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5.3  Spezielle Relativitätstheorie

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 05. 12. 2008: PDF

5.3.1  Widersprüche zur klassischen Relativität

PIC

Schwimmen mit und senkrecht zur Strömung.

Jeder Schwimmer habe die Geschwindigkeit vs gegen das Wasser, beide schwimmen die Strecke s0 hin und zurück

Schwimmer 1) schwimmt vom Pfeiler zur Boje und zurück.

     --s0----  ---s0---   s0(vs---vD-+-vs-+-vD-)   -2vss0--   ----2s0-----
t1 = v +  v  + v  - v  =         v2 - v2        =  v2-  v2 =    (     v2D )
      s    D    s    D            s    D            s    D    vs 1 -  v2s-

Schwimmer 2) schwimmt vom Pfeiler ans Ufer und zurück. Damit er wieder beim Pfeiler ankommt, muss er seine Schwimmrichtung um den Winkel α gegen die Strömung vorhalten.

PIC

Vorhalten des Schwimmers 2.

Der Vorhaltewinkel wird gegeben durch

        vD-
sin α =  v
          s
(5.1)

Dann ist die effektive Geschwindigkeit

veff = vscosα
(5.2)

     -2s0     --s0----  ----2s0----
t2 = veff = 2 vscosα  =    ∘-----v2-
                        vs  1 -  Dv2s-
(5.3)

Die beiden Schwimmer brauchen unterschiedlich lange. Das Verhältnis ihrer Schwimmzeiten ist

           ∘ -2----2-
t1   2vss0---vs --v-D  ----vs-----   ---1-----
t2 =  (v2 - v2 )2s0  =  ∘  2    2 =  ∘     v2
        s    D            vs - vD      1 - vD2s-
(5.4)

unabhängig von s0.

Der Zeitunterschied ist, andererseits

Δt = t1 - t2
=      2s0
---(-----2)-
vs  1 - vvD2-
         s-    2s0
--∘------2-
vs  1 - vD2-
         vs
=      2s
---(---0-2)-
vs  1 - vD2-
        vs(     ┌ -------)
      ││      v2
(1  - ∘ 1 -  -D2)
             vs
-----2s0----
   (    v2)
vs  1 - vD2s-(     (             (   ) ))
            v2D--      v4D-
  1 -  1 -  2v2+  O   v4
              s        s
  ≈
 ◟◝◜◞
vD«vs2s0-
vs  2
vD--
2v2s
=    2
s0vD-
  v3s (5.5)

Wir machen nun die folgende Identifikation

Wir erhalten also

      s v2
Δt =  -0-Ät3her-
         c
(5.6)

Die maximale Geschwindigkeitsdifferenz durch den Äther ist im Laufe eines Jahre zwei mal die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne, also 60 kms-1.

PIC

Michelson-Morley-Experiment: Interferometrische Längenmessung. Der Weglängenunterschied wird entweder über das Zählen von Interferenzringen (Technologie des 19. Jahrhunderts) oder über eine Messung der Intensität im Zentrum mit einer Fotodiode bestimmt.

Der zu Δt gehörende Weglängenunterschied Δx ist

              sv2
Δx  =  cΔt =  -0-Äther-
                c2
(5.7)

Im Michelson-Morley-Versuch erwartet man für die verwendeten Parameter

                   )
    L =  10 m      |||
   λ = 300  nm     }
vÄther = 30 kms- 1 || eine Verschiebung  um  knapp  einen Interferenzring.
c = 300000  kms -1 |)

Wenn man eine Verschiebung um einen Viertel Interferenzring beobachten kann, dann gilt für die Äthergeschwindigkeit

          ∘ ----               ∘---------------
            Δx          8   -1   (3·10 -7 m)∕4             -1
vÄther ≥ c  -s--=  3·10  ms      ----10-m------=  18000 ms
              0
(5.8)

Wie die Rechnung zeigt, ist das Michelson-Morley-Experiment an der Grenze der Signifikanz. Der aufgrund der Messdaten durchaus zweifelhafte Befund der beiden wurde später glänzend bestätigt. Heute wird eine äquivalente Technik zur Gravitationswellendetektion angewandt.

