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4.7  Gravitation

Unter Gravitation versteht man die gegenseitige Anziehung der Körper durch ihre Massen.

4.7.1  Die Keplerschen Gesetze

  1. Gesetz (1609) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt.
  2. Gesetz (1609) Jeder Strahl von der Sonne zu den Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
  3. Gesetz (1619) Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsen ihrer Bahnen um die Sonne.

Der Beweis des 2. Gesetzes geht wie folgt: Es gibt keine äusseren Kräfte, deshalb gibt es auch keine Drehmomente. Aus M0 = 0 bekommt man : L0 = const.

PIC

2. Keplersches Gesetz

Behauptung: Für die Fläche A(t) gilt

        L
A (t) = --0·t
        2m
(4.1)

Beweis:

L0--dt =   1-(r × v) dt
2m         2
           1-
       =   2 (r × vdt)
           1
       =   --(r × dr) = dA                       (4.2)
           2

Bemerkung: bei einer ebenen Bewegung ist immer

dr  ⊥   L                               (4.3)
 r  ⊥   L                               (4.4)

d.h. das 3. Keplersche Gesetz entspricht der Drehimpulserhaltung

PIC Versuch zur Vorlesung: Planetenbewegung (Versuchskarte M-109)

4.7.2  Newtonsche Gravitationsgesetz

Wir betrachten das dritte Keplersche Gesetz für den Spezialfall einer Kreisbahn. Eine Masse m soll um eine zentrale Masse M kreisen. Eine Kreisbahn ist eine Ellipse, bei der die grosse und die kleine Halbachse gleich sind. Wir nennen die Grösse den Radius r.

Das 2.Keplersche Gesetz lautet

r3-
T 2 = G = const
(4.5)

G ist eine zunächst unbekannte Konstante. Bei einer gekrümmten Bahn mit dem Krümmungsradius r muss immer eine physikalische Kraft existieren, deren Grösse durch die Zentripetalkraft gegeben ist.

        2                  2
       v--      2      (2π-)-
Fz = m  r =  m ω r = m   T2  r
(4.6)

Wir haben v = ωr und ω = 2π∕T verwendet, wobei T die Umlaufszeit ist. Wenn wir Gleichung (4.5) und Gleichung (4.6) kombinieren, erhalten wir

             1           G    (4π2G )m
Fz = 4 π2mr ---=  4π2mr -- =  ----------
            T 2         r3        r2
(4.7)

Wie gesagt, zeigt die Zentripetalkraft Fz an, dass eine physikalisch begründete Kraft FG existieren muss mit Fz = FG. Diese Kraft, von Newton die Schwerkraft oder die Gravitation genannt, hat die Eigenschaften

Zum letzten Punkt ist zu bemerken: bei einem Zweikörperproblem ist es unsere Wahl, ob wir m oder M als zentrale Masse anschauen. Die Gleichung für die Gravitationskraft muss also m und M gleich behandeln. Um dies zu berücksichtigen, hat Newton Gleichung (4.7) so geschrieben

         mM---
FG = - G  r2
(4.8)

wobei 4π2G = GM ist.

Das dritte Keplersche Gesetz lautet also

r3    GM
-2-=  --2--
T     4π
(4.9)

Die obigen Argumente gelten nur für Kreisbahnen. Ausgefeiltere mathematische Methoden aus der theoretischen Mechanik zeigen aber, dass Gleichung (4.9) auch gilt, wenn wir r durch die Länge der grossen Halbachse ersetzen.

PIC

Newtonsches Gravitationsgesetz

Die Kraft der Masse 1 auf die Masse 2 ist F21, also

                        r
F 21 = - F 12 = - Gm1m2 --123
                         r12
(4.10)

Betragsmässig:

              m1m2--
F12 = F21 = G  r2
                12
(4.11)

Dabei ist G = 6.6742·10-11  3
kmgs2 die Gravitationskonstante. Das Newtonsche Gravitationsgesetz definiert die schweren Masse, im Gegensatz zum 2. Newtonschen Gesetz der Bewegung (F = dp
dt ), das die träge Masse definiert.

