right)\cdot \vec{e}_{s}ds\end{displaymath}

    1. Das erste Teilstück ist entlang der $ z$-Achse. Also ist $ x=0$ und $ y=0$. Wir haben $ \vec{e}_s = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}\right) $, $ s=z$ und $ ds=dz$. Also lösen wir

      $\displaystyle \mathfrak{I}_1 = \int\limits_{0}^{5~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}...
...t\limits_{0}^{5~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \left(0^2-2z\cdot 0\right)dz = 0$

      Das zweite Teilstück ist entlang der $ y$-Achse. Also ist $ x=0$ und $ z=5~\metre$. Wir haben $ \vec{e}_s = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{array}\right) $, $ s=y$ und $ ds=dy$. Also lösen wir

      $\displaystyle \mathfrak{I}_2 =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{3~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}}\left( \begin{ar...
...rray} \right)\cdot\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) ds$    
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{3~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \left(0^2+2\cdot5~\metre\cdot y\right)dy = {\frac {F_{0}}{{\ell_{0}}^{2}}}\cdot45~\cubic\metre$    

      Wir erhalten also

      $\displaystyle W \left(
\begin{array}{c}
0~\metre \\
3~\metre \\
5~\metre \\...
...{2}}}\cdot45~\cubic\metre
= {\frac {F_{0}}{{\ell_{0}}^{2}}}\cdot45~\cubic\metre$

    2. Die ersten zwei Integrale sind analog zur vorherigen Teilaufgabe.

      Das erste Teilstück ist entlang der $ x$-Achse. Also ist $ y=0$ und $ z=0$. Wir haben $ \vec{e}_s = \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}\right) $, $ s=x$ und $ ds=dx$. Also lösen wir

      $\displaystyle \mathfrak{I}_3 = \int\limits_{0}^{3~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}...
...s_{0}^{3~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \left(2\cdot 0 \cdot x-0^2\right)dx
= 0$

      Das zweite Teilstück ist entlang der $ y$-Achse. Also ist $ x=3~\metre$ und $ z=0$. Wir haben $ \vec{e}_s = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{array}\right) $, $ s=y$ und $ ds=dy$. Also lösen wir

      $\displaystyle \mathfrak{I}_4 =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{3~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}}\left( \begin{ar...
...rray} \right)\cdot\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) ds$    
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{3~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \left((3~\metre)^2+2\cdot0\cdot y\right)dy = {\frac {F_{0}}{{\ell_{0}}^{2}}}\cdot27~\cubic\metre$    

      Das nächste Teilstück läuft schräg in der $ xz$-Ebene. $ y=3~\metre$ ist konstant. Der Integrationsweg läuft von $ \left(
\begin{array}{c}
3~\metre \\
3~\metre \\
0~\metre \\
\end{array}\right)$ nach $ \left(
\begin{array}{c}
0~\metre \\
3~\metre \\
5~\metre \\
\end{array}\right)$ Die Länge des Integrationsweges ist $ s_{max} =
\sqrt{(3~\metre)^2+(5~\metre)^2}=\sqrt{34}~\metre$ Der Einheitsvektor entlang des Weges ist

      $\displaystyle \vec{e}_{s}= \frac{1}{\sqrt{34}~\metre} \left(
\begin{array}{c}
-3~\metre \\
0~\metre \\
5~\metre \\
\end{array}\right)$

      Weiter müssen wir $ x$ und $ z$ durch $ s$ ausdrücken, wobei $ s=0~\metre$ bei $ \left(
\begin{array}{c}
3~\metre \\
3~\metre \\
0~\metre \\
\end{array}\right)$ sein soll. Also haben wir mit

      $\displaystyle \tan\alpha = \frac{3~\metre}{5~\metre}$

      und

      $\displaystyle \sin(\arctan(\alpha)) = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}} \Rightarrow
\sin\left(\arctan\left(\frac{3}{5}\right)\right) = \frac{3}{\sqrt{34}}$

      sowie

      $\displaystyle \cos(\arctan(\alpha)) = \frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}} \Rightarrow
\cos\left(\arctan\left(\frac{3}{5}\right)\right) = \frac{5}{\sqrt{34}}$

