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4.2  Erhaltungssätze und Erhaltungsgrössen

4.2.1  Impulserhaltung

Wir nennen die Grösse

pi = mi ·vi
(4.1)

den Impuls des i-ten Massenpunktes.

Allgemein gilt

∑n          ∑n       ′
   mi ·vi =     mi·v i
i=1          i=1
(4.2)

Das heisst:

In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgrösse.

Dabei wird jede Impulskoordinate einzeln erhalten. In kartesischen Koordinatensystemen sind dies die Impulse in die x-, y- und z-Richtung. In Kugelkoordinaten sind dies die Impulse in der r-, 𝜃- und ϕ-Richtung. Im Detail besprechen wir die Konsequenzen der Impulserhaltung im Abschnitt 4.4.

4.2.2  Kinetische Energie

Wir nennen die Grösse

E    =  -1--·p2  = mi-·v2
 kin,i   2mi    i    2     i
(4.3)

die kinetische Energie des i-ten Massenpunktes.

Allgemein gilt

∑n            ∑n
   --1-·p2  =     -1--·p ′2
i=12mi    i   i=1 2mi    i
(4.4)

4.2.3  Potentielle Energie

Unter potentieller Energie verstehen wir die Möglichkeit, Arbeit zu leisten, wobei wir die Energie, die in der Bewegung ist, ausklammern. Arbeit im physikalischen Sinne ist

dW   = F ext·ds
(4.5)

Wir betrachten also nur die Komponente der Kraft Fext, die entlang des Wegelementes ds liegt.

Nun ist die Kraft, die das System aufbringt, die Kraft, gegen die wir arbeiten müssen, F = Fext. Die im System gespeicherte Energie ist deshalb

dW  =  F ext·ds  = − F ·ds
(4.6)

Damit ist die potentielle Energie definiert durch

         ∫s2
Epot = −    F ·ds
         s1
(4.7)

Einheit der potentiellen Energie : 1Joule = 1Nm

4.2.3.1. Kraftfelder


Versuch zur Vorlesung:
Energieerhaltung (Versuchskarte M-093)




Link zur Vorlesung:
(Bahn eines geworfenen Balles)


Definition eines Kraftfelds:
Ein Kraftfeld ist ein Gebiet G, in dem die Kraft F existiert. F hängt dabei eindeutig vom Ort r ab.

F =  F (r)
(4.8)

Beispiel: Gravitation, Magnetfeld, Feder

Kraftfelder können zeitabhängig sein.

4.2.3.2. Feldlinien

Feldlinien rFl(s) sind Kurven, die in jedem Punkt parallel zu F(r (s))sind.

__________________________________________________________________________

PIC

Feldlinien

_____________________________________________________________________

pict

Beispiel Gummiband
Die Länge sei l0
Das Feldlinienbild ergibt sich aus F = k(l − l0)

__________________________________________________________________________

PIC

Gummiband als Kraftfeldquelle

_____________________________________________________________________

4.2.4  Konservative Kraftfelder

Ein Kraftfeld in einem Definitionsgebiet G ist kommutativ, wenn die Arbeit für alle in G liegenden Wege zwischen zwei beliebigen Punkten A G und B G gleich ist, das heisst unabhängig vom Weg. Die Arbeit ist dann eindeutig gegeben.

  • Arbeit verschwindet auf jedem geschlossenen Weg
  • Arbeit ist unabhängig vom Weg
  • Das Kraftfeld ist wirbelfrei
  • Es existiert eine potentielle Energie
)
|||
||||
||||
}
|| äquivalent
||||
||||
|)

4.2.4.1. Arbeit auf einem geschlossenen Weg

Definition: Sei F(r) statisch, das Gebiet G sei einfach zusammenhängend

__________________________________________________________________________

PIC

Berechnung der potentiellen Energie auf einer geschlossenen Bahn b in einem einfach-zusammenhängenden Gebiet G.

_____________________________________________________________________

F(r ) ist konservativ, wenn

                                   ∮

W  (A, A,b) = W  (r1,r1,b) = −           F (r) dr = 0
                               r1auf Bahn b
(4.10)

unabhängig von b gleich null ist

4.2.4.2. Unabhängigkeit der Arbeit vom Weg

__________________________________________________________________________

PIC

Unabhängigkeit der potentiellen Energie vom Weg.