Es wurde aber kein Gangunterschied beobachtet über eine Jahreszeit. Es gibt nun zwei Lösungen:

  1. Äther wird durch die Erde mitgeführt, aber: die Lichtgeschwindigkeit in Flüssigkeiten zeigt einen verminderten Mitführeffekt v = (1c+∕(nu)+∕ucn) wobei u die Geschwindigkeit des Mediums mit dem Brechungsindex n ist. (Siehe Leonhardt und Piwnicki [LP00] und Fizeau [Fiz51]).
  2. Lorentz und Fitzgerald sagen, dass der in die Richtung der Ätherbewegung stehende Arm um ∘ ---------
       v2Äther-
  1 -   c2 kürzer wird und so die Laufzeit kompensiert. Experimente mit elektrischen Ladungen zeigen diese Längenkontraktion

Das Experiment kann so interpretiert werden: Das Interferometer bewegt sich gleich schnell gegenüber dem Äther, unabhängig von der Position auf der Erdbahn.

5.3.2  Theorie von Einstein

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1156]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 838])


  1. Es gibt kein physikalisch bevorzugtes Inertialsystem. Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen dieselbe Form an.
  2. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist in jedem beliebigen Inertialsystem konstant unabhängig vom Bewegungszustand der Quelle.

Eine andere Formulierung des 2. Postulates ist


Jeder Beobachter misst für die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum den gleichen Wert.

Anders kann man auch sagen

Eine sehr gut lesbare Einführung in die Relativitätstheorie bietet das Buch von Jürgen Freund, „Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger“, [Fre04].

5.3.2.1. Punktereignisse

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 838])

Ereignisse sind durch einen Ort und eine Zeit gegeben. Dies kann so ausgedrückt werden, dass 4 Koordinaten zur Angabe eines Ereignisses notwendig sind.

    (    )    (     )
       x         x1
    ||  y ||    ||  x  ||
    ||    ||    ||   2 ||
x = ||  z ||  = ||  x3 ||
    (  ct)    (  x4 )
(5.9)

Wir multiplizieren hier die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit, um ihr die Einheit einer Länge zu geben.


Zwei Ereignisse sind in jedem Inertialsystem gleichzeitig, wenn sie am Ort und zur gleiche Zeit (an dem betreffenden Ort) stattfinden.


Ein Bezugssystem ist allgemein formuliert ein System von Mechanismen und materiellen Körpern, (Z.B. Uhren und Massstäbe), mit deren Hilfe die Lage anderer Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt relativ zu den Massstäben angegeben werden kann (das Punktereignis).


Ein Körper ist also eine Folge von Punktereignissen. Man nennt diese Linie die Weltlinie des Körpers.

All das was sich auf mich wirkt, oder auf was ich wirken kann, muss sich in einem Gebiet befinden, von dem aus ein Punktereignis mit dem jetzt mit einer Geschwindigkeit v < c verbunden werden kann. In einem Koordinatensystem mit den Achsen x, y, z und ct bedeutet dies, dass nur Punktereignisse aufeinander einwirken können, bei denen die Steigung der Verbindungslinie steiler als π∕4 ist.

5.3.2.2. Rückdatierung

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 09. 12. 2008: PDF
Seminar vom 15. 12. 2008: Aufgabenblatt 09 (HTML oder PDF)

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 839])

PIC

Rückdatierung der Beobachtung eines Ereignisses auf die wahre Zeit und den wahren Ort.

Wenn ich weiss, dass die Nachricht von einem Ereignis mich mit einer bestimmten Laufzeit aus einer bestimmten Richtung erreicht, kann ich die Zeit und den Ort des Ereignisses bestimmen. Durch diese sogenannte Rückdatierung kann es mir gelingen, festzustellen, wann und wo ein oder mehrere Ereignisse stattgefunden haben sowie ob mehrere Ereignisse für andere Beobachter gleichzeitig sind.


Um die Lage eines Punktereignisses in einer für alle möglichen Beobachter nachvollziehbaren Weise anzugeben, muss das Hilfsmittel der Rückdatierung angewandt werden.