      $\displaystyle x(s)$ $\displaystyle = 3~\metre - s\cdot\sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3~\metre - s\cdot\sin(\arctan(\alpha))$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3~\metre - s \cdot\frac{3}{\sqrt{34}}\nonumber$    
      $\displaystyle z(s)$ $\displaystyle = s\cdot\cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s\cdot\cos(\arctan(\alpha))$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s \cdot\frac{5}{\sqrt{34}}$    

      Mit $ y=3~\metre$ folgt

      $\displaystyle \vec{F}[\vec{r}(s)) = \frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \left(
\begin{array...
...cdot\left(3~\metre - s \cdot\frac{3}{\sqrt{34}}\right) \\
\end{array}\right)
$

      Dann ist

      $\displaystyle \vec{F}(\vec{r}(s))\cdot \vec{e}_{s} = \frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \l...
...\begin{array}{c}
-3~\metre \\
0~\metre \\
5~\metre \\
\end{array}\right)
$

      oder

      $\displaystyle \vec{F}(\vec{r}(s))\cdot \vec{e}_{s} =$ $\displaystyle \frac{F_{0}}{l_{0}^{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{34}} \left( -3~\metre...
...ot\frac{3}{\sqrt{34}})-\left( s \cdot\frac{5}{\sqrt{34}}\right)^2\right)\right.$    
        $\displaystyle \left.+ 5~\metre\cdot\left((3~\metre)^2-2\left(s \cdot\frac{5}{\s...
...}\right)\cdot\left(3~\metre - s \cdot\frac{3}{\sqrt{34}}\right) \right) \right)$    

      Schliesslich bekommen wir

      $\displaystyle \mathfrak{I}_{5} = \int\limits_{0}^{\sqrt{34}~\metre} \vec{F}(\vec{r}(s))\cdot \vec{e}_{s} ds
= {\frac {F_{0}}{{\ell_{0}}^{2}}}\cdot27~\cubic\metre$

      Wir erhalten also

      $\displaystyle W \left(
\begin{array}{c}
0~\metre \\
3~\metre \\
5~\metre \\...
...{2}}}\cdot18~\cubic\metre
= {\frac {F_{0}}{{\ell_{0}}^{2}}}\cdot45~\cubic\metre$

    3. Das erste Teilstück ist entlang der $ y$-Achse. Also ist $ x=0$ und $ z=0$. Wir haben $ \vec{e}_s = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{array}\right) $, $ s=y$ und $ ds=dy$. Also lösen wir

      $\displaystyle \mathfrak{I}_6 = \int\limits_{0}^{3~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}...
...s_{0}^{3~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}}
\left(0^{2}+2\cdot0\cdot y\right)dy = 0$

      Das zweite Teilstück ist entlang der $ z$-Achse. Also ist $ x=0$ und $ y=3~\metre$. Wir haben $ \vec{e}_s = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}\right) $, $ s=z$ und $ ds=dz$. Also lösen wir

      $\displaystyle \mathfrak{I}_7 =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{5~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}}\left( \begin{ar...
...rray} \right)\cdot\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) ds$    
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{5~\metre}\frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \left((3~\metre)^{2}(s)-2z\cdot 0\right)dy = {\frac {F_{0}}{{\ell_{0}}^{2}}}\cdot45~\cubic\metre$    

      Wir erhalten also

      $\displaystyle W \left(
\begin{array}{c}
0~\metre \\
3~\metre \\
5~\metre \\...
...{2}}}\cdot45~\cubic\metre
= {\frac {F_{0}}{{\ell_{0}}^{2}}}\cdot45~\cubic\metre$

    4. Es kann vermutet werden, dass das Kraftfeld konservativ ist. Wenn wir mit infinitesimal kleinen Quadraten in den $ xy$-, $ xz$- und $ yz$-Ebenen um jeweils den gleichen Punkt die Integrale der Arbeit längs eines geschlossenen Weges ausrechnen, können wir zeigen, dass so das Feld überall konservativ ist. Wie in der Vorlesung gezeigt, ist es äquivalent, anstelle dieser Wegintegrale die Rotation zu berechnen.

