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4.6  Zentralbewegung

4.6.1  Winkelgeschwindigkeit

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Definition der Drehwinkel bei einer Zentralbewegung

ds  =   v(r)dt

dθ  =   θ(t + dt) - θ (t)                       (4.1)
        ds-
    =   r                                      (4.2)
        vdt
    =   ----                                   (4.3)
         r

Der Umfang (Weg für 1 Umdrehung) im Bogenmass ist 2π

Def:dθ
dt = ω: Winkelgeschwindigkeit

4.6.2  Winkelbeschleunigung

            2
α = dω- = d-θ-=  ¨θ
     dt   dt2
(4.4)

Bemerkung: Es gilt

ω (t) =   ω0 + αt                               (4.5)
                     1
θ (t) =   θ0 + ω0t + -αt2                       (4.6)
          √ ----     2
   ω  =     2α θ                                (4.7)

wenn ω(0) = 0; θ(0) = 0 und  α = const.

Die Gleichungen für die Zentralbewegung sind analog zu denen der Kinematik in einer Dimension.

4.6.3  Vektorcharakter der Drehbewegung

Eine Drehbewegung ist durch die Richtung ihrer Drehachse definiert

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Definition des Winkelgeschwindigkeitsvektors ω

Definition: ω zeigt in Richtung des Daumens der rechten Hand, wenn die Finger in die Drehrichtung zeigen. „Rechte Handregel“

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Transformation eines Drehvektors an einem Spiegel

Der gespiegelte Drehvektor entspricht dem Original: Diese Art Vektoren heissen „Axialvektoren“.


Drehvektoren (auch axiale Vektoren genannt) transformieren anders als Ortsvektoren.

4.6.4  Drehmoment

PIC Versuch zur Vorlesung: Drehmomentenscheibe (Versuchskarte M-071)

Definition:

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Definition des Drehmomentes

M  = r0m  × F
(4.8)

heisst mechanisches Drehmoment.

Wir betrachten das Drehmoment für eine Zentralbewegung bei einer konstanten punktförmigen Masse. Dann ist

M  = r·F

und

F =  m ˙v = mr ˙ω

oder

                (    )
M  = r·mr  ω˙=   mr2  ω˙=  I ˙ω

wobei I = mr2 das Trägheitsmoment eines Massenpunktes m im Abstand r von der Drehachse ist.

Beispiel: Anwendung Hebelgesetz

PIC

Hebelgesetz

Im Gleichgewicht ist

0  =   M

   =   M  1 + M 2
   =   r01 × F 1 + r02 × F 2                     (4.9)

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Eindimensionale Formulierung des Hebelgesetzes

im eindimensionalen Falle gilt

0 = x1 (- F1 ) + (- x2)(- F2)
(4.10)

und

F1x1 = F2x2
(4.11)

4.6.5  Drall, Drehimpuls

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 18. 11. 2008: PDF
Seminar vom 24. 11. 2008: Aufgabenblatt 06 (HTML oder PDF)

PIC Versuch zur Vorlesung: Drehimpulssatz (Versuchskarte M-063)

PIC

Definition des Dralls oder des Drehimpulses.

L0  =   r0m × p
    =   r0m × mv                           (4.12 )

Drallsatz

M  0 = d-L0
       dt
(4.13)

Voraussetzung M0 und L0 beziehen sich auf das gleiche Zentrum 0

Beweis:

-dL0   =   d-(r0m ×  p)
dt         dt
           d-                  dp-
       =   dtr0m × p +  r0m ×  dt                  (4.14 )
       =   r   × F   =  M                          (4.15 )
            0m     m      0

da d-
dtr0m = v ist.

Drehmoment von Zentralkräften

Definition: wenn F r0m dann ist M0 = r0m ×F = 0


Bei Zentralkräften ist:L0 =konstant, da M0 = 0 = dL0
dt



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