Im Regelfall werden bei der Diskussion der speziellen Relativitätstheorie Licht- oder Radiosignale verwendet. Sie haben den Vorteil, dass ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen c ist. Natürlich könnten wir auch Schall, oder jedes andere Medium verwenden: die Berechnungen wären durch die niedrigere Geschwindigkeit bedingt aber komplizierter.

PIC

Die Zeitachse wird mit ct bezeichnet, um die gleiche Einheit wie die x-Achse zu haben. Die x-Achse fasst alles zusammen, was jetzt geschieht. Die ct-Achse fasst alles zusammen, was am Ort des Beobachters, hier geschieht. Zum dargestellten Zeitpunkt hat der Beobachter bei x = 0 und ct = 0 Kenntnis über alles was im zeitartigen Gebiet unterhalb der x-Achse liegt. Alles was im zeitartigen Gebiet über der x-Achse liegt, kann beeinflusst werden. Zum dargestellten Zeitpunkt gibt es keine gegenseitige Beeinflussung von Punkten im raumartigen Gebiet.

5.3.2.3. Relativistisches Mass

Wir definieren als Mass (verallgemeinerte Längenmessung)

s21,2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - c2(t2 - t1)2
(5.10)

Dies ist analog zum Euklidischen Mass

 2                  2            2           2
s1,2,Euklid = (x2 - x1 ) + (y2 - y1) + (z2 - z1)


Zwei Ereignisse heissen zeitartig, wenn
 2
s1,2 < 0

Zwei Ereignisse heissen raumartig, wenn

s21,2 > 0


5.3.2.4. Gleichzeitigkeit

Zwei Novae explodieren im Weltall. Wir betrachten diese Ereignisse in zwei Bezugssystemen, dem Bezugssystem von A und dem dazu mit der Geschwindigkeit v bewegten Bezugssystem von B.

PIC

Die zwei Novae sollen an den angegebenen Orten und Zeiten ausbrechen. „B“ befindet sich in einem Inertialsystem, das sich mit der Geschwindigkeit v gegenüber dem Inertialsystem von A“ bewegt.

In der Abbildung stellt die horizontale Achse alle drei Raumkoordinaten zusammen dar. Am Ort r = 0 befindet sich A in Ruhe. Deshalb ist die Zeitachse von A sein „hier“. Andererseits haben alle Punkte auf der r-Achse die gleich Zeit wie A, sie befinden sich also „jetzt“. Die „hier“ und „jetzt“ eines sich in einem mit der Geschwindigkeit v gegenüber As Inertialsystem bewegenden Beobachters B sind gekippt gegenüber meinen Koordinatenachsen, wobei der Kippwinkel α der Zeitachse (ct, „hier“) durch die Geschwindigkeit gegeben ist. Unbekannt ist der Kippwinkel β der Raumachse (r, „jetzt“). B soll gleichzeitig die Explosion von je einer Nova links und rechts von ihm beobachten. Beide Novae sollen den gleichen Abstand von B haben. Sie sollen, als Bs Weltlinie die von A kreuzte ausgebrochen sein.

Dies kann wie folgt eingesehen werden:

Zwischenbeobachtung: Die beiden roten Linien unter π∕4 stellen die Ausbreitung des Lichtes dar, die Lichtgeraden: die Lichtgeschwindigkeit bei unserer Wahl der Koordinaten ist 1. Die beiden roten Linien durch die beiden Ereignisse zeigen, dass B beide Novae gleichzeitig wahrnimmt. A hingegen sieht zuerst die Nova 1, dann die Nova 2, da der Schnittpunkt der ersten roten Linie mit der ct-Achse unter dem der zweiten Linie liegt.


Der Begriff der Gleichzeitigkeit hängt vom betrachteten Inertialsystem ab.

Also ist

α = β
(5.11)


Diagramme wie das aus der Abbildung 5.3.2.4 heissen Minkowski-Diagramme.

Je schneller B ist, desto mehr werden, von A aus gesehen, seine Achsen gegen die π∕4 Linie gekippt.