      $\displaystyle \,{}\textrm{rot}{}~{\vec{F}(\vec{r}} =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\par...
...y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \\ \end{array} \right)\times \vec{F}(\vec{r})$    
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\par...
...tex2html_comment_mark>191 2yx-z^{2}\\ x^{2}+2zy\\ y^{2}-2zx \end{array} \right)$    
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\...
...right)- \frac{\partial}{\partial y}\left(2yx-z^{2}\right)\\ \end{array} \right)$    
      $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{F_{0}}{l_{0}^{2}} \left( \begin{array}{c} 2y-2y \\ -2z-(-2z) \\ 2x-2x \\ \end{array} \right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)$    

      Also ist das Kraftfeld konservativ.
    1. Impulserhaltung

      $\displaystyle m_2 v_2 = (m_1+m_2) v_1 \Rightarrow v_1 = v_2 \frac{m_2}{m_1+m_2}$

      Energieerhaltung

      $\displaystyle \frac{(m_1+m_2)}{2} v_1^2 = (m_1+m_2) g h \Rightarrow v_1^2 = 2 g h = v_2^2\frac{m_2^2}{(m_1+m_2)^2}$

      oder

      $\displaystyle h= \frac{ v_1^2}{2g}=\frac{v_2^2 m_2^2}{2 (m_1+m_2)^2 g}$

      Nun gilt

      $\displaystyle \ell\cos\alpha = \ell-h \Rightarrow \alpha = \arccos\left(1-\frac{h}{\ell}\right) =
\arccos\left(1-\frac{v_2^2 m_2^2}{2 \ell (m_1+m_2)^2 g}\right)$

    2. Vorher:

      $\displaystyle E_1 = \frac{m_2}{2} v_2^2$

      Nachher:

      $\displaystyle E_2 = \frac{m_1+m_2}{2}v_1^2 = \frac{m_1+m_2}{2}v_2^2\frac{m_2^2}{(m_1+m_2)^2}=
\frac{m_2^2}{2(m_1+m_2)}v_2^2
$

      Differenz

      $\displaystyle Q = E_1-E_2 =\frac{m_2}{2} v_2^2-\frac{m_2^2}{2(m_1+m_2)}v_2^2=
\...
...}{2}\left(1-\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)v_2^2 = \frac{m_1 m_2}{2(m_1+m_2)} v_2^2
$

    3. Wir haben $ \alpha = \frac{\pi}{6}$, $ \ell=30 \centi\metre$, $ m_1=120~\gram$ und $ m_2 = (m_1+m_2)-m_1 = 130~\gram-120~\gram = 10~\gram$. Aus

      $\displaystyle \alpha = \arccos\left(1-\frac{h}{\ell}\right) =
\arccos\left(1-\frac{v_2^2 m_2^2}{2 \ell (m_1+m_2)^2 g}\right)
$

      folgt

      $\displaystyle \cos(\alpha)$ $\displaystyle =1-\frac{v_2^2 m_2^2}{2 \ell (m_1+m_2)^2 g} \nonumber$    
      $\displaystyle 1-\cos(\alpha)$ $\displaystyle = \frac{v_2^2 m_2^2}{2 \ell (m_1+m_2)^2 g}$    
      $\displaystyle \frac{2 \ell (m_1+m_2)^2 g \left(1-\cos(\alpha)\right)}{m_2^2}$ $\displaystyle = v_2^2$    
      $\displaystyle v_2$ $\displaystyle = \sqrt{\frac{2 \ell (m_1+m_2)^2 g \left(1-\cos(\alpha)\right)}{m_2^2}}$    
        $\displaystyle = \sqrt{\frac{2\cdot 0.3~\metre \cdot(0.13~\kilogram)^2\cdot 9.81...
...aren\second \left(1-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)}{(0.01~\kilogram)^2}}$    
        $\displaystyle = 11.54~\metre\per\second$    