PIC Versuch zur Vorlesung: Gravitationswaage (Versuchskarte M-005)

PIC

Gravitationswaage

Im Gravitationsgesetz nach Newton (Gleichung (4.10) ) steht als unbekannte Konstante die Gravitationskonstante G. Aus den Keplerschen Gesetzen kann die Gültigkeit des Gravitationsgesetzes Gleichung (4.10) abgeleitet werden. Wenn man jedoch wissen will, wie schwer die zentrale Masse ist, muss G bekannt sein. Mit der Gravitationswaage nach Abbildung 4.7.2 kann diese im Labor gemessen werden. Zwei kleine identische Massen m1 = m2 sind im Abstand D an einem feinen Faden (Torsionswaage) aufgehängt. Die beiden grossen identischen Massen M1 = M2 sind auf einem äusseren beweglichen Halter montiert. Im Ruhezustand ist das Drehmoment auf dem Faden kompensiert durch das Drehmoment der Gravitationskräfte FG. Non werden die grossen Massen Mi mit ihrem Gestell so gedreht, dass sie auf der anderen Seite der kleinen Massen mi platziert sind. Die Gravitationskräfte sind nun FGund erzeugen ein dem Betrage nach gleich grosses, aber in die umgekehrte Drehrichtung zeigendes Drehmoment.

ΔM0   = 2[2DFG  ] = 4DFG

Dieses Drehmoment führt zu einer Winkelbeschleunigung α = M0∕I, wobei I das Trägheitsmoment der beiden kleinen Massen mi ist. Der Torsionswinkel φ ändert dann wie

       1
φ(t) = -αt2
       2

Der Torsionswinkel wird mit einem Lichtzeiger der Länge gemessen, der um x(t) = 2φ(t)ausgelenkt wird. Damit kann aus der Auslenkung x(t) der Torsionswinkel φ(t) über α das Drehmoment M0 und damit FG bestimmt werden. Da die Massen bekannt sind, folgt letztlich G.

4.7.2.1. Gravitationsfeld eines Massenpunktes

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 21. 11. 2008: PDF

Testmasse m0

                    -r
m0 ⇒  F  (r) = - Gm r3 m0
(4.12)

Feldvektor

g (r) = F--(r) = - Gm  r-
          m0           r3
(4.13)

g(r) ist der Feldvektor des Gravitationsfeldes. Seine Einheit ist [g] = ms2- Der Feldvektor des Gravitationsfeldes gibt die Stärke der Gravitation pro Einheitsmasse an. Mit dem Feldvektor kann also das Gravitationsfeld der Masse m charakterisiert werden, ohne dass eine zweite Masse spezifiziert werden muss, das heisst, g(r) ist unabhängig von der Testmasse m0.

g ist ein konservatives Vektorfeld: einfacher Beweis

PIC

Wegunabhängigkeit der Arbeit im Gravitationsfeld

Die potentielle Energie des Gravitationsfeldes existiert dann, wenn die Arbeit um eine Masse m2 im Gravoitationsfeld der Masse m1 von A nach B zu bringen unabhängig vom Weg ist. In Abbildung 4.7.2.1.1 sind exemplarisch die beiden Wege s1 und s2 eingetragen. Wir stellen uns vor, dass der Raum zwischen der Masse m1 und der Masse m2 mit radial gleichabständigen Kugelschalen unterteilt wird. Den realen Weg s1 ersetzen wir durch den Weg A,f,e,d,b,c,a,B, wobei die Abschnitte Af, ed, cb und aB radial verlaufen und die Abschnitte fe, dc und ba auf der Kugelschale liegen.

Analog wird der Weg s2 durch den Weg A,f,j,i,h,g,a,B ersetzt, wobei die Abschnitte Af, ji, hg und aB radial verlaufen und die Abschnitte fj, ih und ga auf der Kugelschale liegen.

Die Arbeit im Gravitationsfeld um die Masse m1 entlang A,f,e,d,b,c,a,B von A nach B zu bringen, ist die Summe der Arbeit auf den radialen Abschnitten plus der Summe der Arbeit auf den Abschnitten auf den Kugelschalen.

