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4.5  Stösse

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 11. 11. 2008: PDF
Seminar vom 17. 11. 2008: Aufgabenblatt 05 (HTML oder PDF)

PIC Versuch zur Vorlesung: Massenmittelpunktsbewegung (Versuchskarte M-139)

Stösse sind kurzzeitige Wechselwirkungen (WW) zwischen zwei Körpern.

4.5.1  Stösse auf einer Geraden, Berechnung im Massenmittelpunktssystem

PIC

Stoss zweier Massen

Die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit ist nach Gleichung (4.13) durch

     m1v1-+--m2v2-
vs =   m1 +  m2

gegeben. Da der Gesamtimpuls gleich dem Massenmittelpunktsimpuls ist und erhalten wird, ändert sich die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit vs bei einem beliebigen Stoss nicht. Die Massen m1 und m2 haben im Massenmittelpunktssystem die Geschwindigkeiten (siehe Gleichung (4.20) )

u1 = v1 - vs = m2-(v1---v2)
  m  + m
    1    2
u2 = v2 - vs = m1-(v2---v1)
  m1 + m2

Entsprechend sind die Massenmittelpunktsimpulse

ps,1 = m1u1 = m  m  (v  - v )
--1--2--1----2-
   m1  + m2
ps,2 = m2u2 = m2m1--(v2---v1)
   m1  + m2 = -ps,1

Bei beliebigen Stössen mit zwei Massen haben die beiden Massen im Massenmittelpunktssystem immer entgegengesetzt gleich grosse Impulse, sowohl vor dem Stoss wie nachher. Diese Eigenschaft erleichtert Berechnungen wesentlich!

Die kinetische Energie des Massenmittelpunktes ist

Ekin,s = 1-
2(m  + m  )
   1    2 vs2
= 1-
2(m1 + m2 ) ( m1v1-+-m2v2-)
    m  + m
      1    22
= 1-
2              2
(m1v1-+-m2v2-)--
   m1  + m2

Die kinetischen Energien der beiden Massen im Massenmittelpunktssystem sind

Ekin,s,1 = 1
--
2m1u12 = 1
--
2m1( m2 (v1 - v2))
  ------------
    m1 + m22
= ---m1m2------
2 (m1  + m2 )2m2(v  - v )
  1    2 2
Ekin,s,2 = 1-
2m2u22 = 1-
2m2(             )
  m1-(v2---v1)
    m1 + m22
= ---m1m2------
            2
2 (m1  + m2 )m1(v2 - v1) 2

Die Summe der drei kinetischen Energien ist

Ekin,tot = Ekin,s + Ekin,s,1 + Ekin,s,2
= ------1------
            2
2(m1  + m2 )
·[                                                              ]
 (m1 + m2 )(m1v1  + m2v2 )2 + m1m22 (v1 - v2)2 + m21m2 (v1 - v2)2
= -----1------
2(m1  + m2 )[                                  ]
 (m1v1 +  m2v2 )2 + m1m2  (v1 - v2)2
=      1
------------
2(m1  + m2 )[  2 2     2 2                      (  2           2)]
 m 1v1 + m 2v2 + 2m1m2v1v2  + m1m2   v1 - 2v1v2 + v2
= -----1------
2(m1  + m2 )[                                  ]
 m2 v2 + m2 v2+  m m  v2 + m  m  v2
   1 1     2 2     1 2 1     1  2 2
=      1
------------
2(m1  + m2 )[                                   ]
 m1 (m1  + m2 )v21 + m2 (m1 +  m2) v22
= 1-
2m1v12 + 1-
2m2v22

Die kinetische Energie kann also in eine kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung und in die kinetische Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem aufgeteilt werden.


Die kinetische Energie der Massenmittelpunktsbewegung wird bei jedem Stoss erhalten. Die Summe der kinetischen Energie der Teilchen im Massenmittelpunktssystem wird bei elastischen Stössen erhalten und bei plastischen Stössen vollständig in Deformation oder Wärme umgewandelt.

Bei teilelastischen Stössen wird ein Teil der Energie umgewandelt. Der Faktor 0 α 1 gibt an, welcher Bruchteil der Summe der kinetischen Energien im Massenmittelpunktssystem umgewandelt wird. α = 0 bedeutet einen elastischen Stoss, α = 1 einen vollständig plastischen Stoss. Da die Impulse im Massenmittelpunktssystem entgegengesetzt gleich sind, werden die Massenmittelpunktsgeschwindigkeiten mit dem Faktor √ ------
  1 - α multipliziert.