      Weiter ist

      $\displaystyle Q = 0.615~\joule$

  2. Wir verwenden

    $\displaystyle \vec{v}_s$ $\displaystyle = \frac{\sum\limits_{i=1}^N \vec{v}_i m_i}{\sum\limits_{i=1}^N m_i} \nonumber$    
    $\displaystyle \vec{p}$ $\displaystyle = \sum\limits_{i=1}^N m_i \vec{v}_i$    
    $\displaystyle \vec{r}_s$ $\displaystyle = \frac{\sum\limits_{i=1}^N \vec{r}_i m_i}{\sum\limits_{i=1}^N m_i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum\limits_{i=1}^N \left(\vec{r}_{i,0} + \vec{v}_i t\right) m_i}{\sum\limits_{i=1}^N m_i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum\limits_{i=1}^N \vec{r}_{i,0} m_i}{\sum\limits_{i=1}^N m_i} +\frac{\sum\limits_{i=1}^N \vec{v}_i m_i}{\sum\limits_{i=1}^N m_i}t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{r}_{s,0} + \vec{v}_{s}t\nonumber$    
    $\displaystyle E_s$ $\displaystyle = \frac{\sum\limits_{i=1}^N m_i}{2} v_s^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sum\limits_{i=1}^N m_i}{2}\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^N \vec{v}_i m_i}{\sum\limits_{i=1}^N m_i}\right)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\left( \sum\limits_{i=1}^N \vec{v}_i m_i\right)^2}{2\sum\limits_{i=1}^N m_i}$    
    $\displaystyle E_i$ $\displaystyle = \sum\limits_{i=1}^N \frac{m_i}{2}\left(\vec{v}_i-\vec{v}_s\right)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^N \frac{m_i}{2}\left(\vec{v}_i-\frac{\sum\limits_{i=1}^N \vec{v}_i m_i}{\sum\limits_{i=1}^N m_i}\right)^2$    

    1. $\displaystyle \vec{v}_s = \left(
\begin{array}{c}
-0.7~\metre\per\second \\
0.55~\metre\per\second \\
0.4~\metre\per\second \\
\end{array}\right)$

    2. $\displaystyle \vec{p}= \left(
\begin{array}{c}
-0.14~\metre\usk\kilogram\per\se...
...ram\per\second \\
0.08~\metre\usk\kilogram\per\second \\
\end{array}\right)$

    3. $\displaystyle \vec{r}_s(t) = \left(
\begin{array}{c}
-0.05~\metre \\
1.05~\me...
...it{-0.45}{\metre}+\unit{0.4}{\metre\per\second}\cdot t \\
\end{array}\right) $

    4. $\displaystyle E_{s} = 0.09525~\joule$

    5. $\displaystyle E_i = 1.93975~\joule$

  3. Das Pendel hat die Lösung der Bewegungsgleichung (Vorlesung)

    $\displaystyle \varphi(t) =\varphi_{max}\cos(\omega t)$

    mit

    $\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$

    Die Winkelgeschwindigkeit des Pendels ist

    $\displaystyle \Omega(t) = \frac{d}{dt}\varphi(t) = -\omega\varphi_{max}\sin(\omega t)$

    Wenn das Pendel um den Winkel $ \varphi$ ausgelenkt wird, wird die Gravitationskraft aufgeteilt in die Komponente parallel zur Schnur

    $\displaystyle F_{G,Schnur} = m g \cos(\varphi(t))$

    und in die tangentiale Komponente

    $\displaystyle F_{G,tangential} = - m g \sin(\varphi(t))$

    Bei positivem $ \varphi$ zeigt die tangentiale Kraft in die negative Richtung.

    Zusätzlich haben wir entlang der Schnur die Zentrifugalkraft (wir sind im bewegten Bezugssystem)

    $\displaystyle F_{Z,Schnur} = m\Omega^2 \ell$

    Die Gesamtkraft auf die Schnur ist also

    $\displaystyle F_{Schnur} = F_{G,Schnur}+F_{Z,Schur} = m g \cos\left(\varphi(t)\right) +
m \omega^2\varphi_{max}^2\sin^2(\omega t)\ell$

    oder

    $\displaystyle F_{Schnur} = m g \cos\left(\varphi_{max}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{...
...m {\frac{g}{\ell}}\varphi_{max}^2\sin^2\left(\sqrt{\frac{g}{\ell}} t\right)\ell$

    $\displaystyle F_{Schnur} = m g \cos\left(\varphi_{max}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{...
...t\right)\right) +
m g \varphi_{max}^2\sin^2\left(\sqrt{\frac{g}{\ell}} t\right)$

    Die beschleunigende Kraft ist

    $\displaystyle F_{G,tangential} = - m g \sin\left(\varphi_{max}\cos\left(\sqrt{\frac{g}{\ell}} t\right)\right)$

  4. Körper 1 auf dem Holz:

    (Bewegungsgleichungen)

