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4.2  Erhaltungssätze und Erhaltungsgrössen

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 30. 10. 2008: PDF

4.2.1  Impulserhaltung


Wir nennen die Grösse
pi = mi ·vi
(4.1)

den Impuls des i-ten Massenpunktes.


Allgemein gilt

∑n          ∑n       ′
   mi·vi  =    mi ·v i
i=1          i=1
(4.2)

Das heisst:


In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgrösse.

Dabei wird jede Impulskoordinate einzeln erhalten. In kartesischen Koordinatensystemen sind dies die Impulse in die x-, y- und z-Richtung. In Kugelkoordinaten sind dies die Impulse in der r-, θ- und ϕ-Richtung. Im Detail besprechen wir die Konsequenzen der Impulserhaltung im Abschnitt 4.4.

4.2.2  Kinetische Energie


Wir nennen die Grösse
        --1-    2   mi-   2
Ekin,i = 2m  ·p  i = 2  ·v i
           i
(4.3)

die kinetische Energie des i-ten Massenpunktes.


Allgemein gilt

 n             n
∑  -1--   2   ∑  --1-   ′2
   2mi ·p i =    2mi ·p i
i=1            i=1
(4.4)

4.2.3  Potentielle Energie

Unter potentieller Energie verstehen wir die Möglichkeit, Arbeit zu leisten, wobei wir die Energie, die in der Bewegung ist, ausklammern. Arbeit im physikalischen Sinne ist

dW  =  F ext·ds
(4.5)

Wir betrachten also nur die Komponente der Kraft Fext, die entlang des Wegelementes ds liegt.

Nun ist die Kraft, die das System aufbringt, die Kraft, gegen die wir arbeiten müssen, F = -Fext. Die im System gespeicherte Energie ist deshalb

dW  = F    ·ds =  - F ·ds
        ext
(4.6)

Damit ist die potentielle Energie definiert durch


          s∫2
E    = -    F ·ds
  pot
         s1
(4.7)


Einheit der potentiellen Energie : 1Joule = 1Nm

4.2.3.1. Kraftfelder

PIC Versuch zur Vorlesung: Energieerhaltung (Versuchskarte M-093)

PIC Link zur Vorlesung:(Bahn eines geworfenen Balles)

Definition eines Kraftfelds:
Ein Kraftfeld ist ein Gebiet G, in dem die Kraft F existiert. F hängt dabei eindeutig vom Ort r ab.

F  = F  (r)
(4.8)

Beispiel: Gravitation, Magnetfeld, Feder

Kraftfelder können zeitabhängig sein.

4.2.3.2. Feldlinien

Feldlinien rFl(s) sind Kurven, die in jedem Punkt parallel zu F(r(s))sind.

PIC

Feldlinien

F(rF l(s)) = F(rF l(s )) ·τFl(s)
τFl = drF-l
 ds (4.9)

Beispiel Gummiband
Die Länge sei l0
Das Feldlinienbild ergibt sich aus F = k(l - l0)

PIC

Gummiband als Kraftfeldquelle

4.2.4  Konservative Kraftfelder

Ein Kraftfeld in einem Definitionsgebiet G ist kommutativ, wenn die Arbeit für alle in G liegenden Wege zwischen zwei beliebigen Punkten A G und B G gleich ist, das heisst unabhängig vom Weg. Die Arbeit ist dann eindeutig gegeben.

  • Arbeit verschwindet auf jedem geschlossenen Weg
  • Arbeit ist unabhängig vom Weg
  • Das Kraftfeld ist wirbelfrei
  • Es existiert eine potentielle Energie
)
||||
||||
||||
|}
|äquivalent
||||
||||
||||
)

4.2.4.1. Arbeit auf einem geschlossenen Weg

Definition: Sei F(r) statisch, das Gebiet G sei einfach zusammenhängend

PIC

Berechnung der potentiellen Energie auf einer geschlossenen Bahn b in einem einfach-zusammenhängenden Gebiet G.

F(r) ist konservativ, wenn

                                   ∮

W  (A,A, b) = W  (r1, r1,b) = -           F (r)dr =  0
                              r1auf Bahn b
(4.10)

unabhängig von b gleich null ist

4.2.4.2. Unabhängigkeit der Arbeit vom Weg

PIC

Unabhängigkeit der potentiellen Energie vom Weg.

Wenn die Arbeit unabhängig vom Weg sein soll, muss die Differenz der Arbeit entlang zeier verschiedener Wege zwischen zwei Punkten null sein.

W(r1,r2,b1) - W(r1,r2,b2) =
W(r1,r2,b1) + W(r2,r1,b2) =
W(r1,r1,b1 + b2) = 0 (4.11)

wegen der Tatsache, dass in einem konservativen Kraftfeld die Arbeit auf jedem geschlossenen Weg null ist.