PIC

Die beiden Novae aus der Sicht von B.

Die Beschreibung von B ist ebenso gültig. Aus seiner Sicht ist As Geschwindigkeit genau das negative von seiner, von A aus gesehen. Deshalb ist As ’ct’-Achse um α gegen den Uhrzeigersinn geneigt.

Ereignisse, die aus Bs Sicht gleichzeitig sind, sind für A nicht gleichzeitig, und umgekehrt.


Relationen zwischen Ereignissen sind nur dann sinnvoll zu beschreiben, wenn gleichzeitig auch das Bezugssystem angegeben wird.


In jedem Inertialsystem gibt es konsistente Masseinheiten, die aber von Inertialsystem zu Inertialsystem verschieden sind.

5.3.3  Längenkontraktion

Wir betrachten zwei Massstäbe, einer der im Ruhesystem von A entlang der x-Achse liegt und in Ruhe ist, mit einem Ende bei (0,0) und einer, der sich entlang der x-Achse oder der r-Achse mit der Geschwindigkeit v bezüglich des Bezugssystems von A bewegt. Im Bezugssystem von B (gekennzeichnet durch die Koordinaten x, t) ist der zweite Massstab in Ruhe.

PIC

Massstabsvergleich

Die beiden Koordinatenursprünge (Bs und meiner) sollen übereinander liegen. Bs Koordinatensystem ist gekippt. Alle seine eindimensionalen Objekte sind parallel zu seiner jetzt-Achse, genauso wie alle meine eindimensionalen Objekte parallel zu meiner jetzt-Achse sind. Zum Zeitpunkt t = 0 (gilt für beide) ist das linke Ende je eines Massstabes genau am Ursprung. Das Ende meines Massstabes ist in Q und bewegt sich weiter zu Q. Das rechte Ende von Bs Massstab beschreibt die Linie P nach P. Für mich ist zur Zeit t = 0 das Ende von Bs Massstab in P, für ihn ist es in P. Analog sagt B, dass mein Massstab zur Zeit t = 0 in Qist, während es für mich in Q ist.

Da kein Bezugssystem bevorzugt ist, muss meine Beschreibung der Situation und seine äquivalent sein.

Mein Massstab ist für B verkürzt, während seiner für mich kürzer ist. Der Verkürzungsfaktor f muss für beide der gleiche sein:

     ---   ---′
f =  0P- = 0Q--
     0Q    0P ′
(5.12)

und damit auch

     ---  ----
 2   0P · 0Q ′
f  = --------′
     0Q · 0P

Nun ist

----
0Q-′   --1--
0Q- =  cosα

und nach dem Sinussatz

---
0P--   sin(π∕2---2α-)   cos(2α)-
0P ′ =  sin(π ∕2 + α) =   cos α

Damit ist

      cos(2α )   cos2 α - sin2 α
f2 =  ---2----= -------2------ =  1 - tan2 α
      cos  α        cos  α
(5.13)

f ist die Steigung der Weltline eines Punktes mit der Geschwindigkeit v.

    x-   cx-
v =  t = ct

Die Steigung ist dann

v-=  x- = tan α
 c   ct

Wir erhalten also


Lorentz-Kontraktion
    ∘ ------2
f =   1 -  v--
           c2
(5.14)

Die in ihrem Ruhesystem gemessene Länge erscheint in einem dazu in Richtung der Länge bewegten Bezugssystem mit der Länge

        -------
      ∘     v2
ℓ′ = ℓ  1 - ---
            c2
(5.15)



In jedem gegen das Inertialsystem des Beobachters mit v bewegten Inertialsystem erscheinen die in Richtung der Bewegung zeigenden Längen um f = ∘ ----v2-
  1 - c2 verkürzt.

In mehreren Dimensionen entstehen durch die Laufzeiten vom Bildpunkt zum Auge zusätzliche Verzerrungen, so dass Objekte nicht einfach verkürzt erscheinen.

Als Beispiel betrachten wir eine Länge. a sei die Länge gemessen im ruhenden System. asei die Länge gemessen im bewegten System. Dann ist

               ∘-------
         ′    ′      v2-
a =  f·a  = a   1 -  c2

5.3.4  Uhrenvergleich

PIC

Darstellung des Uhrenvergleichs.