W(A,f,e,d,b,c,a,B) = W(A,f) + W(f,e) + W(e,d) + W(d,c)
+ W(c,b) + W(b,a) + W(a,B)
= [W (A,f ) + W (e,d) + W (c,b) + W (a,B)]
+ [W (f,e) + W (d,c) + W  (b,a)]
= W(radial) + W(Kugelschalen) (4.14)

Nun gilt für alle Wege auf einer Kugelschale, dass für jedes Wegelement ds gilt:

F (r)·ds  = 0
(4.15)

da F(r) immer senkrecht auf ds steht. Wir erhalten also

W (A, f,e,d,b,c,a, B) = [W (A,f ) + W (e,d ) + W (c,b) + W (a,B )]
(4.16)

Andererseits erhalten wir

W(A,f,j,i,h,g,a,B) = W(A,f) + W(f,j) + W(j,i) + W(i,h)
+ W(h,g) + W(g,a) + W(a,B)
= [W (A,f ) + W (j,i) + W (h,g) + W (a,B)]
+ [W  (f,j) + W (i,h) + W (g,a)]
= W(radial) + W(Kugelschalen) (4.17)
und
W (A, f,j,i,h,g,a,B ) = [W (A,f ) + W (j,i) + W (h,g) + W (a,B )]
(4.18)

In einem Zentralfeld, bei dem die Kraft radial ist und nur vom Abstand r vom Zentrum abhängt sind die folgenden Arbeiten gleich

W(e,d) = W(j,i)
W(c,b) = W(h,g) (4.19)

Deshalb gilt auch

W(A,f,e,d,b,c,a,B) = [W (A,f ) + W (e,d) + W (c,b) + W (a,B )]
= [W (A,f ) + W (j,i) + W (h,g) + W (a,B )]
= W(A,f,j,i,h,g,a,B) (4.20)

Die Arbeit, um m2 von A nach B zu bringen, ist also für die Wege A,f,e,d,b,c,a,B und A,f,j,i,h,g,a,B gleich.

Wenn wir nun den Abstand der Kugelschalen gegen Null gehen lassen, sehen wir, dass

W  (A,B,s1) = W  (A,B,s2)
(4.21)

für beide Wege gleich sind. Da wir keine besonderen Anforderungen an die Wahl der Wege gestellt haben, gilt diese Aussage auch für alle Wege zwischen A und B. Das heisst:


Zentralfelder sind konservative Felder.


Das Gravitationsfeld als zentrales Kraftfeld ist konservativ.

g ist ein konservatives Vektorfeld: eleganter Beweis*

Behauptung: g(r )  ist konservativ

                   (        )
rot g (r)  =  rot   - Gm  r-
                         (r3 )
                           r-
           =  - Gm   rot   r3
                           ( -x )
                           | r3y |
           =  - Gm  · ∇ ×  ( r3z )
                             r3
              (  - 3-z∂r + 3-y∂r )
              |     rx4∂∂yr    r4z∂∂zr |
           =  (  - 3r4∂z + 3r4∂x )
                 - 3ry4 ∂∂rx + 3rx4 ∂∂rz
              (    )
              |  0 |
           =  (  0 )                                (4.22 )
                 0

da gilt

∂
---
∂xy
-3
r =  1
--3
r∂y
---
∂x + y ∂
---
∂x1
-3
r
= 0 - 3y1-
r4∂r-
∂x
= -3y
r4-  √ ------------
∂   x2 + y2 + z2
------∂x--------
= -3y
---
r41
--
2     2x
√--------------
  x2 + y2 + z2
= -3y-
r4x-
r

Damit ist

--3z-∂r-   - 3z- y-     --3y-∂r-   - 3y-z
 r3  ∂y =   r3 · r  =    r3  ∂z =   r3 r und  zyklisch        (4.23 )

                                                             (4.24 )

4.7.2.2. Potentielle Energie des Gravitationsfeldes eines Massenpunktes

Weil das Kraftfeld der Gravitation konservativ ist, existiert eine potentielle Energie, die potentielle Energie der Gravitation.


Epot(r ) = - Gmm0  1-
                   r
(4.25)

ist die potentielle Energie der Gravitation, bezogen auf einen unendlich weit entfernten Punkt.


Als Referenz nehmen wir

Epot (∞ ) = 0
(4.26)

Beweis: Berechnung der Arbeit gegen die Feldkraft längs einer Feldlinie

PIC

Berechnung der Kraft

Bei der Berechnung der potentiellen Energie muss man berücksichtigen, dass die Kraft F und dr entgegengesetzt angeordnet sind. Da das Gravitationsfeld konservativ ist, können wir eine ganz spezielle Bahn verwenden. Zwischen zwei beliebigen Punkten r und r0 lassen wir die Bahn von r bis zu der Kugelschale um den Massenpunkt m, auf der r0 liegt, laufen und führen sie dann auf der Kugelschale zu r0. Auf dem auf der Kugelschale liegenden Teil ist FG senkrecht auf dr, so dass FG·dr = 0 ist: dieser Bahnabschnitt trägt nichts zur potentiellen Energie bei.