_____________________________________________________________________

Wenn die Arbeit unabhängig vom Weg sein soll, muss die Differenz der Arbeit entlang zeier verschiedener Wege zwischen zwei Punkten null sein.

pict

wegen der Tatsache, dass in einem konservativen Kraftfeld die Arbeit auf jedem geschlossenen Weg null ist.

4.2.4.3. Wirbelfreiheit konservativer Kraftfelder *

__________________________________________________________________________

PIC

Wirbelfreiheit konservativer Felder.

_____________________________________________________________________

Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn

rot F  (r ) = 0
(4.12)

Nach Stokes gilt

 ∮                ∫

   F  (r)d r =        rot F (r )·nda  =  0
r1,b            Fläche s
(4.13)

da b beliebig ist und auf einer beliebigen Bahn b das Linienintegral entlang eines geschlossenen Weges verschwindet, muss rot F = 0 gelten.

4.2.4.4. Potentielle Energie und Arbeitsvermögen

Die potentielle Energie ist eindeutig definiert, da in einem konservativen Kraftfeld W unabhängig von b ist.

Potentielle Energie und Arbeit der Feldkraft Fsys

Wsys (r1,r2,b) = Epot(r1) − Epot(r2)
(4.14)

Wenn man die Arbeit durch die externe Kraft Fext = Fsys betrachtet, bekommt man

Wext (r1,r2,b) = − [Epot(r1) − Epot(r2)]

Epot ist das Arbeitsvermögen der Feldkraft.

________________________________________________________________

PIC

Berechnung des Arbeitsvermögens der Feldkraft.

_____________________________________________________________________

Beweis:

Epot sei bezüglich r0 definiert. Das heisst, dass

             ∫r
Epot(r ) = −   F sys·ds
            r0

ist. Die Arbeit, die das System leistet (nicht die Arbeit gegen die Feldkraft!) ist

pict

Beispiel: Die Gravitation in Erdnähe wird durch das Kraftgesetz

F =  mg  = const
(4.16)

beschrieben.

__________________________________________________________________________

PIC

Koordinatensystem zur Berechnung der Arbeit des Gravitationsfeldes

_____________________________________________________________________

Die dazugehörige potentielle Energie ist

          z∫          ∫z
Epot = −    F dz = −   − mgdz  =  − F z = mgz
          0          0
(4.17)

mgh ist nicht die Definition der potentiellen Energie, sondern ein Spezialfall.

4.2.5  Energieerhaltung mechanischer Systeme *



Versuch zur Vorlesung:
Energieerhaltung (Versuchskarte M-093)


Wir betrachten ein System, dessen Energie konstant ist.

E   =  E   + E    + E      = konstant
  tot    kin    pot    innen
(4.18)

Dabei ist Einnen die noch unspezifizierte innere Energie eines Teilchens. Für Massenpunkte ist Einnen = 0.

Die Konstanz der gesamten Energie Etot bedeutet, dass deren zeitliche Ableitung null sein muss

dEtot =  0
  dt
(4.19)

Diese Gleichung ist ein Ausdruck des Hamiltonschen Prinzips, dass die Gesamtenergie konstant sei. Im Einzelnen hat man

    dE       dE      dE
0 = ---kin-+  --pot+  ---innen-
      dt      dt       dt
(4.20)

Nehmen wir nun an, dass die innere Energie konstant sei (z.B. Massenpunkte). Dann ist

    dE       dE
0 = ---kin-+  ---pot-
      dt      dt
(4.21)

Die Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt. Als Beispiel nehmen wir an, dass

          (          )      (                          )
E   =  E   1 − e−r2∕r20  = E    1 − e−(rx(t)2+ry(t)2+rz(t)2)∕r20
  pot    0                  0

sei. Die kinetische Energie ist entsprechend

           (      )2        ⌊(       )2   (        )2   (       )2⌋
       1-    ∂r-(t)-     1-  ⌈  ∂rx(t)-      ∂ry-(t)       ∂rz (t) ⌉
Ekin = 2 m    ∂t     =  2m       ∂t     +     ∂t      +     ∂t

Aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält man dann

          [ (        )              (        )             (        )         ]
      1        d        d2            d        d2            d        d2
  0 = -m   2  --rx (t)  --2 rx(t) + 2 -- ry (t) --2ry (t) + 2 --rz (t) --2rz (t)
      2       dt       dt            dt        dt            dt    2  dt
     [                                              ]  − (rx(t))2+(ry(t)2)+(rz(t))2-
+E    2r (t)-d r (t) + 2r (t) d-r (t) + 2r (t)-dr  (t)  e---------r0---------
   0    x   dt  x       y    dt y        z   dt z              r02
     [(        )   2        (        )   2        (        )  2      ]
 = m    d-rx (t)  -d-rx (t) +  d-ry (t) d--ry (t) +   d-rz (t) d--rz (t)
        dt       dt2          dt       dt2          dt       dt2
     [                                              ]    (rx(t))2+(ry(t))2+(rz(t))2-
             d               d                d       e−        r02
+E0   2rx(t)-- rx(t) + 2ry (t)--ry (t) + 2rz (t)-rz (t) -----------2---------
            dt               dt              dt                r0
(4.22)

Diese Gleichung kann auch mit Vektoren geschrieben werden. Wir setzen

    (      )                (   d2    )
       ddtrx                  |  dt2rx |
˙r = |(  ddtry |)            ¨r = |(  -d22ry |)
       dr                      dtd2-r
       dtz                     dt2 z

und erhalten

             2E         r2-
0 = m ˙r· ¨r + ---0r· ˙re− r02
             r02

Für r0 kann die Bewegungsgleichung als

          2E0   − r2-
0 = m ¨r + --2-re  r02
          r0
(4.23)

geschrieben werden.

4.2.6  Arbeit und Leistung *



Versuch zur Vorlesung:
Arbeit an der schiefen Ebene (Versuchskarte M-094)


Beispiel Hebel

___________________________________________________________________________

PIC PIC
Δy = Δx Δy = 2Δx
F0 = mg · F0 = 1
2mg
Δy· F 0 = Δx·mg Δy·F0 = mgΔx
Kräftegleichgewicht beim Hebel

_____________________________________________________________________

Die Grösse Weg × Kraft, also die Arbeit, wird beim Hebel erhalten.

pict

dabei ist ds der Weg entlang der Bahn!

also

pict

Beispiel:

Kreisbahn azentripetal dr W = 0

Einheit der Arbeit 1  2
m-s2kg = 1 Joule  = 1J = 1Nm = 36010000kWh

Im allgemeinen hängt die Arbeit W von der durchlaufenden Bahn r(s) ab.

Beispiel:

Luftwiderstand

pict

dann ist

         ∫s0         s∫0
WLuft  =   bv2ds =    2as·b  ds = ab·s2
         0          0

Gleitreibung

pict

das heisst, die Arbeit ist, wie erwartet, proportional zur zurückgelegten Strecke.

Bei der Berechnung der Arbeit spielt Zeit keine Rolle. Wenn wir die Zeit, in der eine Arbeit geleistet wird, berücksichtigen wollen, sprechen wir von Leistung. Sie ist durch

P =  dW--
     dt
(4.28)

oder

     dW     F ·dr        dr
P =  ----=  -------= F · ---=  F (t)·v  (t)
      dt      dt         dt
(4.29)

definiert.

Beweis:

pict

Die Einheit der Leistung ist

                  N-m-    m2-
1W  att = 1W  = 1  s  =  1 s3 kg
(4.31)

4.2.7  Potentielle Energie und Kräfte

Es gilt

F  (r ) = − grad  (Epot (r))
(4.32)

Was bedeutet dies?

Zuerst betrachten wir die Definition des Gradienten:

         (-∂)
         |∂x∂|
grad  =  (∂y∂)
          ∂z
(4.33)

Beweis:

pict

Andererseits haben wir

pict

Also ist die Behauptung gezeigt.



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