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5.2  Klassische Relativität beschleunigter Bezugssysteme

5.2.1  Trägheitskräfte

x, y,z,tsei gegen das Inertialsystem x,y,z,t mit aT beschleunigt. Die Trägheitsbeschleunigung aT ist durch

      ′
a = a  + aT
(5.1)

Wir fordern: Massen und Zeiten sollen in beiden Systemen gleich sein.

Die Gesetze der Mechanik sollen in beiden Systemen die gleiche Form haben.

t = t
m = m (5.2)
F = mdv
---
dt (5.3)
F = mdv′-
dt′ (5.4)

Dabei ist F F. Die Differenz nennen wir eine Trägheitskraft: FT ,

also

F + FT = F
FT = -maT (5.5)

Beispiel: Bus: Beschleunigung aT

-maT ist die Kraft, die einen nach hinten drückt.

Beweis:

m = m
t = t
a = a+ aT
F = ma
F = ma

F = ma
= m(a′ + a )
       T
= ma+ maT
= F+ maT
F = F- maT (5.6)

Beispiel: Schwerelosigkeit im fallenden Aufzug

Behauptung

FG = 0
FG = mg
aT = g
FG = FG + FT = mg- maT = 0 (5.7)

5.2.2  Das Prinzip von d’Alembert

PIC Versuch zur Vorlesung: d’Alembertsches Prinzip (Versuchskarte M-070)

Wir wollen das folgende Problem Lösen:

Ein System von Massenpunkten mi bewegt sich unter Einfluss externer Kräfte Fai und interner Kräfte Fji. Es gibt deshalb äusserst komplexe Bewegungsgleichungen.

Prinzip: Ersetzt man die Beschleunigung ai der Masse mi durch die Trägheitskraft

F T =  - miai
(5.8)

so wird das Problem der Dynamik auf ein statisches Problem zurückgeführt.

Situation für einen ruhenden Beobachter

PIC

Situation für einen ruhenden Beobachter

             ∑
miai = F ai +    F ji
              j

ist die Gleichung, die das System aus der Dynamik beschreibt.

PIC

Situation für einen mitbewegten Beobachter

Nach dem Prinzip von d’Alembert gilt

                       ∑
miai  = - F Ti = F ai +   F ji
                        j
(5.9)

oder

             ∑
F Ti + F ai +    F ji = 0
              j
(5.10)

5.2.3  Gleichförmig rotierende Bezugssysteme

In diesem Abschnitt untersuchen wir Trägheitskräfte in rotierenden Bezugssystemen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = const: es sind dies die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft. Dabei seien

x,y,z,t, r die Koordinaten und Vektoren des Inertialsystems
x,y,z,t, r das rotierende Bezugssystem, das mit um e = ω-
ω rotiert

Die Nullpunkte beider Koordinatensysteme seien identisch. Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit sei ω = |ω|e.

Um die Form der Ableitung und die Transformationsgesetze zu bestimmen, betrachten wir die Vektoren als Objekt, ohne deren Darstellung in einem Koordinatensystem zu verwenden.

PIC

Berechnung einer Ableitung im Laborsystem

Abbildung 5.2.3 zeigt die Berechnung einer Ableitung im Laborsystem. Wie üblich haben wir

dr(t) = lim r-(t +-dt)---r(t)
 dt     dt→0        dt
(5.11)

PIC

Berechnung der Ableitung im rotierenden Bezugssystem.

Im rotierenden Bezugssystem (Abbildung 5.2.3) dreht sich der Referenzpunkt P um den Winkel ϕ. Wenn zur Zeit t r(t) = rP (t) ist, ist zur Zeit t + dt

rP (t + dt) = rP (t) + d¯r
(5.12)

Der Betrag des Verschiebungsvektors berechnet sich über die zurückgelegte Bogenlänge, die vom Radius R und der Winkeländerung = ω·dt abhängt. Dieser wiederum kann aus der Länge von r(t) = rP (t) mit dem Winkel γ bestimmt werden

d¯r = R ·d ϕ = R ·ω ·dt =  rP sin(ϕ)· ω·dt = |ω × r |dt
(5.13)

Die Reihenfolge von ω und r hängt von der gewünschten Richtung ab.

