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J.  Berechnung der Ableitung in rotierenden Bezugssystemen

Dieser Text bezieht sich auf den Abschnitt 5.2.3. Hier wird ein Beispiel gerechnet. Der Maple Quelltext ist:

> with(LinearAlgebra):  
> with(VectorCalculus):  
> with(tensor):  
> SetCoordinates( ’cartesian’[x,y,z] ):  
>  
>  
> AA := Matrix(3,3,[[cos(omegaz*t), sin(omegaz*t),0],  
>                  [-sin(omegaz*t),cos(omegaz*t),0],  
>                  [0,0,1]]);  
>  
> AAinv := MatrixInverse(AA);  
> omega := <0,0,omegaz>;  
> s :=  <R*cos(3*omegaz*t),R*sin(3*omegaz*t),rz>;  
> sp := convert(MatrixVectorMultiply(AA,s),arctrig);  
> res1 :=diff(s,t);  
> CrossProduct(omega,s);  
> tr1 :=diff(sp,t);  
> tr2 := simplify(MatrixVectorMultiply(AAinv,tr1));  
> res2 := tr2+CrossProduct(omega,s);  
> rr :=simplify(res2-res1);  
>  

Der Mathematica-Quelltext ist

AA = (  cos(tωz )  sin(tωz)  0 )
|                         |
|| -  sin(tωz)  cos(tωz)  0 ||
(      0          0     1 )
AAinv = Simplify[MatrixPower[AA,-1]]
Simplify[AAinv.AA]
ω = {0, 0,ωz}
s = {fx(t), fy(t), fz(t)}
sp = AA.s
res1 = ∂s
---
∂t
cp = ω × s
tr1 = Simplify[    ]
  ∂sp
  ∂t--
tr2 = Simplify[AAinv.tr1]
res2 = cp + tr2
rr = res2 - res1
res3falsch = Simplify[cp + tr1]

Hier ist angenommen worden, dass der Rotationsvektor ω entlang der z-Richtung des Koordinatensystems angeordnet ist. Dann transformiert die Matrix AA einen Vektor aus dem Laborsystem in das rotierende Bezugssystem. AAinv transformiert zurück. s ist der zeitabhängige Ortsvektor. sp ist der Ortsvektor transformiert in das rotierende Bezugssystem. tr1 ist die Ableitung von sp im rotierenden Bezugssystemm tr2 ist tr1 zurücktransformiert in das Laborsystem.

Gleichung (5.15) gilt dann, wenn die Ableitung im rotierenden Bezugssystem zurück nach dem Laborsystem transformiert ist.

       (  cos(ωzt)   sin(ωzt)  0 )
       |                         |
AA  =  ( - sin(ωzt)  cos(ωzt)  0 ) = A
              0         0      1

          (                          )
             cos(ωzt)  - sin (ωzt) 0
AAInv   = |(  sin(ωzt)   cos(ωzt)  0  |) = A -1
                0          0      1

                                             (      )
    (              )                           fx(t)
    |  R cos(3ωzt) |                         || fy(t)||
s = (  R sin(3ωzt) )     allgemein:      s = |( f (t)|)
           rz                                   z

Nach der Transformation ins rotierende Bezugssystem erhält man

                                               (                             )
      (             )                            cos(ωzt)fx(t) + sin(ωzt)fy(t)
      | R cos(2ωzt )|                      ′   || cos(ωzt)fy(t) - sin(ωzt)fx(t)||
sp =  (  R sin(2ωzt) )      allgemein:      s  = |(                             |) .
             rz                                              fz(t)

Die Ableitungen im Laborsystem sind

                                                      ( d-    )
           (  - sin (3ωzt) )                             dtfx(t)
ds-        |   cos(3ω t)  |                     ds-   || ddtfy(t)||
dt =  3ωzR (         z    )     allgemein:      dt =  |( ddtfz(t)|)
                   0

und im rotierenden Bezugssystem (gestrichenes Bezugssystem)

               (             )
                 - sin(2ωzt)
  dsp- = 2ωzR  |(  cos(2ωzt)  |)
   dt
                      0
                                  allgemein:
       (         -d               -d                                         )
  ′    | cos(ωzt)dtfdx(t) + sin(ωzt)dtfdy(t) - ωz sin(ωz)fx(t) + ωz cos(ωzt)fy(t) |
ds- =  ||- sin(ωzt)dtfx(t) + cos(ωzt)dtfy(t) - ωz cos(ωz)fx(t) - ωz sin(ωzt)fy(t)||
 dt    (                               ddtfz(t)                               )

Zurücktransformiert ins Laborsystem mit A-1 ′
ddst- erhält man

           (            )                           (            d-     )
           | - sin(3ωzt)|                           |  ωzfy(t) + dtfdx(t) |
∂s- = 2ω R ||  cos(3ωzt) ||      allgemein:      ∂s-=  || - ωzfx(t) + dtfy(t)||
∂t      z  (      0     )                     ∂t    (       ddtfz (t)      )

Das Kreuzprodukt ist

              (- sin(3ωzt))                              ( - ωzfy (t))
              | cos(3ω t) |                              |  ω f (t)|
ω  × s = ωzR  ||        z  ||      allgemein:      ω × s =  ||   z x   ||
              (     0     )                              (    0    )

und

∂s-
∂t +  ω × s
          ( - sin(3ω  t))        ( - sin(3ω t))         ( - sin (3 ω t))
          |         z |        |         z  |         |         z  |
  = 2ωzR  || cos(3ωzt )||  + ωzR ||  cos(3ωzt) || = 3 ωzR ||  cos(3ωzt) || = ds-
          (     0     )        (      0     )         (      0     )    dt


                                allgemein:
                    (  ωzfy(t) + dfx(t) )    (- ωzfy(t))    ( dfx (t))
     ∂s             | - ω f (t) + dtdf (t)|   | ω f (t) |    | ddtf  (t)|    ds
     --- + ω × s =  ||    z xd-   dt y   || +  ||  z x    || =  || ddt y  || =  ---
      ∂t            (       dtfz(t)      )    (    0    )    ( dtfz(t))    dt

so dass sowohl im Spezialfall wie auch allgemein gilt

ds    ∂s
--- = ---+  ω × s
dt    ∂t

gilt. Wäre ds′
-dt nicht ins Laborsystem zurücktransformiert worden, hätte man

 ∂s
 ---+  ω × s
 ∂t(                                                                            )
     ddtfx(t) cos(tωz ) - ωzfx (t) sin(tωz) + ddtfy(t)sin (tωz ) + ωzfy (t)(cos(tωz) - 1)
  || - d-fx(t) sin(tωz) + fx(t)ωz(1 - cos(tωz )) +-dfy(t)cos(tωz) - ωzfy(t)sin(tωz )||
= |(   dt                              -df (t) dt                               |)
                                      dt z
(J.1)

erhalten, was nicht das Resultat im Laborsystem ist.


Wenn mit Vektoren in der Darstellung eines Koordinatensystems gerechnet wird, müssen alle Vektoren im gleichen Koordinatensystem dargestellt werden!



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