PIC

Vergrösserte Darstellung aus der vorherigen Abbildung 5.3.4.

Aus R, beziehungsweise Rkann das Punktereignis „Uhr zeigt 1“ im anderen Bezugssystem rekonstruiert werden. Die Argumentation ist analog wie beim Längenvergleich. Wir fordern:

     ---   ----
     0P-   0Q-′
f =  0Q  = 0P ′

und damit

      -------
  2   0P 0Q ′
f  =  ------′
      0Q 0P

0QQist ein rechtwinkliges Dreieck. Also ist

---
0Q--
0Q ′ = cosα

Das Dreieck 0PPist ein allgemeines Dreieck, bei dem der Sinussatz

 a       b       c
-----=  -----=  -----= 2R
sin α    sin β    sin γ

angewendet werden kann, wobei b die β gegenüberliegende Seite ist, und analog weiter.

Wenn wir den Schnittpunkt PP mit QQ mit U bezeichnen, so ist das rechtwinklige Dreieck UQP kongruent zu 0QQ. Also ist PUQ = α und UPQ = π∕2 - α. Der Aussenwinkel dazu ist 0PP= π∕2 + α. Dieser Winkel liegt 0P gegenüber. Aus der Winkelsumme im Dreieck bekommt man schliesslich 0PP = π - α - (π∕2 + α) = π∕2 - 2α. Dieser Winkel liegt 0P gegenüber. Also ist

     ---             ----
-----0P-------   ----0P-′-----
sin(π∕2 - 2α ) = sin(π∕2 + α)

und

---
0P--=  sin(π∕2---2α-)=  cos(2α)-
0P ′    sin(π ∕2 + α)     cos α

sowie

     -------    -------
     0P 0Q ′    0P 0Q ′   cos(2α )  1
f2 = ------′ = ---′---- = ------------- = 1 - tan2α
     0Q 0P     0P  0Q      cos α  cosα

tan α ist die Steigung der Weltlinie. Also bekommen wir wieder

     ∘ -------
           v2
f =    1 - -2-
           c
(5.16)

Jeder Beobachter sieht die Uhr des anderen erst später die 1 erreichen. Bewegte Uhren gehen also langsamer wegen der Zeitdilatation.

PIC Link zur Vorlesung:(Zeitdilatation)


Zwischen zwei Punktereignissen misst derjenige Beobachter den kürzesten Zeitabstand, der sie (soweit möglich) direkt erlebt, also für den sie beide „hier“ sind.


Zwischen zwei Punktereignissen misst derjenige den kürzesten Abstand, für den sie gleichzeitig erfolgen (bei ihm ist der Massstab am längsten!).

Da wir keine Aussage über die Natur der Uhren gemacht haben, müssen wir schliessen, dass die obige Aussage für alle Prozesse gilt.

Wir können das oben gesagte auch so formulieren:

Im bewegten System (Geschwindigkeit v) am Punkt 0 gibt es zwei Ereignisse A und B im Abstand t

Im Ruhesystem x,y,z,t misst man

                 t′(x-′ =-0,y′ =-0,z-′ =-0)
t(x = vt,0, 0) =        ∘ ----v2-
                          1 - c2
(5.17)

Der Vollständigkeit halber steht unten noch das in den Lehrbüchern übliche, kaum verständliche Diagramm.

PIC

Traditionelle Darstellung des Uhrenvergleichs nach (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 842])

5.3.5  Der relativistische Dopplereffekt

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 12. 12. 2008: PDF

PIC

Der longitudinale relativistische Dopplereffekt. Links ist mein Standpunkt, rechts der von B.

Die obige Skizze soll die Frage klären, welche Periode TB misst für ein Signal, für das ich die Periode T messe. Die Berechnung läuft wie folgt:

B würde anders argumentieren (rechte Seite von Abbildung 5.3.5)

Der Dopplereffekt wird also durch die spezielle Relativitätstheorie für alle Inertialsysteme konsistent beschrieben.