Die Ableitung im rotierenden Bezugssystem ist durch den Vektor r(t + dt) und der Lage von P zur Zeit t + dt, also rP (t + dt) gegeben

∂r(t)       r (t + dt) - rP(t + dt)
------= lim ----------------------
 ∂t     dt→0           dt
(5.14)

da der Bezugspunkt weiter gewandert ist.

PIC

Beziehung zwischen den Ableitungen

Abbildung 5.2.3 zeigt, wie die Ableitungen im rotierenden Bezugssystem mit denen im Laborsystem zusammenhängen.

dr = ∂r  + d¯r = ∂r +  ω × rdt
(5.15)

Wir teilen durch dt und erhalten, im Limit dt 0

dr    ∂r
---=  ---+  ω × r
dt    ∂t
(5.16)

Dabei ist r irgend ein Vektor, nicht notwendigerweise ein Ortsvektor. Die Ableitungen in den beiden Koordinatensystemen werden durch die folgende Notation unterschieden:

in x, y, z, t  ddtβ
in x, y, z, t ∂-
∂tβ
Ableitungen in zwei Koordinatensystemen

wobei t= t und z= z sein soll.

Wichtig ist, dass ∂β-
∂t die im rotierenden Koordinatensystem durchgeführte Ableitung ist, aber wieder zurücktransformiert in das lokale Koordinatensystem (siehe auch J).

 

Beispiel:

Wir verwenden r und daraus folgend: v = dr
dt, v= ∂r
∂t und damit

v =  v′ + (ω × r)
(5.17)

wobei vin das Laborsystem zurücktransformiert ist.

Geschwindigkeiten (und auch Beschleunigungen) sind in den beiden Bezugssystemen nicht gleich, wohl aber Ortsvektoren. Diese haben zwar unterschiedliche Komponenten, zeigen aber immer auf den gleichen Punkt im Raum. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind unterschiedlich, haben also eine unterschiedliche Länge und/oder eine unterschiedliche Richtung.

Wir betrachten die Beschleunigung. Wir haben für die Beschleunigung im Laborsystem

a = dv
---
dt
Im bewegten System ist die Relativbeschleunigung
a = ∂v ′
--′-
dt 
Wieder ist adie ins Laborsystem zurücktransformierte Grösse.

Dann ist

dv-
dt = ∂v-
 ∂t + (ω ×  v)
=  ∂
---
∂t(v′ + (ω  × r)) + (ω × (v ′ + ω × r))
= -∂-
∂tv+ ω×∂r-
∂t + ω×v + ω×(ω × r)
=  ∂
---
∂tv+ 2       ′
(ω × v ) + ω×(ω × r) (5.18)

also haben wir

      ′                           ′
a = a  + (ω × (ω ×  r)) + 2 (ω × v )
(5.19)

In Gleichung (5.1) ist die Trägheitsbeschleunigung definiert. Wir setzen

a + az + aC  = a ′
(5.20)

wobei az die negative Trägheitsbeschleunigung namens Zentrifugalbeschleunigung und aC die negative Trägheitsbeschleunigung namens Coriolisbeschleunigung ist.

Wir haben also

az = -ω×(ω ×  r) (5.21)
aC = -2       ′
(ω × v ) = 2  ′
(v ×  ω) (5.22)

Wir können die Gleichung für die vereinfachen, indem wir

      *
r = r  + R

setzen.

wobei r* ω und R ω sein soll.

PIC

Lage von r* und R relativ zu ω.

Wir verwenden die Vektoridentität aus Gleichung (K.7)

a × (b × c) = (a·c )b - (a·b ) c

und setzen a = ω, b = ω und a = R und erhalten

ω ×  (ω  × R ) = (ω·R  )ω  - (ω ·ω )R

Mit ω·R = 0 bekommen wir dann

a =  a′ - ω2R +  2 (ω × v′)
(5.23)

Also können wir die Bewegung durch Trägheitskräfte beschreiben

             ′
F +  F T = F
(5.24)

und

                                    ′
F T =  - m (ω × (ω ×  r)) - 2m ω × v
(5.25)

Wieder erhalten wir die Trägheitskräfte

Zentrifugalkraft: Fzentrifugal = -m(ω ×  (ω  × r)) = +2R
Corioliskraft: Fcoriolis = -2m       ′
(ω ×  v) = 2m  ′
(v × ω )
Trägheitskräfte

PIC Versuch zur Vorlesung: Corioliskraft (Versuchskarte M-185)

Die Zentrifugalkraft ist nur von der Position, nicht aber von der Geschwindigkeit v im gleichförmig rotierenden Bezugssystem abhängig. Die Corioliskraft andererseits hängt nur von vab, aber nicht von R.