Der Rechenaufwand zur Behandlung von Stössen und insbesondere von teilelastischen Stössen im Massenmittelpunktssystem ist viel geringer, als wenn man im Laborsystem rechnet.

Da bei einem elastischen Stoss im Massenmittelpunktssystem sich die Impulse und, da die Massen erhalten bleiben, die Geschwindigkeiten ihr Vorzeichen wechseln, ist die Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss gleich gross wie vorher. Wir haben also

v1 = u1 + vs
v2 = u2 + vs
Nach dem Stoss haben wir
v1 = -u1 + vs
v2 = -u2 + vs

Das bedeutet, dass bei einer Frontalkollision von einem Auto (v1 = 36km∕h = 10m∕s) mit einem Fussgänger (v2 = 3.6km∕h = 1m∕s) die Relativgeschwindigkeit vorher (v1 - v2 = 9m∕s) gleich dem negativen der Relativgeschwindigkeit nach dem Stoss ist. Da das Auto aber (siehe unten) nur unwesentlich abgebremst wird, fliegt der Fussgänger nach dem Stoss mit v2= 19m∕s = 68.4km∕h durch die Gegend.

Die Grösse μ = m  m
m11+m22- heisst auch die reduzierte Masse. Mit ihr können Zweikörper-Probleme im Massenmittelpunktssystem einfacher gelöst werden.

4.5.2  Stösse in der Ebene

PIC Versuch zur Vorlesung: Nicht-zentraler Stoss (Versuchskarte M-039)

Als Annäherung an den dreidimensionalen Fall betrachten wir den elastischen Stoss einer bewegten Punktmassen m1 auf eine ruhende Punktmasse m2 in der Ebene. Jeder Stoss im Raum mit zwei Körpern kann auf den ebenen Fall zurückgeführt werden (warum?).

PIC

Stoss in einer Ebene

Annahmen

v2  =   0
m1  =   m2 =  m                            (4.1)

Impulssatz:

m  v   =   m v ′+ m  v ′
  1 1       1  1    2  2
   v1  =   v′1 + v′2                             (4.2)

Energiesatz:

1-m v2   =  1-m  v′2+ 1-m  v′2
2  1  1     2   1 1   2   2 2
    v2   =  v ′2 + v′2                             (4.3)
      1       1    2

Zusammengesetzt erhalten wir

(v ′+ v ′)2 =   v′2+  2v′v′ + v′2
  1    2        1′2    ′12 2    2
           =   v1 +  v2                            (4.4)

oder

v ′v′ = 0
  1 2
(4.5)

Da das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, ist der Zwischenwinkel bei jedem elastischen ebenen Stoss (und damit bei jedem elastischen Stoss) gleicher Massen

    π
α = --
    2
(4.6)

4.5.2.1. Ebene Stösse bei ungleichen Massen

Im Falle der ungleichen Massen setzen wir m2 = a·m1 = a·m mit a [0,∞ ].

Impulssatz Gleichung (4.2) und Energiesatz Gleichung (4.2) lauten dann

m1v1 = m1v1+ m2v2 v1 = v1+ av2 (4.7)
m1-
 2v12 = m1-
 2v12 + m2-
 2v22 v 12 = v 12 + av 22 (4.8)

Wir quadrieren Gleichung (4.7) und subtrahieren von Gleichung(4.8).

v12 -v 12 = 0 = v 12 + av 22 -(                     )
 v′2 + 2av ′v′+  a2v′2
  1        1 2      2
0 = av22 - 2av 1v2+ a2v 22
v1v2=   ′
|v 1|  ′
 |v2| cos (α) = 1 - a
------
  2v22 (4.9)

Mit α = v1,v2. a ist durch das Massenverhältnis gegeben. a = 1 führt auf das Resultat in Gleichung (4.6). Bei gegebenem a hängt der Zwischenwinkel von v1und v2 ab, also von der Art des Stosses.

4.5.3  Stösse im Raum

Wir betrachten Stösse, bei denen der zweite Stosspartner ruht. Die Geschwindigkeit des ersten Stosspartners (m1) definiert eine Richtung. Der Abstand des Strahls definiert durch v1 von der Masse m2 wird mit b (Stossparameter) bezeichnet.

PIC

Definition des Stossparameters b

nach dem Stoss:

PIC

Situation nach einem ebenen Stoss

Unbekannte sind v1, v2, θ1 und θ2.