Longitudinaler relativistischer Dopplereffekt:
       ┌ ------
       ││ 1 - v
ν′ = ν ∘ ----cv-
         1 + c
(5.18)

wenn im ungestrichenen System mit der Frequenz ν Strahlung ausgesendet wird und in dem mit v sich dazu bewegenden gestrichenen System νgemessen wird.


PIC

Bewegungsrichtung beim transversalen relativistischen Dopplereffekt.

Wenn eine Bewegung im Winkel α schräg zur zur Beobachtungsrichtung verläuft, ist der relevante Längenunterschied nicht Δsondern Δ cos α. Sei Tdie Periodendauer im bewegten Bezugssystem und Δdie Distanz, um die sich das bewegte Bezugssystem in Tbewegt. Die Zeitdilatation ist unabhängig von der Bewegungsrichtung, die Längenkontraktion jedoch nicht!

Wir erhalten die Beziehungen

Δ cos α = -    vT
-∘------2--2
   1 - v ∕c cos α (5.19)
Δt =      T
-∘----------
   1 - v2∕c2 (5.20)
T = Δt+ - Δ ℓcos α
----------
    c (5.21)
(5.22)
Eingesetzt ergibt sich
                                                    (           )
T′ = ∘----T------+  -∘--vT------cos α = -∘---T------  1 + v-cosα
       1 - v2∕c2    c  1 - v2∕c2           1 - v2∕c2      c

Für die Frequenzen (ν = 1∕T) gilt dann

        ∘ -----2-
  ′       1 - vc2
ν  = ν 1 +-vcosα--
           c
(5.23)

Für α = π
 2 bekommt man den transversalen Dopplereffekt

       ∘ -------
             v2
ν ′ = ν  1 - ---
             c2
(5.24)

Dies ist nichts anderes als ein Ausdruck der Zeitdilatation. Bei Schallwellen gibt es keinen transversalen Dopplereffekt.

Für α = 0 erhalten wir den longitudinalen Dopplereffekt.

      ┌ ------
      ││ 1 - v
ν′ = ν ∘----vc
        1 +  c
(5.25)

5.3.6  Addition von Geschwindigkeiten

Mit diesem Gedankenexperiment soll die folgende Frage beantwortet werden:

Wenn ein Intertialsystem 1 gegenüber dem Inertialsystem 2 die Geschwindigkeit u hat und dieses wiederum gegenüber dem Inertialsystem 3 die Geschwindigkeit v hat, was ist dann die Geschwindigkeit des Inertialsystems 1 gegenüber dem Inertialsystem 3.

PIC

Drei gegeneinander sich bewegende Inertialsysteme

Wir berechnen die Geschwindigkeit w anhand eines Gedankenexperimentes. In diesem Gedankenexperiment soll ein Meteorit das Inertialsystem 1 darstellen, „ich“ das Inertialsystem 2 und B das Inertialsystem 3. wir haben

PIC

Addition von Geschwindigkeiten

Im Punkte Rmisst B durch Rückdatierung, dass der Meteorit zur Zeit tin P und er in R gewesen sind.


Die Länge einer Einheit auf Bs ct-Achse und die Länge einer Einheit von Bs Ortsachse xsind gleich, unabhängig von Bs Geschwindigkeit v. Wäre das nicht so, dann wäre eine Achse, die ct-Achse vor den anderen Achsen ausgezeichnet.

In dem durch R gegebenen Zeitpunkt tbestimmt B die Geschwindigkeit des Meteoriten durch

     ----     ----
     P(-R)-    P-R-
w =   0R- =  c0R
       c
(5.26)

Damit berechnet man mit dem Sinussatz

w = c----
PR--
0R = c---sin-(α-+--δ)----
sin(π ∕2 - δ + α ) = csin(α-+-δ)-
cos(α - δ)
= csin α cosδ + cosα sinδ
----------------------
cosα cosδ + sinα sinδ = c tanα +  tanδ
---------------
1 + tan αtan δ
= cv    u
-c +-c-
1 + vc uc = --v-+-u---
1 + uv∕c2 (5.27)

Die relativistische Summe zweier Geschwindigkeiten ist
w =  --u-+-v---
     1 + uv∕c2
(5.28)

ein Wert, der um (1 + uv∕c2)-1 kleiner ist als bei der klassischen Addition von Geschwindigkeiten.