    $\displaystyle m_{1}a$ $\displaystyle =F-\mu m_{1}g$    
    $\displaystyle m_{2}a$ $\displaystyle =m_{2}g-F$    

    $ \rightarrow$

    $\displaystyle \frac{F}{m_{1}}-\mu g$ $\displaystyle =g-\frac{F}{m_{2}}$    
    $\displaystyle F\left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right)$ $\displaystyle =g\left( 1+\mu\right)$    

    $\displaystyle F=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left( 1+\mu\right) g
$

    Körper 1 auf Glas $ \left( \mu=0\right) $:

    $\displaystyle F_{0}=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}g
$

    Fadenkraftdifferenz:

    $\displaystyle \Delta F=F-F_{0}%%
$

    $\displaystyle \Delta F=\mu\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}g=0,05N
$

  5. In den allgemeinen Formeln für $ v_{1}^{^{\prime}}$ und $ v_{2}^{^{\prime}}$,

    $\displaystyle v_{1}^{^{\prime}}$ $\displaystyle =\frac{\left( m_{1}-m_{2}\right) v_{1}+2m_{2}v_{2}<tex2html_comment_mark>200 }{m_{1}+m_{2}}$    
    $\displaystyle v_{2}^{^{\prime}}$ $\displaystyle =\frac{\left( m_{1}-m_{2}\right) v_{2}+2m_{1}v_{1}<tex2html_comment_mark>201 }{m_{1}+m_{2}}<tex2html_comment_mark>202$    

    werden $ m_{1},~m_{2},~v_{1}$ und $ v_{2}$ dem jeweiligen Stoss entsprechend ersetzt:

    1. 1. Stoss:        Waggon A $ \rightarrow~$Waggon B

      $ m_{1}=m\qquad m_{2}=\frac{m}{2}\qquad v_{1}=v_{0}\qquad v_{2}=0$

      A: $ v_{1}^{^{\prime}}=\frac{\left( m-\frac{m}{2}\right) v_{0}}{m+\frac{m}%%
{2}}=\frac{v_{0}}{3}$

      B: $ v_{2}^{^{\prime}}=\frac{2mv_{0}}{m+\frac{m}{2}}=\frac{4}{3}v_{0}$

      2. Stoss:        Waggon B $ \rightarrow~$Waggon C

      $ m_{1}=\frac{m}{2}\qquad m_{2}=\frac{3}{4}m\qquad v_{1}=\frac{4}{3}v_{0}\qquad v_{2}=0$

      B: $ v_{1}^{^{\prime}}=\frac{\left( \frac{m}{2}-\frac{3}{4}m\right) \frac
{4}{3}v_{0}}{\frac{m}{2}+\frac{3}{4}m}=-\frac{4}{15}v_{0}$

      C: $ v_{2}^{^{\prime}}=\frac{2\frac{m}{2}\frac{4}{3}v_{0}}{\frac{m}{2}+\frac
{3}{4}m}=+\frac{16}{15}v_{0}$

      3. Stoss:         Waggon A $ \rightarrow~$Waggon B

      $ m_{1}=m\qquad m_{2}=\frac{m}{2}\qquad v_{1}=\frac{v_{0}}{3}\qquad v_{2}=-\frac{4}{15}v_{0}$

      A: $ v_{1}^{^{\prime}}=\frac{\left( m-\frac{m}{2}\right) \frac{1}{3}%%
v_{0}+2\frac{m}{2}\left( -\frac{4}{15}\right) v_{0}}{m+\frac{m}{2}}%%
=-\frac{1}{15}v_{0}$

      B: $ v_{2}^{^{\prime}}=\frac{\left( \frac{m}{2}-m\right) \left( -\frac {4}{15}\right)
v_{0}+2m\frac{1}{3}v_{0}}{m+\frac{m}{2}}=-\frac{8}{15}v_{0}$

      Vergleich der Geschwindigkeiten:

      $ v_{A}=v_{1}^{^{\prime}}$ (n.d.3.Stoss)         $ v_{B}=v_{2}^{^{\prime}}$ (n.d.3.Stoß )         $ v_{C}=v_{2}^{^{\prime}}$ (n.d.2.Stoss)

      Nach dem 3. Stoss ist $ v_{A}<v_{B}<v_{C}$, daher finden keine weiteren Stösse statt, und die Waggons bewegen sich mit den Geschwindigkeiten

      $ \mathbf{v}_{A}\mathbf{=-}\frac{1}{15}\mathbf{v}_{0}\mathbf{\qquad v}%%
_{B}\ma...
...{15}\mathbf{v}_{0}\mathbf{\qquad v}_{C}\mathbf{=}%%
\frac{16}{15}\mathbf{v}_{0}$.

