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4.4  Teilchensysteme

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 07. 11. 2008: PDF

Wir betrachten ein System von Teilchen

PIC

Skizze der Koordinaten in einem Teilchensystem

Die folgenden Grössen benötigen wir

Der Gesamtimpuls ist

    ∑n
p =    pi
    i=1
(4.1)

Aus dem Impulssatz folgt

d      d ∑n            ∑n
--p =  --   pi = F a =    F ai
dt     dti=1           i=1
(4.2)

Beweis

Fai äussere Kraft auf m

Fij innere Kraft von mi auf mj

Fij = -Fji Reaktionsprinzip

˙p = i=1n˙p i = i=1n(F ai + F 2i + F 3i + ...)
= (        )
  ∑n
     F ai
  i=1 + F12 + F21 + F13 + F31 +
= i=1nF ai = Fa

4.4.1  Impulserhaltung

Wenn keine äusseren Kräfte wirken gilt:

    ∑n      ∑n
p =    pi =     mivi = konstant
    i=1     i=1
(4.3)

4.4.2  Massenmittelpunkt

Definition des Ortsvektors des Massenmittelpunktes

      n∑
         miri
rs =  i=1------
       n∑ m
      i=1  i
(4.4)

Der Ortsvektor des Massenmittelpunktes ist der mit der Masse gewichtete Mittelwert der Ortsvektoren der einzelnen Massepunkte. Aus Gleichung (4.4) bekommt man

    (      )
      ∑n        ∑n
rs·      mi   =    miri
      i=1        i=1
(4.5)

Wir ersetzen die Summe durch das Integral und erhalten

Für eine kontinuierliche Massenverteilung gilt:

   ∫          ∫           ∫         ∫
rs   dm  = rs   ρ(r)dV  =   rdm   =   r· ρ (r)dV
(4.6)

oder

     ∫ rdm     ∫ r ρ(r)dV
rs = -∫-----=  ∫----------
       dm        ρ(r )dV
(4.7)

In kartesischen Koordinaten gilt

     (     )
     |  xs |
rs = (  ys )
        zs
(4.8)

mit

xs = ∑
  mixi
-∑-----
   mi (4.9)
ys = ∑
-∑miyi-
   mi (4.10)
zs = ∑ mizi
-∑-----
   mi (4.11)

4.4.2.1. Impuls des Massenmittelpunktes

PIC Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-047)

PIC Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-065)

Mit m = mi gilt:

p =  mv   = -d (mr  )
        s   dt     s
(4.12)

Beweis

PIC

Lokales Koordinatensystem in einer Massenverteilung

Wir verwenden ein lokales Koordinatensystem. Weiter sei Ri der Ortsvektor des Punktes i im mitbewegten Koordinatensystem.

ri = rs + Ri

                                               ( ∑      )
∑          ∑                 ∑         (∑     )  --miri-
   miRi  =    miri -  mrs =     miri -     mi     ∑ mi    =  0

       ∑           d ∑                  d ∑             d
⇒  p =     mivi = --    mi (Ri + rs ) = --   mi (Ri ) + --(mrs ) = mvs
                  dt                    dt              dt

Aus

∑                 ( ∑    )
    mivi = mvs  =      mi  vs

bekommt man für die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes

      ∑
vs =  -∑mivi--
         mi
(4.13)

Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit vs ist also das mit den Massen gewichtete Mittel der einzelnen Geschwindigkeiten.

4.4.2.2. Beschleunigung des Massenmittelpunktes

Bei konstanten Massen mi = const gilt für die Beschleunigung des Massenmittelpunktes

              ∑         d-
mas  = m ˙vs =    F ai = dtp
               i
(4.14)

Wenn keine äusseren Kräfte wirken folgt aus

      ∑
F a =    F ai = 0

p =  konstant
(4.15)

      d
vs =  --rs = konstant
      dt
(4.16)

4.4.2.3. Potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld

Wir wollen nun die potentielle Energie einer Massenverteilung im Erdgravitationsfeld berechnen.

PIC

Koordinatensystem zur Berechnung der potentiellen Energie im Erdschwerefeld

Sei g der Feldvektor des Gravitationsfeldes der Erde

Für die Koordinate z gilt

      ∑
mzs =     mizi
(4.17)

mit m = mi der Gesamtmasse. Die potentielle Energie ist dann

       ∑             ∑
Epot =    mig  zi = g   mizi =  g·m  zs
        i
(4.18)

4.4.3  Massenmittelpunktssystem (2 Massen)

PIC

Definition der Grössen beim Zweikörperproblem.

Wir wollen die Bewegung der beiden Massen in einem mit dem Massenmittelpunkt mitbewegten Bezugssystem berechnen.

Seien die ui die Geschwindigkeiten im Massenmittelpunktssystem

u1 = v1 -vs
u2 = v2 -vs

Im Laborsystem gilt nach Gleichung (4.13) :

vs =  m1v1-+--m2v2--
        m1 +  m2
(4.19)

Die Geschwindigkeiten im Massenmittelpunktssystem sind

u1 = v1 -vs = v1 (m1 + m2 ) - m1v1 -  m2v2
-----------------------------
          m1  + m2 = m2  (v1 -  v2)
-------------
  m1  + m2
u2 = v2 -vs = m1-(v2---v1-)
  m1 +  m2 (4.20)

Beispiel:

Kollision zweier Massen

PIC

Kollision zweier Massepunkte

Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist

vs = 50-·3000----30·1000-m- =  30m-
             4000         s       s
(4.21)

Bei einer Kollision bleibt die Massenmittelpunktgeschwindigkeit vs bleibt erhalten. Die Relativgeschwindigkeiten im Massenmittelpunktssystem sind

u1 = 1000 (50 - ∕ - 30)
------------------
       4000 = 20m∕s
u2 = 3000-(--30 --50)
      4000 = - 60m∕s (4.22)

Im Massenmittelpunktssystem hat die leichtere Masse die grössere Geschwindigkeit.

4.4.4  Kinetische Energie

Die kinetische Energie eines Systems von Massen ist durch

Ekin = i1
--
2mivi·vi
= i1-
2mi(vs + ui) ·(vs + ui )
= i1-
2mi[ 2                   2]
 vs + vsui + uivs + u i
= 1
--
2vs2 imi + 1
--
2vs imi2ui + 1
--
2 imiui2
= 1-
2mvs2 + v s            ∑
                miui
             i
            ◟-------◝◜-------◞
Nach Definition des Massenmittelpunktes =0 + i1-
2miui2
= 1-
2mvs2 + 1-
2 miui2 = E kin + Ekin,innen (4.23)

Da die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit erhalten bleibt, ist nur Ekin,innen relevant für Kollisionen Kollisionen mit gegenläufigen Bahnen beim Large Hadron Collider (LHC).

Bei inelastischen Stössen kann nur die Energie Ekin,innen in Wärme oder Deformation umgewandelt werden.



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