PIC

Zentrifugalkraft und Corioliskraft

5.2.3.1. Drehratensensor mit Corioliskräften

PIC

Prinzipbild eines mikromechanischen Drehratensensors basierend auf der Corioliskraft

Heutige Mobiltelefone verwenden Drehratensensoren um zum Beispiel Lageänderungen des Gerätes zu detektieren[Vog11]. Analoge Sensoren werden verwendet, wenn in einem Auto das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) katastrophale Änderungen der Fahrzeuglage verhindern soll. Abbildung 5.2.3.1 zeigt das Prinzipschaltbild eines solchen Sensors. Die Masse m in der Mitte wird mit der Frequenz ω0 und der Amplitude x0 zum Schwingen gebracht. Wenn der Sensor um die z-Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert, entsteht durch die Coriolisbeschleunigung 2v×ω in die y-Richtung eine periodische Auslenkung. Deren Grösse ist proportional zu den Designgrössen des Systems (Federkonstanten k1 und k2, Masse m und der Oszillationsfrequenz ω0) und der Winkelgeschwindigkeit ω. Typischerweise ist die Kantenlänge eines solchen Drehratensensors etwa 1 mm. Die Schwingungsfrequenz ist ω0(2π) = 1500 Hz.

5.2.4  Allgemeines beschleunigtes und rotierendes Bezugssystem

Der folgende Abschnitt folgt Ideen aus Leisi, Klassische Physik [Lei98]. Wir betrachten ein System mit den Koordinateneinheitsvektoren ex(t), ey(t) und ez(t), das mit der Winkelgeschwindigkeit ω(t) rotiert. Die Winkelgeschwindigkeit ω gehe durch den Ursprung 0des gestrichenen Koordinatensystems. Der Ortsvektor r0(t) des Ursprunges sei auch zeitabhängig.

Die Lage eines beliebigen Massenpunktes im Laborsystem sei r(t). Seine Koordinate im gestrichenen (rotierenden und beschleunigten) System sei r(t). Wir haben den Zusammenhang

r(t) = r0′(t) + r′(t)
(5.26)

Da die aufspannenden Koordinateneinheitsvektoren zeitabhängig sind, können wir schreiben

         ∑
r′(t) =         r′k(t)·e ′k(t)
       k∈{x,y,z}
(5.27)

Die Geschwindigkeit v(t) im Laborsystem ist dann

v(t) = dr-(t)
  dt =            ′
d(r0′(t) +-r-(t))
       dt = dr0′(t)-
  dt + -d
dt(   ∑               )
(        r′k(t)·e ′k(t))
  k∈{x,y,z}
= dr0-′(t)
  dt + k∈{x,y,z}  ′
drk(t)
  dt·ek(t) + k∈{x,y,z}Rk(t)·   ′
de-k(t)
  dt (5.28)

Bei Vektoren, die fest mit einem rotierenden System verbunden sind, gilt

df                  de′(t)
--- = ω (t) × f = ⇒ --k--- = ω (t) × e ′k(t)    k ∈ {x,y,z}
 dt                   dt
(5.29)

Damit wird

v(t) = dr0′(t)
-------
  dt + k∈{x,y,z}dr′k(t)
------
 dt·ek(t) + k∈{x,y,z}rk(t)·ω×ek(t)
= dr0′(t)-
  dt + v(t) + ω× k∈{x,y,z}rk(t)·ek(t)
= dr0′(t)
--dt--- + v(t) + ω×r(t) (5.30)

Die Beschleunigung ist entsprechend

a(t) = dv(t)-
 dt = -d
dt(                                                     )
  dr0′(t)-    ∑     dr′k(t)   ′       ∑      ′    de′k(t)
(   dt   +           dt  ·e k(t) +         rk(t)·   dt  )
           k∈{x,y,z}                k∈{x,y,z}
= d2r0′
-----
 dt + k∈{x,y,z}d2r′k(t)
----2--
  dt·ek(t) + 2 k∈{x,y,z}dr′k(t)
------
  dt·de′k(t)
------
  dt
+ k∈{x,y,z}rk(t) 2 ′
d-ek(t)
   dt (5.31)