4.2.4.3. Wirbelfreiheit konservativer Kraftfelder *

PIC

Wirbelfreiheit konservativer Felder.

Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn

rot F (r) = 0
(4.12)

Nach Stokes gilt

∮                ∫
   F (r )d r =        rot F (r) ·nda  = 0
r1,b            Fläche s
(4.13)

da b beliebig ist und auf einer beliebigen Bahn b das Linienintegral entlang eines geschlossenen Weges verschwindet, muss rot F = 0 gelten.

4.2.4.4. Potentielle Energie und Arbeitsvermögen

Die potentielle Energie ist eindeutig definiert, da in einem konservativen Kraftfeld W unabhängig von b ist.

Potentielle Energie und Arbeit der Feldkraft Fsys

Wsys (r1,r2, b) = Epot (r1) - Epot (r2)
(4.14)

Wenn man die Arbeit durch die externe Kraft Fext = -Fsys betrachtet, bekommt man

Wext (r1, r2,b) = - [Epot (r1) - Epot (r2)]


Epot ist das Arbeitsvermögen der Feldkraft.

PIC

Berechnung des Arbeitsvermögens der Feldkraft.

Beweis:

Epot sei bezüglich r0 definiert. Das heisst, dass

            ∫r
Epot(r) = -    F sys·ds

            r0

ist. Die Arbeit, die das System leistet (nicht die Arbeit gegen die Feldkraft!) ist

W(r1,r2, b) = r1,br2 Fsys(r ) dr
= r1,b1r0 Fsys(r) dr + r0,b2r2 Fsys(r ) dr
= - r0,b1r1 Fsys(r ) dr + r0,b2r2 Fsys(r ) dr
= Epot(r )
  1 - Epot(r  )
   2 (4.15)

Beispiel: Die Gravitation in Erdnähe wird durch das Kraftgesetz

F  = mg  =  const
(4.16)

beschrieben.

PIC

Koordinatensystem zur Berechnung der Arbeit des Gravitationsfeldes

Die dazugehörige potentielle Energie ist

         ∫z          ∫z
E    = -    Fdz =  -   - mgdz  = - F z = mgz
  pot
         0           0
(4.17)


mgh ist nicht die Definition der potentiellen Energie, sondern ein Spezialfall.

4.2.5  Energieerhaltung mechanischer Systeme *

PIC Versuch zur Vorlesung: Energieerhaltung (Versuchskarte M-093)

Wir betrachten ein System, dessen Energie konstant ist.

Etot = Ekin + Epot + Einnen = konstant
(4.18)

Dabei ist Einnen die noch unspezifizierte innere Energie eines Teilchens. Für Massenpunkte ist Einnen = 0.

Die Konstanz der gesamten Energie Etot bedeutet, dass deren zeitliche Ableitung null sein muss

dE
---tot = 0
  dt
(4.19)

Diese Gleichung ist ein Ausdruck des Hamiltonschen Prinzips, dass die Gesamtenergie konstant sei. Im Einzelnen hat man

     dEkin-  dEpot-   dEinnen-
0 =   dt   +   dt  +    dt
(4.20)

Nehmen wir nun an, dass die innere Energie konstant sei (z.B. Massenpunkte). Dann ist

0 = dEkin-+ dEpot-
      dt      dt
(4.21)

Die Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt. Als Beispiel nehmen wir an, dass

          (           )      (                          )
Epot = E0  1 - e- r2∕r20 =  E0  1 - e-(rx(t)2+ry(t)2+rz(t)2)∕r20

sei. Die kinetische Energie ist entsprechend

           (      )2        ⌊(       )2   (        )2   (       )2⌋
       1-    ∂r-(t)-     1-  ⌈  ∂rx(t)-      ∂ry-(t)-      ∂rz-(t)  ⌉
Ekin = 2 m    ∂t     =  2m       ∂t     +     ∂t      +     ∂t

Aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält man dann

    1   [ (  d     )  d2          ( d      ) d2          ( d      ) d2      ]
0 = -m   2  --rx (t)  --- rx(t) + 2 -- ry (t) ---ry (t) + 2 --rz (t) ---rz (t)
    2       dt       dt2           dt        dt2           dt       dt2
      [                                              ]  - (rx(t))2+(ry(t))2+(rz(t))2-
              d               d                d       e         r02
+  E0  2rx(t)dt rx(t) + 2ry (t) dtry (t) + 2rz (t)dtrz (t)--------r-2---------
        [(        )            (        )            (       )   0      ]
           d-       -d2          d-       d2-         -d        d2-
   =  m    dtrx (t)  dt2rx (t) +   dtry (t) dt2ry (t) + dt rz (t) dt2rz (t)
                                                              2     2     2
      [                                              ]  - (rx(t))-+(ryr(t0)2)+(rz(t))-
+  E0  2rx(t)-d rx(t) + 2ry (t) d-ry (t) + 2rz (t)-d rz (t) e-----------------
             dt               dt              dt                r02
(4.22)