Also haben wir

Epot = W(r0,r,b) = - W(r, r0,b)
= - rr0 -F(r) dr = + rr0 - Gmm0-r
r3dr
= -Gmm0 rr0 dr
-2-
r =        1 ||
Gmm0   --||
       rrr0
= -Gmm0---
   r + Gmm0---
  r0 (4.27)

Es ist üblich, den Referenzpunkt r0 →∞ zu setzen:

                         (  Gmm0---   Gmm0---)     Gmm0---
Epot(r ) = Epot(r) = rl0im→ ∞  -    r   +    r      = -    r
                                         0
(4.28)

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Gravitationspotential einer Punktmasse

Die potentielle Energie hängt nicht nur von der zu untersuchenden Masse m, sondern auch von der Testmasse m0 ab.

Wir definieren das Testmassen-unabhängige Gravitationspotential

ϕ (r) = Epot(r)-
          m0
(4.29)

Die Einheit des Gravitationspotentials ist

         N m     m2
[ϕ (r)] = ---- =  ---
          kg     s2

dann gilt:

              m-
ϕ (r)  =   - G r
g (r)  =   - grad ϕ (r)

F (r)  =   - grad Epot(r )                     (4.30 )

Wir erhalten die folgenden Zusammenhänge:


Epot(r) = -Gmm0--
  r
∕m0
·m0
ϕ                    (r) = -G                                m-
                                r
grad  Sds Sds grad 
F(r ) = -Gmm
-r30-r
∕m0
·m0
               g                 (r ) = -G                             m
                             r3                               r

Oberflächenintegral über eine Kugel*

PIC

Oberflächenintegrale: Definition der Grössen

Normalenvektor n = r
r

Oberflächenelement in Kugelkoordination

da = r sin θdφ rdθ
(4.31)

dabei ist r sin θdφ die horizontale Seite des Flächenelementes, rdθ die vertikale Seite.

PIC

Koordinaten des Oberflächenelementes

  ∫                     ∫       r r
     g (r)·n  ·da   =     - Gm  ----·r2 sinθdθd φ
Kugel                           r3 r
                               ∫
                    =   - Gm       sin θdθdφ
                             Kugel
                                ∫π

                    =   - 2πGm     sin θdθ
                                0
                    =   - 4πGm                             (4.32 )

also


  ∫
      g(r )·nda  =  - 4πGm
Kugel
(4.33)


Die in einer Kugel (beliebigen Fläche) eingeschlossene Masse kann aus dem Integral über g(r) an der Oberfläche bestimmt werden. Damit kann man über die Keplerschen Gesetze mit einer Testmasse (Satellit) die Masse eines Himmelskörpers bestimmen!

4.7.2.3. Gravitation eines Ensembles von Massenpunkten

Betrachte n Massenpunkt mit mk an den Orten rk

PIC

Anordnung von Massenpunkten

Wir nehmen das folgende Postulat an


Die Gravitationskräfte sind additiv.

Damit sind auch die Gravitationsfelder additiv. Deshalb gilt

              ∑n      r - r
g (r)  =  - G     mk ------k3-
              k=1    |r - rk |
              ∑n        1
ϕ (r)  =  - G     mk --------                    (4.34 )
              k=1    |r - rk |

Da die einzelnen Teilfelder konservativ sind, ist auch das Gesamtfeld konservativ.

Bei Kräften zwischen Atomen und Molekülen gibt es viele Beispiele nichtadditiver Kraftfelder.