Mit

d2e′(t)
---k2--
  dt =  d
--
dt( de′(t))
  --k---
    dt =  d
--
dt(ω (t) × e′k(t))
= dω-(t)
  dt ×ek(t) + ω(t) ×de-′k(t)
  dt
= dω-(t)
  dt ×ek(t) + ω(t) ×(ω (t) × e ′k(t)) (5.32)

Wir setzen Gleichung (5.32) und Gleichung (5.29) in Gleichung (5.31) ein und erhalten

a(t) = d2r (t)
----2-
  dt = d2r ′
---0-
 dt + k∈{x,y,z}d2r′(t)
---k2--
  dt·ek(t)
+ 2 k∈{x,y,z}dr-′k(t)
  dt·de-′k(t)
  dt + k∈{x,y,z}rk(t)d2e′k(t)
  dt
= d2r ′
---0-
 dt + d2r′(t)
----2--
  dt + 2 k∈{x,y,z}dr ′(t)
--k---
  dt·(ω (t) × e ′k(t))
+ k∈{x,y,z}rk(t)[                                     ]
  dω-(t)-   ′                      ′
   dt   × ek(t) + ω(t) × (ω(t) × ek(t))
=  2
d-r0′
 dt +  2 ′
d-r-(t)-
  dt2 + 2ω(t) ×  ′
dr-(t)-
 dt
+ dω (t)
-dt--- ×r(t) + ω(t) ×         ′
(ω(t) × r (t)) (5.33)

Aus der Newtonschen Bewegungsgleichung

        d2r (t)
ma  = m ----2- =  F
          dt

folgt im beschleunigten und bewegten Bezugssystem (dem gestrichenen System)

md2r-′(t)
  dt2 = F + FT
FT = -m[ d2r ′(t)                                  dr ′(t)   dω (t)       ]
  ---0----+ ω (t) × (ω (t) × r′(t)) + 2ω (t) × ------ + ------× r ′(t)
    dt2                                      dt       dt (5.34)

Die vier Summanden in Gleichung (5.34) sind

Kraft

Gleichung



Kraft aufgrund der linearen Beschleunigung des Bezugssystems

FB(t) = maB(t) = -md2r0′(2t)
  dt



Zentrifugalkraft

FZ(t) = maZ(t) = -mω(t) × (ω (t) × r′(t))



Corioliskraft

FC(t) = maC(t) = -2mω(t) × ′
drd(tt)-



Kraft aufgrund der Winkelbeschleunigung

Fω(t) = maω(t) = -mdω(t)
 dt ×r(t)



Trägheitskräfte

Wenn wir dieses Resultat mit dem früheren Ergebnis Gleichung (5.25) , so ist der Unterschied, dass in Gleichung (5.25) r in der Corioliskraft auftaucht. Da in Gleichung (5.25) ω = const war und der Nullpunkt des rotierenden Koordinatensystems ortsfest war, gilt dass r∧=rist. Wenn diese Bedingung wegfällt, muss nach Tabelle 5.2.4 vorgegangen werden.

5.2.5  Die Erde als rotierendes Bezugssystem

Raumfestes Koordinatensystem

PIC

Raumfestes und mitbewegtes Koordinatensystem auf der Erde

mitbewegtes Koordinatensystem:

x: nach E

y: nach N

z: nach oben

r0 = 6·36·106 m

ω = -2π-
1 d = 0.727·10-4 s-1

ϑ = π
2 - θ die geographische Breite.

Die Winkelgeschwindigkeit ist im gestrichenen Bezugssystem

ω  = ω (0,cosϑ,sin ϑ)
(5.35)

Der Vektor R0 hat die Länge

R0 =  r0sin (π∕2 - ϑ) = r0cos(ϑ )
(5.36)

Im gestrichenen Bezugssystem hat R0 die Koordinaten

                                  (                     2   )
R0  = R0 (0, - sin(ϑ ),cos(ϑ )) = r0 0, - sin(ϑ) cos(ϑ ),cos (ϑ )
(5.37)

Zentrifugalkraft:

                              (                     )
F zentrifugal = m ω2R0 =  m ω2r0 0, - sin ϑ cosϑ,cos2 ϑ
(5.38)

oder betragsmässig

|F          | = F         = m ω2r  cos(ϑ)
   zentrifugal     zentrifugal        0
(5.39)

Die Komponente parallel zum Boden (also in der y-Richtung ist

                                                        m ω2r0
|F zentrifugal,y| = Fzentrifugal,y = - m ω2r0 sin(ϑ )cos(ϑ) = - -------sin (2 ϑ)
                                                          2
(5.40)

Wenn  ′
v die Relativgeschwindigkeit ist, gilt in x,y,z,tfür die Corioliskraft:

               (     )   (        )        (                    )
                  v′x          0               v′y sinϑ - v ′z cosϑ
F coriolis = 2m ω |(  v′y |) × |(  cosϑ  |) = 2m ω |(      - v′sinϑ      |)
                  v′        sinϑ                   v′xcosϑ
                   z                                x
(5.41)

5.2.5.1. Anwendung: Foucault-Pendel

PIC Versuch zur Vorlesung: Foucault-Pendel (Versuchskarte SW-015)

PIC

Foucault-Pendel

Das Foucault-Pendel ist an einem Punkt mit der Erde verbunden.

-ω projiziert auf z, dies entspricht der Drehgeschwindigkeit gegen x,y,z

also

ωFoucault = - ω ′= - ωsin ϑ
              z
(5.42)

Rotationsperiode

|T | = ---2π----= --2π---=  -1-d-
      ωFoucault   ω sinϑ    sinϑ
(5.43)

5.2.5.2. Anwendung: Gezeiten *

PIC

Erde und Mond

Erde mE = 5.98·1024 kg
rE = 6.38·106 m
Mond mM = 7.3·1022 kg
rM = 1.74·106 m
Abstand rEM = 3.84·108 m
Parameter von Erde und Mond

Schwerpunkt des Systems Erde-Mond:

rS = -rEM-mM---
mE  + mM
= 3.8·1087.3·1022
---------
6 ·1024 m
= 3.8
 6·7.3·106 m
= 6.3·7.3·105 m
4.6·106 m (5.44)

Erde und Mond drehen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt.

PIC

Raumfestes Koordinatensystem der Erde

Bezogen auf den Erdmittelpunkt herrscht die Gravitationskraft

GmM--- = az
 rem2

des Mondes, die in diesem Punkt auch gleich der Zentrifugalkraft der Erdmasse (konzentriert auf den Schwerpunkt der Erde) ist. Wir rechnen alle Beschleunigungen nach rechts, also in der Richtung des Mondes, positiv.

Weiter ist die Geschwindigkeit des Punktes A bezogen auf die Geschwindigkeit vS des Schwerpunktes S gegeben durch

        r  - r
vA = vS -E----S-
          rS

Ebenso gilt für den Punkt B

        r  + r
vB = vS -E----S-
          rS

Die Zentrifugalbeschleunigungen berechnen sich dann für A aus

           2
a    = ---vA---
  z,A   rE -  rS

und

          v2
az,B = ----B---
       rE +  rS

Wenn man die Werte einsetzt, bekommt man




Punkt A

Punkt B




Feldvektor der Gravitation des Mondes gM

---GmM------
           2
(rEM -  rE)

----GmM-----
           2
(rEM  + rE )




Zentrifugalbeschleunigung az

    r  - r
az· -E----S-=
       rS

GmM   rE - rS
--2-----------
 rEM     rS

     r  +  r
- az·-E-----S =
        rS

--GmM---rE-+-rS-
 r2EM      rS




Summe der Beschleunigungen a

       (          )
GmM---  -2rE-+  rE-
 r2EM    rEM     rS

        (           )
- GmM---  2rE-+  rE-
   r2EM    rEM    rS




in C gibt es die Zentrifugalbeschleunigung

az ≈ GmM---· rE-
      r2EM    rS

Zwischen C und A sowie B gibt es die Differenz der Beschleunigungen

|aGez | = 2GmM--rE-
           r3EM
(5.45)

Vergleich mit g

aGez    2GmM   rEr2      mM  ( rE )3
-----=  ------3---E--= 2 ----  ---   ~ 10- 7
  g     (rEM ) GmE       mE    rM
(5.46)

Anwendung Schwerkraft in einem Raumschiff

PIC

„Schwerkraft“ in einem Raumschiff

Nur im Schwerpunkt ist die Zentrifugalkraft gleich der Gravitationskraft

in A ist die Gravitation zu gross

in B ist die Gravitation zu klein

PIC

„Schwerkraft“ in einem Raumschiff in radialer Richtung

Im Raumschiff ist die Gravitationskraft nicht „Null“.



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