Es gibt die folgenden Spezialfälle:

Aus den Spezialfällen lernt man


c ist die maximal mögliche Geschwindigkeit.

Drei Beispiele:

5.3.7  Messung von Beschleunigungen

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 845])

Das folgende Gedankenexperiment soll zur Ableitung des Messverfahrens für relativistische Beschleunigungen dienen.


Die von B gemessene longitudinale Beschleunigung aist grösser als die von A gemessene Beschleunigung
      (       )
     ′      v2 3∕2
a = a   1 - -2-
            c
(5.29)

.


5.3.8  Bewegte Masse

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1176]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 846])

PIC

Gedankenexperiment zur Bestimmung der relativistischen Masse

Von dem Startturm aus werden zwei identische Raketen in kurzer Zeit auf die Geschwindigkeit v oder -v beschleunigt. Wir betrachten die Situation nach der Beschleunigung. Im Ruhesystem des Startturms ist klar, dass der Schwerpunkt S am Ort bleibt, da wir eine bezüglich des Startturms symmetrische Situation haben.

Für den Reisenden in der Rakete A sieht die Situation so aus:

Für den Reisenden in der Rakete B sieht die Situation so aus:

Daraus würden A und B mit klassischer Mechanik gegenseitig schliessen, dass der Schwerpunkt des Systems sich vom Startturm wegbewegt.

Nach dem 1. Einsteinschen Postulat muss die Beschreibung sowohl für das Ruhesystem des Startturms wie auch für A (und für B) konsistent sein. Der Schwerpunkt S kann sich nur dann für A immer über dem Startturm befinden, wenn die Masse von B, mB, zunimmt. Der Abstand (für grosse Zeiten) von B zum Startturm im Bezugssystem von A geht wie

                  (              )
ℓ  = (w - v )·t =   ---2v-----  v  t
 B                  1 + v2∕c2
(5.31)

Der Abstand des Startturms von A ist in dessen Bezugssystem A = v·t. Wir können uns auch vorstellen, dass wir das System aus den beiden Raketen am Schwerpunkt unterstützen, die Situation ist analog zu einer Balkenwaage. Bezüglich des Schwerpunktes muss die Summe aller Drehmomente null sein. Dies geht offensichtlich nur, wenn die Masse von B, mB nicht konstant, sondern von der Geschwindigkeit w abhängt. Also ist

                            (              )
                              ---2v----
mA ℓA =  mB (w)ℓB =  mB (w )  1 + v2∕c2 - v  t = mAv ·t
(5.32)

Wir erhalten deshalb

                     v
mB  (w)  =   mA ---2v-------
                1+v2∕c2 - v
                     1
         =   mA ---2-------
                1+v2∕c2 - 1
                   1 + v2∕c2
         =   mA ----------2--2-
                2 - (1 + v ∕c )
                1-+-v2∕c2
         =   mA 1 - v2∕c2
                 2    2
         =   m  c--+-v-                           (5.33 )
               Ac2 - v2

Diese Gleichung sollte nun mit w ausgedrückt werden. Wir verwenden den Trick, dass

c2 - v2 = ∘ ----------
    2   2 2
  (c - v )
= √ ---------------
  c4 - 2c2v2 + v4
= √ -4----2--2---4-----2-2-
  c + 2c v  + c  - 4c v
= ∘ ------------------
  (c2 + v2)2 - 4c2v2

ist1 . Dann ist

 2    2
c--+-v-  =   --1--
c2 - v2      c22-v22
             c +v
         =   ∘---1-----
               (c2-v2)2
               (c2+v2)2
                    1
         =   ∘---2--22---22-
               (c-+(vc2+)v-24)c2v-

         =   ∘-----1-------
               1 - --4c22v222
                   (c +v)
         =   ∘-------1--------                   (5.34 )
               1 - -2--4v22-22
                   c (1+v ∕c )