Impulserhaltung: in der x-Richtung

m1v1 =  m1v ′1cosθ1 + m2v ′2cos θ2
(4.10)

Impulserhaltung in der y-Richtung

0 = m1v ′1sinθ1 - m2v ′2sin θ2
(4.11)

Energieerhaltung

1-   2   1-    ′2   1-   ′2
2m1v 1 = 2 m1v 1 + 2m2v 2
(4.12)

Eine 4. Relation ist durch den Stossparameter b und die Physik der Wechselwirkung gegeben.

Experimentelle Stossverteilungen werden mit b parametrisiert.

4.5.4  Raketen oder Tintenfische

Grundlage: 2.Newton’sches Gesetz

     dp-
F =  dt
(4.13)

4.5.4.1. Rückstoss einer Armbrust

PIC Versuch zur Vorlesung: Russische Kanone: Impuls- und Drehimpulserhaltung (Versuchskarte M-154)

PIC

Rückstoss bei einer Armbrust

Länge:d (für Beschleunigung Beschleunigungsstrecke)

Masse: m (Pfeil)

Endgeschwindigkeit: v0

Antriebszeit: t0

Rückstosskraft: FR

Wir erhalten die Betragsgleichung

                 2
F  =  m-v =  m-v-0
 R    t0 0   2  d
(4.14)

Beweis: Antrieb: Fa = -FR

Newton: dp-
dt = Fa   

Wenn Fa über die Beschleunigungsphase konstant ist, gilt:

p- = F a = mv0--=  - F R
t0          t0
(4.15)

Arbeit und Energie

       mv2
Ekin = ----0 = W  (0,d) = Fad
         2
(4.16)

4.5.4.2. Schub

PIC Versuch zur Vorlesung: Rakete (Versuchskarte M-147)

PIC

Kräfte an einer Raketendüse. Die Rakete ist fixiert.

Die Masse des wegfliegenden Gases trägt einen mit der Zeit grösser werdenden Impuls. Dieser Impulsänderung entspricht eine äussere Kraft Fa und einer Schubkraft Fs = -Fa. Wir beachten weiter, dass wir Vektoren mit den dem Koordinatensystem angepassten Komponenten verwenden müssen. Hier hat also vGas eine negative x-Komponente.

                   |    |
      dm--         ||dm--||
F s =  dt vGas = - || dt ||vGas
(4.17)

wobei mit vGas die Relativgeschwindigkeit zur Düse gemeint ist.

Beweis mit Newton

F a  =  - F s                                  (4.18 )

     =   dp-
         dt
         d-
     =   dt (mGas (t))vGas
          dm  (t)
     =  - -------·vGas
            dt

4.5.4.3. Raketengleichung

PIC

Kräfte an einer Rakete

      dv(t)     ||dm  (t) ||
m (t) ------= - ||-------||·vGas + F
       dt       |  dt   |
(4.19)

Beweis:

d            d
--mGas  = - --m  (t)
dt          dt
(4.20)

Wenn ein Massenelement dm die Düse verlässt, hat es in diesem Augenblick die Geschwindigkeit v(t) + vGas. Es trägt also den Impuls dm(v (t) + vGas) weg. Auch hier verwenden wir die Vektoren mit den durch das Koordinatensystem gegebenen richtigen Vorzeichen. Infinitesimal gilt

F  (t)dt + dpGas (t) = F (t)dt + dm (t) (v (t) + vGas ) = dpRakete (t)

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 14. 11. 2008: PDF

und damit

F (t) =   dpRakete(t) - dm--(t)-(v(t) + v   )
          {    dt         dt        }   Ga{s                   }
                 dv (t)   dm (t)          dm  (t)
      =     m (t)------+  ------v (t) -   -------[v (t) + vGas]
                   dt       dt               dt
                dv-(t)-  dm--(t)-
      =   m (t)  dt   -   dt   vGas                               (4.21 )

Bewegung der kräftefreien Rakete:

      dv (t)    dm (t)
m  (t) ------=  ------·vGas
        dt       dt
(4.22)

dv (t) = dm-(t)·vGas
         m  (t)
(4.23)

∫t0                t∫0dm  (t)
   dv (t)  =   vGas   -------
 0                 0  m (t)
          =   v (t ) - v (0 )
                 0
          =   vGas· (ln(m  (t0)) - ln m0 (0))             (4.24 )

Also haben wir

v (t) = v0 - vGasln m-(0)-
                    m (t)
(4.25)

das heisst, die Endgeschwindigkeit einer Rakete kann man steigern, indem man die Ausströmgeschwindigkeit des Gases vGas erhöht, oder indem man die Endmasse m(t) im Vergleich zur Anfangsmasse m(0) möglichst klein macht. Die zweite Lösung ergibt aber strukturelle Probleme.



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