    2. 1. Stoss:        Waggon A $ \rightarrow~$Waggon B

      $ m_{1}=m\qquad m_{2}=\frac{3}{4}m\qquad v_{1}=v_{0}\qquad v_{2}=0$

      A: $ v_{1}^{^{\prime}}=\frac{\left( m-\frac{3}{4}m\right) v_{0}}{m+\frac
{3}{4}m}=\frac{1}{7}v_{0}$; B: $ v_{2}^{^{\prime}}=\frac{2mv_{0}}{m+\frac{3}%%
{4}m}=\frac{8}{7}v_{0}$.

      2. Stoss:        Waggon B $ \rightarrow~$Waggon C

      $ m_{1}=\frac{3}{4}m\qquad m_{2}=\frac{m}{2}\qquad v_{1}=\frac{8}{7}v_{0}\qquad v_{2}=0$

      B: $ v_{1}^{^{\prime}}=\frac{\left( \frac{3}{4}m-\frac{m}{2}\right) \frac
{8}{7}v_{0}}{\frac{3}{4}m+\frac{m}{2}}=\frac{8}{35}v_{0}$

      C: $ v_{2}^{^{\prime}}=\frac{\frac{6}{4}m\frac{8}{7}v_{0}}{\frac{3}{4}%%
m+\frac{m}{2}}=\frac{48}{35}v_{0}$

      Vergleich der Geschwindigkeiten:

      $ v_{A}=v_{1}^{^{\prime}}$ (n.d.1.Stoss)$ <$ $ v_{B}=v_{1}^{^{\prime}}$ (n.d.2.Stoss)$ <$ $ v_{C}=v_{2}^{^{\prime}}$ (n.d.2.Stoss).

      Es finden nur zwei Stösse statt.

      $ \mathbf{v}_{A}\mathbf{=-}\frac{1}{7}\mathbf{v}_{0}\mathbf{\qquad v}%%
_{B}\mat...
...{35}\mathbf{v}_{0}\mathbf{\qquad v}_{C}\mathbf{=}%%
\frac{48}{35}\mathbf{v}_{0}$.

    1. Beim Stoss ist der Mittelpunktabstand $ 2r$:

      $ \sin\alpha_{2}=\frac{b}{2r}\qquad\alpha_{2}=37\degree $

    2. $ \vec{p}_{0}=\vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}$.

    3. Energiesatz:

      $ E_{0}=E_{1}+E_{2}$ mit $ E=\frac{m}{2}v^{2}=\frac{p^{2}}{2m}$ (weil $ p=mv$)

      Wegen $ m_{1}=m_{2}=m$ folgt

      $ p_{0}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}$, d.h., es gilt der Pythagoras und $ \vec{p}%%
_{1}\perp\vec{p}_{2}$.

      $ \alpha_{1}=90\degree -\alpha_{2}=53\degree $.

    4. $ \frac{v_{1}}{v_{0}}=\sin\alpha_{2}\qquad\qquad\frac{v_{2}}{v_{0}}
=\cos\alpha_{2}$

      $ v_{1}=v_{0}\sin\alpha_{2}=6~\centi\metre\per\second$ $ v_{2}=v_{0}\cos\alpha_{2}=8~\centi\metre\per\second$

  6. Bei konstanter Masse ist

    $\displaystyle \vec{a}_1 =\frac{d}{dt}\vec{v}_1 = \frac{d^2}{dt^2}\vec{R}_1 = \f...
...c{F}}{m} = \frac{F_0}{\ell_0
m_1}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)\cos(\omega t)$

    und

    $\displaystyle \vec{a}_2 =\frac{d}{dt}\vec{v}_2 = \frac{d^2}{dt^2}\vec{R}_2 = -\...
...{F}}{m} = -\frac{F_0}{\ell_0
m_2}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)\cos(\omega t)$

    $ \vec{r}_2-\vec{r}_1$ ist konstant, so dass wir integrieren können.