Oberflächenintegral*

∫                                  ∑
  g (r)n (S, r)da (S,r ) =   - 4πG    mk  (innerhalb  von S)
S                                   k
                         =   - 4πGm                             (4.35 )
wobei m die Masse innerhalb S ist

PIC

Koordinaten zur Berechnung eines Oberflächenintegrals

4.7.2.4. Kontinuierliche Massenverteilung *

Kontinuierliche Massenverteilung: gegeben durch Massendichte ρ(r)

            Δm---(r-)
ρ(r) = ΔlVim→0ΔV   (r )
(4.36)

Berechnung der Gesamtmasse aus Dichte:

       ∫

m   =     ρ(r) dV
       ∭v

    =        ρ (x,y,z)dxdydz                     (4.37 )
         V

In Kugelkoordinaten wäre

     ∭
                   2
m  =       ρ(r,θ,ϕ)r  sin(θ)drd θdϕ
       V
(4.38)

Oberflächenintegral

∫                                              ∫

  g (r) ·n (r) da(r ) = - 4πGm  (in S ) = - 4 πG  ρ (r)dV
s                                              V
(4.39)

Für kontinuierliche Massenverteilungen gilt die Feldgleichung der Gravitation

div g (r) = - 4πG ρ (r )
(4.40)

Def:

                  ∂x   ∂y    ∂z
div  r =  ∇ ·r  =  ---+ --- + ---
                  ∂x   ∂y    ∂z
(4.41)

Beweis: Nach Gauss gilt:

∫                     ∫                ∫

   g(r) n (r)da (r) =   div g (r )dV  =   - 4πG ρ (r)dV
s                     V                V
(4.42)

Die Lösung der Feldgleichung ist

             ∫      ′ -(r---r′)-   ′
g (r ) = - G     ρ (r )       ′ 3dV
           Raum       |(r - r)|
(4.43)

Dabei ist dV das Volumenelement am Ort r. Die Lösung hat die gleiche Struktur wie das Gesetz für den Feldvektor der Gravitation, Gleichung (4.13) . Die ist leicht zu sehen, wenn man die Variablen wie folgt umschreibt:

m ρ(r)dV
r r-r
r        ′
|(r - r |

Da g(r) = -grad ϕ(r ) gilt

- 4πG ρ (r)  =   div g (r)

             =   - div grad  ϕ(r )
             =   - ∇ ·∇ ϕ (r) = - Δ ϕ (r )              (4.44 )

also


Δ ϕ(r ) = 4 πG ρ(r)
(4.45)

heisst Poisson-Gleichung


Δ heisst Laplace-Operator:

∇ · ∇  =(     )
   ∂∂x
|(  ∂∂y |)
   -∂
   ∂z·(     )
   ∂∂x
|(  ∂∂y |)
   -∂
   ∂z =   2
-∂--
∂x2 +   2
∂---
∂y2 +   2
-∂--
∂z2 (4.46)

Formal ist die Lösung der Poissongleichung

             ∫            1
ϕ (r) = - G      ρ(r′)-------′- dV ′
            Raum      |(r - r )|
(4.47)

4.7.2.5. Gravitationsfeld einer Kugel

Masse einer Kugel

      4-  3
m  =  3πR  ρ0
(4.48)

bei konstanter Dichte ρ0

PIC

Gravitationsfeld einer homogenen Kugel

Wir unterscheiden die folgenden Fälle:

r > R    g(r) = -Gm-
r2    ϕ(r) = -Gm-
 r
r = R g(R ) = -Gm--
R2 ϕ(r) = -Gm-
R
r < R g(r) = -GRm3-r ϕ(r) = -GmR3-(          )
  32R2 - 12r2
Gravitationsfeld als Funktion der Distanz

PIC PIC

Links wird der Verlauf des Gravitationsfeldvektors gezeigt, rechts der des dazu gehörigen Gravitationspotentials. Beide sind für eine massive homogene Kugel mit dem Radius 1 gerechnet.

Im Folgenden werden drei Beweisarten gezeigt:

a)
Behauptung: Nur die Masse innerhalb der Kugelschale beeinflusst die Gravitationskraft. Wir berechnen zuerst die Gravitationskraft einer Kugelschale mit dem Radius R und der Dicke dR auf eine Masse m im Inneren. Die Gesamtmasse der Kugelschale ist
           2
dM   = 4πR  ρdR
(4.49)

wenn ρ die Massendichte ist. Wir betrachten die folgende Situation:

PIC

Kräfte auf eine Punktmasse im Inneren einer Hohlkugel.

