©2005-2014 Ulm University, Othmar Marti, PIC
[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][ePub-Datei][Andere Skripte]

4.3  Dynamik

Die Dynamik stellt die Frage nach der Ursache der Bewegung. In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass Bewegung wird durch Kräfte hervorgerufen wird.

4.3.1  Das Prinzip vom Parallelogramm der Kräfte

auch genannt 4. Newtonsches Gesetz


Kräfte sind Vektoren

PIC

Reibung

Eine Kraft, die am Punkt P angreift, verhält sich wie ein ortsgebundener Vektor.

                       )
Angriffspunkt      P    |}
   Betrag         F    | Kraft!
  Richtung     e =  FF- )

PIC Versuch zur Vorlesung: Kräfteparallelogramm (Versuchskarte M-012)

Addition von Kräften

               ∑
F total(in P ) =    F i(in P )
                i
(4.1)

Nur Kräfte, die an ein und demselben Punkt P angreifen können addiert werden.

Beispiel:

PIC

Grafische Addition von Kräften

Die Kräfte, die im Punkt P angreifen sind im Gleichgewicht, wenn ihre Summe 0 ist.

               ∑
F total(in P ) =    F i(in P) = 0
                i
(4.2)

Beispiel

PIC

Kräftegleichgewicht

F 1 + F 2 + F 3 = 0

Zerlegung von Kräften

Beispiel: Welche Kräfte wirken auf einen Kranarm?

PIC

Kräfte an einem Kranarm. Die Kraft FBiegung verbiegt den Arm.

PIC Versuch zur Vorlesung: Kran (Versuchskarte M-173)

Bemerkung:
Bei welcher Kombination von Kräften und Richtungen kippt der Kran nach oben weg?

Beispiel:

Pendel

PIC Versuch zur Vorlesung: Fadenpendel (Versuchskarte M-077)

PIC

Kräfte an einem Pendel. Der Faden des Pendels kann nur Kräfte entlang des Fadens aufbringen. Deshalb konstruiert man die rücktreibende Kraft, indem man die Fadenlinie durch die Masse verlängert. Dann zeichnet man eine Senkrechte auf die verlängerte Fadenlinie vom Ende der Kraft Fg. Der Schnittpunkt definiert die Fadenkraft FFaden und die rücktreibende Kraft Frücktreibend.

Dieses Problem lässt sich viel einfacher mit einer Energiebetrachtung lösen.

4.3.2  Das Reaktionsprinzip

PIC Versuch zur Vorlesung: Reaktionsprinzip (Versuchskarte M-141)

auch genannt das 3. Newtonsches Gesetz

Übt der Körper 1 die Kraft F12 auf der Körper 2 aus, so übt der Körper 2 die Kraft F21 auf den Körper 1 aus.

 F     =   - F
 ◟-◝1◜-2◞      ◟---◝◜2---1◞
actio      reactio
(4.3)

Beispiel Feder

PIC

Kräfte an einer Feder

F A = k ·x  = - F r

-Fr ist die Reaktion der Feder auf die angelegte Kraft.

4.3.3  Grundgesetz der Dynamik

auch genannt 2. Newtonsches Gesetz

Eine bewegte Masse kann durch ihren Impuls charakterisiert werden.

p = m ·v
(4.4)

Einheit des Impulses: mkg
--s-

Dabei ist m die „träge“ Masse (im Gegensatz zur „schweren“ Masse)

Das 2. Newtonsche Gesetz lautet

F =  dp- = -d (m ·v ) = dm-·v  + m dv- = dm--v + m ·a
     dt    dt           dt         dt     dt
(4.5)

Die Kraft entspricht also einer Impulsänderung.

Die Einheit der Kraft: 1 Newton = 1 N = 1 mkgs-2

Bei einer Bewegung ohne äussere Kraft gilt:

          dp
F  = 0 =  dt-⇒  p = const
(4.6)

Ein konstanter Impuls heisst, dass entweder die Geschwindigkeit v mit abnehmender Masse zunimmt, oder, im Spezialfall dass m konstant ist, dass die Geschwindigkeit konstant ist (Trägheitsgesetz)

m  = const ⇒a  =  dv- = 0
                   dt
(4.7)

Wenn die Kraft null ist, also p˙ = 0 oder p = konstant und gleichzeitig noch m = konstant ist, wird dieses System Inertialsystem genannt. Diese Konsequenz aus dem Grundgesetz der Dynamik wird oft auch 1. Newtonsches Gesetz genannt.

4.3.4  Integralform des Kraftgesetzes

Für einfache Probleme sind Differentialgleichungen gut. Bei komplizierteren Problemen und bei numerischen Verfahren sind Integrale aber viel geeigneter.

Frage: ein Ball fällt auf den Boden

PIC PIC

Fallender Ball springt vom Boden hoch.

aus ddpt = F

folgt dp = Fdt

und

 p2       t2
 ∫        ∫
   d p =    F dt = p2 - p1 = p (t2) - p (t1)
p1       t1
(4.8)

Die Grösse

                 t∫2
p (t2) - p (t1) =  F dt
                 t1
(4.9)

heisst Kraftstoss. Der Kraftstoss kann zur Beschreibung rascher Vorgänge dienen.

Beispiel: ein Ball trifft mit der Geschwindigkeit v0 auf dem Boden auf. Er berührt den Boden während der Aufschlagzeit τ.

PIC

Kraft während des Aufpralls eines Balls.

Wir nehmen an, dass während dem Aufschlag die Kraft sich wie F(t) = -At2 + F 0 verhält. Aus F(t) = 0 kann man die halbe Kontaktzeit τ bestimmen

     ∘ ---
τ-     F0-
2 =    A
(4.10)

Also ist

Δp = 2mv0 (4.11)
= -τ2τ2  (    ′2     )
 - At   + F0dt
=   1    3     ||
- --At′ + F0t||
  3-τ2τ
2
= F0τ --1-
123
= F0τ --4-
12F0-
τ 2τ3
= 2
--
3F0τ

Wir erhalten

F  =  3mv0--
  0     τ
(4.12)

das heisst, die Kraft wird desto grösser, je kürzer die Kontaktzeit ist. Eine Anwendung ist die Knautschzone bei Autos: je länger die Kontaktzeit ist, das heisst, je mehr die Kühlerhaube deformiert werden kann, desto kleiner sind die Kräfte auf die Insassen.

4.3.5  Reibung

Beobachtung: jegliche Bewegung kommt zum Stillstand.

PIC

Reibung

PIC Versuch zur Vorlesung: Reibung (Versuchskarte M-170)

Die Gewichtskraft auf den Klotz ist Fg = m·g.

Die Kraft zum Starten der Bewegung ist

F    = μ   F
 HR     HR   g
(4.13)

Dabei ist FHR die Haftreibungskraft und μHR der Haftreibungskoeffizient.

Um m in gleichförmiger Bewegung zu halten brauchen wir die Kraft

FGR  = μGRFg
(4.14)

Hier is μGR der Gleitreibungskoeffizient und FGR die Gleitreibungskraft. Es gilt

μGR  ≤ μHR
(4.15)

PIC PIC

Links: Reibungsmodell nach Amontons. Rechts ein moderneres Bild.

Woher rührt diese Gleitreibung? Guillaume Amontons (1663-1705) postulierte zwei Ursachen:

Modernere Bilder beschreiben die Reibung als ein Abscheren von gestauchten Mikrokontakten. Damit können zwei Phänomene erklärt werden:

Die wahre Kontaktfläche ist immer kleiner als die scheinbare. Durch Polieren erhöht man die wahre Kontaktfläche. Erhöht man die Auflagekraft, werden die mikroskopischen Kontakte mehr zusammengedrückt. Ihre wahre Kontaktfläche ist proportional zur Auflagekraft.

Awahr = AscheinFg-
               F0
(4.16)

wobei F0 eine in diesem Model nicht weiter erklärte Konstante ist.

Die Reibungskraft hängt dann mit der Scherspannung, die notwendig ist zum Lösen des Kontakts mit der Unterlage, τ wie folgt zusammen

FGR = Awahr·τ (4.17)
= AscheinFg
---
F0·τ
= Ascheinτ
   F0·Fg
= μGRFg

mit

       Ascheinτ
μGR  = --------
          F0
(4.18)

Aus der Proportionalität der wahren Kontaktfläche mit der Auflagekraft und dem Modell der Scherung folgt das Reibungsgesetz der Gleitreibung mit einem konstanten, geschwindigkeitsunabhängigen (nach Coulomb) Reibungskoeffizienten.

Die Rollreibung entsteht durch die Deformation des Rollkörpers, zum Beispiel der Räder.

4.3.6  Strömungsgeschwindigkeit als Beispiel für ein nichtlineares Kraftgesetz *

Aus Beobachtungen hat man das empirische Gesetz für die Strömungsgeschwindigkeit abgeleitet.

          n
F =  - b·v
(4.19)

b und n sind Konstanten, b hängt von der Form des bewegten Körpers ab (Widerstandsbeiwert). Die Einheit von b ist N·( s-)
 mn. Das Bewegungsgesetz für einen frei fallenden Körper mit konstanter Masse lautet (die Gravitationskraft gibt es ja auch!)

             n
F =  mg -  bv  =  m ·a
(4.20)

Die Endgeschwindigkeit ve wird erreicht, wenn a = 0 ist, also

mg  = bvn
        e
(4.21)

     ( mg ) 1n
ve =   ----
        b
(4.22)

Meist ist n 2.

Ein Mensch (100kg) im freien Fall hat etwa die Endgeschwindigkeit ve = 60m∕s. Sein Luftwiderstandsbeiwert (Exponent n = 2) ist also

                 m-         2
⇒  b = 100kg-·10-s2 = 1000s--kgm- = 0,28 kg-
         (60 m-)2      3600m2s2          m
             s

Wie gross muss der Luftwiderstandsbeiwert eines Fallschirms sein, damit der Mensch überlebt?

4.3.7  Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen *

Wir betrachten ein linear beschleunigtes Bezugssystem.

PIC

Linear beschleunigtes Bezugssystem

Durch die Beschleunigung zeigt die resultierende Kraft (Schwerkraft und Trägheitskraft) schräg nach unten. Dies kann mit einem Glas Wasser (halbvoll) beobachtet werden.

Wir betrachten ein rotierendes Bezugssystem.

PIC

Rotierendes Bezugssystem

FC ist die Corioliskraft.

Ein mitrotierender Beobachter wird die Coriolis-Kraft beobachten.

Beispiele für die Corioliskraft sind Hoch-und Tiefdruckgebiete.

Die Badewannenwirbel werden durch ein Aufschaukeln von Störungen, aber nicht durch die Corioliskraft erzeugt.



[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2005-2014 Ulm University, Othmar Marti, PIC  Lizenzinformationen