    $\displaystyle \int \cos(\omega t)dt = -\frac{1}{\omega} \sin(\omega t)$

    und

    $\displaystyle -\int \frac{1}{\omega}\sin(\omega t)dt = -\frac{1}{\omega^2} \cos(\omega t)$

    Also ist

    $\displaystyle \vec{R}_1(t) = \vec{r}_1 + \vec{v}_1 t - \frac{F_0}{\ell_0
m_1}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)\cos(\omega t)$

    und

    $\displaystyle \vec{R}_2(t) = \vec{r}_2 + \vec{v}_2 t + \frac{F_0}{\ell_0
m_1}\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)\cos(\omega t)$

    PS: Ursprünglich sollte es heissen $ \frac{d^2}{dt^2}\vec{R}_1(t) = \frac{F_0}{\ell_0
m_1}\left(\vec{R}_2(t)-\vec{R}_1(t)\right)\cos(\omega t)$, aber das wäre zu schwierig gewesen....

  7. Die Antwort lautet c). Das 50-Kilo-Fass wiegt 500 Newton und endet einen Meter höher als zuvor, hat also dann 1m x 500 Newton =500 Newtonmeter Lageenergie. Welche Kraft entlang zwei Meter Rampenlänge ergibt 500 Nm Arbeit? Es müssen 250 Newton sein, denn 2m x 250 N = 500 Nm. Hierzu drei Kommentare:

    1.
    Die meisten Bücher lösen solch ein Problem anders, nämlich wie schon besprochen mithilfe von Vektoren. Um zu sehen, wie Probleme derart gelöst werden, schauen Sie in anderen Büchern nach. Es ist immer ein Gewinn, zu erkennen, dass unterschiedliche Vorgehensweisen dieselbe Schlussfolgerung liefern.

    2.
    Wenn man Füchse und Hasen oder Meter und Newton nicht zusammenzählen darf, weshalb kann man sie dann miteinander malnehmen?

    3.
    Die Idee der schiefen Ebene oder Rampe liegt auch dem Hebel oder der Wippe und dem Flaschenzug zugrunde. Dabei wird die für eine gewisse Arbeitsmenge benötigte Kraft verringert, indem man den Weg, entlang dem die Kraft wirkt, verlängert. Um das Fass 1 m zu heben, braucht es nur halb so viel Kraft, wenn es zweimal so weit (2m) auf der schrägen Rampe bewegt wird. Wenn das Heben des schweren Mannes auf der Wippe um 10 cm erfordert, dass das Kind 30 cm absingt, dann braucht das Kind nur ein Drittel so schwer zu sein wie der Mann. Ähnlich beim Flaschenzug: Um den Motorblock einen Meter zu heben, muss der Mechaniker zwei Meter Seil herabziehen, einen Meter von Seil I und einen Meter von Seil II. Also muss der Mechaniker mit einer Kraft ziehen, die nur halb so gross ist wie das Gewicht des Motorblocks.

  8. Die Antwort lautet c). Wenn alle Fliegen zugleich starten oder landen, mag es einen kleinen Ausschlag auf der Skala der Waage geben, aber wenn sie bloss innerhalb des verschlossenen Glases herumfliegen, ist die Gewichtsanzeige dieselbe wie diejenige, wenn sie auf dem Boden sitzen. Das Gewicht hängt nun mal von der Masse in dem Glas ab und diese ändert sich nicht. Doch wie wird das Gewicht der herumschwirrenden Fliege auf den Glasboden übertragen? Durch Luftbewegungen, besonders die Abwärtsströmung, welche die Flüge der Fliege erzeugen. Doch irgendwann muss diese abwärts strömende Luft auch wieder nach oben kommen. Übt die Luftströmung nicht auf den Deckel der Flasche dieselbe Kraft aus wie auf dem Boden? Nein. Die Luft übt mehr Kraft auf den Boden aus, weil sie schneller strömt, wenn sie auf ihn trifft. Was aber verlangsamt die Luft auf dem Weg von unten nach oben? Reibung. Ohne Reibung könnten die Fliegen gar nicht fliegen.



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Up: PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik  Skript:  PDF-Datei
Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm