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H.  Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten

Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten

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Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem

Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten x, y und z, andererseits die Kugelkoordinaten r, ϕ, und θ. Am Punkt P definieren wir ein mitgeführtes kartesisches Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der Zeit ab! Beide Koordinatensysteme sind jeweils durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben, die jeweils gegenseitig orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen System ex, ey und ez und im mitgeführten kartesischen System er, eϕ und eθ.

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Betrachtung in der xy-Ebene für eϕ

Wir betrachten zuerst die xy-Ebene. Die Projektion des Ortsvektors r auf diese Ebene nennen wir ρ. Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)

eϕ = - sin(ϕ)ex + cos(ϕ)ey (H.1)
ρ = cos(ϕ)ex + sin(ϕ)ey (H.2)

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Betrachtung in der ρz-Ebene zur Bestimmung von er und eθ

Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren ρ und ez. In dieser Darstellung ist er radial und eθ zeigt in die Richtung der positiven θ-Koordinate. Dadurch ist auch er, eθ und eϕ in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem. Aus der Abbildung liest man

er = cos(θ)ez + sin(θ)ρ (H.3)
= cos(θ)ez + sin(θ)(cos(ϕ )ex + sin(ϕ)ey )
= sin(θ) cos(ϕ)ex + sin(θ) sin(ϕ)ey + cos(θ)ez
eθ = - sin(θ)ez + cos(θ)ρ (H.4)
= - sin(θ)ez + cos(θ)(cos(ϕ )ex + sin(ϕ )ey )
= cos(θ) cos(ϕ)ex + cos(θ) sin(ϕ)ey - sin(θ)ez

Dabei merken wir uns, dass θ und ϕ Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassend erhalten wir

er = sin(θ) cos(ϕ)ex + sin(θ) sin(ϕ)ey + cos(θ)ez (H.5)
eθ = cos(θ) cos(ϕ)ex + cos(θ) sin(ϕ)ey - sin(θ)ez (H.6)
eϕ = - sin(ϕ)ex + cos(ϕ)ey (H.7)

Wir wissen, dass ex, ey und ez ein orthogonales Koordinatensystem ist. Also ist insbesondere 1 = ex·ex = ey·ey = ez·ez und 0 = ex·ey = ey·ezx = ez·ex. Wenn wir mit diesem Wissen er·er, eθ·eθ und eϕ·e sowie er·eθ, eθ·eϕ und eϕ·er berechnen, können wir zeigen, dass auch das Koordinatensystem er, eθ und eϕ ein orthogonales Koordinatensystem ist.

Wenn wir dieses Gleichungssystem nach ex, ey und ez auflösen, erhalten wir die Umkehrrelationen

ex = sin(θ) cos(ϕ)er + cos(θ) cos(ϕ)eθ - sin(ϕ)eϕ (H.8)
ey = sin(θ) sin(ϕ)er + cos(θ) sin(ϕ)eθ + cos(ϕ)eϕ (H.9)
ez = cos(θ)er - sin(θ)eθ (H.10)

Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.

 C.4  Vektoren
  C.4.1  Gesetze


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