Wir betrachten in der Abbildung 4.7.2.5 die beiden Flächen dA1 und dA2. Die von den Massen in diesen beiden Flächen auf m ausgeübten Kräfte zeigen entlang der gleichen Gerade, aber in entgegengesetzte Richtungen. Die Massen in dA1 und dA2 sind jeweils

dm1 = dMdA1
----2-
4πR
dm2 = dMdA2---
4πR2 (4.50)

Dabei ist 4πR2 die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R. Die Beträge der Kräfte F1 und F2 sind

F1 = -Gmdm
----2-1
  r1 = - GmdM
----2-
4πRdA
--21
 r1
F2 = -Gmdm2--
  r2
   2 = - GmdM---
4πR2dA2-
 r2
  2 (4.51)

Nach dem Strahlensatz gilt (beachte dass dA1 und dA2 Flächen sind)

dA1-=  dA2-
 r21     r22
(4.52)

Kombinieren wir Gleichung (4.51) und Gleichung (4.52) , so sehen wir sofort, dass

|F 1| = |F 2|
(4.53)

Da wir über die Lage von dA1 und dA2 nichts vorausgesetzt hatten, ausser dass beide mit der Masse auf einer Linie liegen, können wir folgern:


Auf Massenpunkte im Inneren einer Hohlkugel mit einer homogenen Massenverteilung wirken keine Kräfte.

Genauere Rechnungen zeigen, dass dies bei allen genügend symmetrischen Hohlkörpern der Fall ist.


Ausserhalb einer Massenverteilung wirkt die Gravitationskraft immer so, wie wenn sie vom Massenmittelpunkt käme.

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 25. 11. 2008: PDF
Seminar vom 01. 12. 2008: Aufgabenblatt 07 (HTML oder PDF)

Ausserhalb der kugelförmigen homogenen Massenverteilung können wir die Gravitationskraft so ausrechnen, wie wenn sie am Massenmittelpunkt konzentriert wäre (siehe Gleichung (4.13) ).

g(r) = - Gm  r-           für r > R
             r3
(4.54)

An der Oberfläche der Masse gilt Gleichung (4.54) gerade noch.

              R--
g(R ) = - Gm  R3           an der Ober fläche
(4.55)

Im Inneren (r < R) der homogenen kugelförmigen Massenverteilung können wir die Masse in zwei Bereiche einteilen, eine Hohlkugel mit r < r′≤ R sowie eine homogene Kugel mit r′ ≤ r. Die Hohlkugel trägt, wie gezeigt, nichts zum Gravitationsfeld bei. Nur Masse der Kugel mit dem Radius r erzeugt das Gravitationsfeld. Wenn m die Gesamtmasse ist, ist die relevante Masse

           V (r)      4πr3      r3
m ′(r ) = m ------= m -34π--- = m  ---
           V(R )      3-R3      R3
(4.56)

Der Feldvektor der Gravitation an der Oberfläche der inneren Masse ist dann

             ′   r-         r3-r-         r--
g(r ) = - Gm  (r )r3 = - Gm  R3 r3 = - Gm  R3
(4.57)

b)*
            ∫                      ∫
- 4πG              ρ (r )dV  =             g(r) ·n (r )da
      Kugel, Radius F          Kugeloberfläche
(4.58)

mit

g (r)·n  (r) = g (r)

da n∥r∥g ist. Also ist

        4π- 3             ∫                     2
- 4 πG ρ0 3 r = g(r)             da = g (r )·4 πr
      ◟------◝◜------◞        Kugeloberfläche
       Masse
(4.59)

Innerhalb der kugelförmigen Masse gilt also

g(r ) = -4π
---
30r
= -4π-
30R3-r-
R3
= -mG-r-
R3 (4.60)

Ausserhalb erhalten wir

                           ∫
- 4πG ρ0 4πR3  = g(r)             da = g (r)·4 πr2
      ◟-----3--◝◜-------◞
        Masse         Kugeloberfläche
(4.61)

oder

- 4πGm = g(r) ·4πr2 (4.62)
g(r) = -Gm--
 r2 (4.63)

Aus diesen Gleichungen kann das Potential berechnet werden.