Diese Gleichung kann auch mit Vektoren geschrieben werden. Wir setzen

     ( -d   )                (  d2-  )
     | dtdrx |                |  ddt22rx |
r˙=  || dtry ||            ¨r = ||  dt2ry||
     ( ddtrz )                |(  d22rz|)
                                dt

und erhalten

              2E0      --r2
0 = m r˙·r¨+  --2-r· ˙re r02
              r0

Für ˙r 0 kann die Bewegungsgleichung als

           2E0-  --r22
0 =  mr¨+  r 2 re r0
            0
(4.23)

geschrieben werden.

4.2.6  Arbeit und Leistung *

PIC Versuch zur Vorlesung: Arbeit an der schiefen Ebene (Versuchskarte M-094)

Beispiel Hebel

PIC PIC
Δy = Δx Δy = 2Δx
F0 = mg · F0 = 12mg
Δy· F 0 = Δx·mg Δy·F0 = mgΔx
Kräftegleichgewicht beim Hebel

Die Grösse Weg × Kraft, also die Arbeit, wird beim Hebel erhalten.

dW = F·dr (4.24)
W = s0s1 Fdr = W(s )
  1 - W(s )
  0 = s0S1 F(r (s)) ·τ (s) ds (4.25)

dabei ist ds der Weg entlang der Bahn!

also

F Weg W = F·s (4.26)
F Weg⇒W = 0! (4.27)

Beispiel:

Kreisbahn azentripetal dr W = 0

Einheit der Arbeit 1 2
msk2g = 1 Joule  = 1J = 1Nm = 36010000kWh


Im allgemeinen hängt die Arbeit W von der durchlaufenden Bahn r(s) ab.

Beispiel:

Luftwiderstand

F = bv2
v(s) = √ ----
  2as

dann ist

         s∫0        ∫s0
             2                         2
WLuft =    bv ds =    2as·b ds =  ab·s
         0         0

Gleitreibung

FG = -FG·τ(s)
W(r1,r2,b) = s2s1 (- F G) τb(s) ds
= FG s1S2 τb·τbds
= FG s2S1 ds
= FG(s2 - s1)

das heisst, die Arbeit ist, wie erwartet, proportional zur zurückgelegten Strecke.

Bei der Berechnung der Arbeit spielt Zeit keine Rolle. Wenn wir die Zeit, in der eine Arbeit geleistet wird, berücksichtigen wollen, sprechen wir von Leistung. Sie ist durch

P  = dW--
      dt
(4.28)

oder

P  = dW-- = F-·dr--=  F · dr-= F  (t) ·v (t)
      dt      dt          dt
(4.29)

definiert.

Beweis:

W(t0,t) = W(r (t0),r (t)) = r(t0)r(t)F(t) dr(t)
= r(t0)r(t)F(t) dr (t)
------
  dt·dt = r(t0)r(t)F(t) v(t) dt = r(t0)r(t)P(t) dt (4.30)

Die Einheit der Leistung ist

                 N-m-     m2-
1W  att = 1W  = 1  s  =  1s3 kg
(4.31)

4.2.7  Potentielle Energie und Kräfte

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 04. 11. 2008: PDF
Seminar vom 10. 11. 2008: Aufgabenblatt 04 (HTML oder PDF)

Es gilt

F (r) = - grad  (E   (r))
                   pot
(4.32)

Was bedeutet dies?

Zuerst betrachten wir die Definition des Gradienten:

         ( -∂)
         | ∂x∂|
grad   = ( ∂y)
           ∂∂z
(4.33)

Beweis:

d(Epot(r)) = ∂Epot
------
 ∂xdx + ∂Epot
------
 ∂ydy + ∂Epot
------
 ∂zdz
= (       )
   ∂E∂pxot
||  ∂Epot||
(  ∂∂Eypot)
    ∂z(     )
  dx
|( dy  |)

  dz = ⌊(     )     ⌋
    ∂∂x
|⌈|(  -∂ |) Epot|⌉
    ∂y∂
    ∂z(     )
   dx
|(  dy |)

   dz
= [grad  Epot] ·dr (4.34)

Andererseits haben wir

d(Epot (r)) = d⌊             ⌋
   ∫r
⌈-   F  (r)dr ⌉
   r0
= -F(r) dr (4.35)

Also ist die Behauptung gezeigt.



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