Dazu verwendet man die Definition der potentiellen Energie für ein radialsymmetrisches Potential

           r
          ∫
ϕ (r) = -    g(r)dr
         ∞

Für ausserhalb bekommt man

         ∫r   Gm         (   (  Gm  ) )||r     Gm
ϕ (r) = -    - --2-d^r = -   -  - ----   ||  = - ----
         ∞     ^r                  ^r     ∞       r

Innerhalb der Kugel verwendet man den Radius der Kugel R als Referenz

          ∫r
ϕ (r) = -    g(r)dr
         R

und damit

         ∫r                 (  (           )) ||r
ϕ(r) = -   - mG  -^r-d^r = -   -   - mG  -^r--   || =  mG--(r2 - R2 )
                 R3                    2R3    |    2R3
         R                                    R

Für die Distanz R muss das Potential kontinuierlich sein. Wir führen eine Konstante K ein und setzen

  Gm--        mG-- (  2    2)
-  R   = K  - 2R3   R  - R    = K

Also ist für Innen das Resultat

       mG-- ( 2    2)   Gm--     mG-- (   2    2)
ϕ(r) = 2R3   r -  R   -  R   = - 2R3   3R  - r

Das Schlussresultat ist

       (
       |{  - Gm-            für r ≥ R;
ϕ(r) =    - mrG-(3R2 - r2)  für r < R.
       |(    2R3
(4.64)

c)*
zu Fuss

Gravitationskraft eines Kreisringes

PIC

Berechnung des Kreisringes

Symmetrie: nur x-Komponente betrachten

        Gm   (dm )
dF  = - ----02----
            s
(4.65)

dFx  = dF cos α = - Gm0--cos α dm
                      s2
(4.66)

Die x-Komponente des Feldvektors der Gravitation ist nun (betragsmässig):

dg  = dFx- = - G- cosα dm
  x    m0      s2
(4.67)

Die Integration über den Feldvektor ergibt das totale Feld

          ∫     G cosα         Gm0          ∫            Gm0
gx =  -         ---2---dm  = - --2--cos α        dm  = - ---2- cosα m
       Kreisring   s             s        Kreisring          s
(4.68)

Dabei ist m die Masse des Kreisringes. Gs2 cos α ist unabhängig vom Azimut. Mit

        x        x
cos α = s-=  √--2----2-
               x  + a
(4.69)

wird

       ---Gmx------
gx = - (x2 + a2)3∕2
(4.70)

Als nächstes berechnen wir eine Kugelschale zusammengesetzt aus Kreisringen.

PIC

Berechnung einer Kugelschale zusammengesetzt aus Kreisringen

Umfang eines Kreisringes: 2πR  sin  θ
Breite: Rdθ
Oberfläche: 4πR2
Parameter des Kreisringes

Daraus ergibt sich:

                      2
dM  = M  dA- = M  2πR--sinθd-θ = M--sinθd θ
          A          4πR2         2
(4.71)

und mit

         Gdm--          Gm--sinθd-θ
dgR  = -  s2  cos α = -     2s2    cos α
(4.72)

Es gilt weiter:

θ = 0..π
s = r - R..r + R
s2 = r2 + R2 - 2rR cos θ (4.73)

oder

2sds =  2rR sin θdθ
(4.74)

Für cos α gilt:

 2    2    2
R  = s  + r -  2srcos α
(4.75)

oder

         2    2    2
        s--+-r----R--
cosα  =      2sr
(4.76)

also

                  2   2     2          (      2     2)
dgR = - GM---sds-s-+-r----R---= - GM---  1 - r----R--  ds
         2s2 rR      2sr          4r2R          s2
(4.77)

Die Integration über ds liefert

              r+R (            )              [           ]r+R
        GM--- ∫       r2---R2-         -GM--      r2 --R2-
gR =  - 4r2R      1 -    s2     ds = - 4r2R   s -    s
             r-R                                           r- R
(4.78)

Nach dem Einsetzen erhält man

        GM
gR =  - --2--
         r
(4.79)

Wenn wir innerhalb der Kreisschale sind muss von R - r bis R + r integriert werden. Dann ist gR = 0!


Eine Kugelschale trägt zum Feldvektor der Gravitation für Punkte innerhalb nichts bei.

Den Feldvektor der Gravitation für einen Punkt innerhalb einer Vollschale kann jetzt noch durch Integration über alle eingeschlossenen Unterschalen erhalten werden, deren Radien kleiner sind als der Radius des betrachteten Punktes. An der Form des Resultates ändert sich nichts mehr.

4.7.3  Gewicht

Das Gewicht oder die Gewichtskraft FG einer Masse m wird durch die Gravitation zwischen der Erde und m bewirkt.

Modell: Die Erde entspricht einer Kugel. Dann gilt an der Oberfläche

F                        R
--G-= g (r = R ) = - GM  ---
m                        R3
(4.80)

Im Labor ist g = konst.

und Epot = mgh =

4.7.3.1. Gewichtsbedingte Bewegung

Freier Fall:

 2
d-r-=  dv-= g
dt2    dt
(4.81)

mit r(t = 0) = r0 und v(t = 0) = v0 bekommt man

                 1   2
r(t) = r0 + v0t +--gt
                 2
(4.82)

Mathematisches Pendel

PIC

Mathematisches Pendel

PIC Versuch zur Vorlesung: Fadenpendel (Versuchskarte M-077)

Fa beschleunigt die Masse, also gilt:

|F a| = |F G|·  sin ϕ
(4.83)

Beschleunigung:

      ¨
a = ℓ ϕ
(4.84)

Bewegungsgleichung

           ¨
m ·a  = m ℓϕ = - mg  sin ϕ
(4.85)

         ¨   g-   ¨       ¨     2
⇒       ϕ +  ℓ sin ϕ = 0 = ϕ + ω 0 sin ϕ
(4.86)

mit

      g
ω20 = --
      ℓ
(4.87)

Kleine Auslenkungen:

           ϕ3    ϕ5
sin ϕ = ϕ - ---+  ---- ...
            3!   5!
(4.88)

also

¨ϕ + ω2ϕ =  0
     0
(4.89)

harmonische Schwingung:

⇒        ϕ(t) = ϕ0cos (ω0t - α)
(4.90)

Beweis

¨         2
ϕ = - ϕ0ω 0 cos[ω0t - α]
(4.91)

d.h. die Bewegungsgleichung ist erfüllt.

ϕ0 und α hängen von den Anfangsbedingungen ab.

4.7.4  Schwere und träge Masse

Beispiel: Freier Fall

von mT träge Masse (Beschleunigung)
mS schwere Masse (Gravitation)

F = mta = -GmsMs
--3-
R R (4.92)
a = -Gms-
mt(    )
  Ms--
  R3R (4.93)

Beobachtung α = ms-
mt = const ist unabhängig vom Material

Experimentell: |α - 1| < 10-12

4.7.5  Satelliten und Ähnliches

Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes, mit Kreisbahnen

PIC

Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes

Zentripetalkraft Fz = mv21-
r1

  ′  mv22
Fz = -----
      r2
(4.94)

Fz = FGraviation!

Gmsm1---      v21-
   r21   = m1  r1
(4.95)

nun ist die Umlaufszeit T1 = 2πr1-
 v1 oder v1 = 2πr1
 T1

also ist

Gms--
 r2
  1 = 4πr21-
T2r
 1 1 (4.96)
  2
T1-
r31 =    2
-4π--
Gms (4.97)

Dies ist das 3. Keplersche Gesetz.

Beispiel: Maximale Höhe eines Satelliten

Wir wissen

         Gmem---
Epot = -    r
(4.98)

Energiesatz:

1    2   Gmem      1   2      Gmem
--mv 0 - -------=  -mv   (r ) --------
2          R       2             r

wobei R der Erdradius ist.

v2(r) = v 02 - 2Gm e( 1    1)
  -- - --
  R    r (4.99)
r(v) = ------2GmeR---------
2Gme  - R (v20 - v2) (4.100)

Im Scheitel ist v = 0, also

         R·2Gme
rmax = ----------2--
       2Gme  -  v0R
(4.101)

Die erreichbare Höhe rmax divergiert wenn v02 = 2GRme- ist. Anders ausgedrückt: Mit GmRe2- = g bekommt man die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Schwerefeld der Erde

      ∘----
v  =   2gR  = 11.2 kms -1
 0

Gesamtenergie eines Satelliten

         Gmem---
Epot = -    r
(4.102)

Zentripetalkraft

  v2   Gm  ′m            Gm   m
m ---= ----e-- ⇒  mv2 =  ----e--
  r       r2                r
(4.103)

Kinetische Energie

E    =  1mv2  = 1-Gmem---=  - 1E
  kin    2       2    r        2  pot
(4.104)

        1-
Etotal = 2 Epot
(4.105)



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