Nun ist aber mit der Gleichung (5.30) für w gerade     2
(1+v42v∕c2)2- = w2 und damit

             ------1-----
mB (w ) = mA  ∘ -----2--2-
                1 - w ∕c
(5.35)


Die mit der Geschwindigkeit v bewegte Masse (in ihrem Ruhesystem mit m0, Ruhemasse) hat den Wert
             m
m (v) =  ∘-----0-----
           1 - v2∕c2
(5.36)


Der Rechenweg mit dem Startturm diente dazu, eine Markierung für den Schwerpunkt zu haben. Der Startturm ist eine Hilfskonstruktion.


Die zu einem Inertialsystem mit der Geschwindigkeit v bewegte Masse ist immer schwerer als eine im Inertialsystem ruhende Masse.
         m
m ′ = ∘------2-
        1 - vc2
(5.37)


Beispiel:

Ein Mensch, m = 60kg bewege sich mit v = 1m∕s. Die relativistische Massenzunahme Δm = m(v) - m0 ist dann

Δm  = 3.34·10 - 16kg

Dies entspricht der Masse von 1.68·1010 12C-Atomen.

5.3.9  Masse-Energie-Äquivalenz

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1176]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 847])

Nach Gleichung (5.36) wird die Arbeit (Kraft mal Weg), die in eine Masse gesteckt wurde, nicht nur zur Erhöhung der Geschwindigkeit, sondern auch zur Erhöhung der Masse verwendet. Wir können Gleichung (5.36) für kleine Geschwindigkeiten entwickeln

                          (       )
            m0                  v2 - 1∕2         m0 v2
m (v) = -∘-----2--2-=  m0  1 -  c2-     ≈ m0  + -2-c2-+ ...
          1 - v ∕c
(5.38)

Diese Gleichung könnte man auch als

                    2
m (v)c2  =   ∘--m0c------
               1 - v2∕c2
                  (       )
                       v2  -1∕2
         =   m0c2  1 - -2-
                       c
         ≈   m c2 + m0-v2 + ...
               0     2
         =   m0c2 + Ekin,klassisch + ...                (5.39 )

schreiben.


Nach der relativistischen Mechanik entspricht einer (geschwindigkeitsabhängigen) Masse die Energie
          2
E = m (v)c
(5.40)

.


Die relativistische kinetische Energie ist

                            (                )
                   2      2  ------1-----
Ekin,rel = E - m0c  = m0c   ( ∘ -----2--2 - 1)
                                1 - v ∕c
(5.41)

Der relativistische Impuls ist analog zum klassischen Impuls definiert:


                m0v
p = m (v)v =  ∘-----v2-
                1 - c2
(5.42)


Die relativistische Kraft ist analog zum 2. Newtonschen Gesetz durch

     dp-   d-(m-(v)v)
F  =  dt =     dt
(5.43)

gegeben.

Die Gesamtenergie E kann wie folgt umgeformt werden

E = m(v)c2 =    m0c2
∘-----------
  1 - v2∕c2
= ┌│ ----------
│∘ --m20c4--
  1 - v2∕c2 = ┌│ -------------------------
│∘  m20c4---m20c2v2 +-m20c2v2-
          1 - v2∕c2
= ┌ --------------------------
││ m20c4(1 - v2∕c2) + m20c2v2
∘ -------------2--2---------
          1 - v ∕c = ┌ -----------------
││          m20c2v2
∘ m20c4 + -----2--2
          1 - v ∕c
= ┌ -------------------
││              2 2
∘ m2c4 + c2--m-0v---
    0      1 - v2∕c2 = ∘ ------------
  m2 c4 + c2p2
    0 (5.44)

Dieses Resultat nennt man den relativistischen Energiesatz


Relativistischer Energiesatz
     ∘ ------------
E =    m20c4 + c2p2
(5.45)


5.3.10  Relativistisches Kraftgesetz *

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 16. 12. 2008: PDF

Wir betrachten eine Masse m, die mit einer konstanten Kraft F = F0 beschleunigt werde. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz ist

F = d
--
dtp
= d-
dt(mv  )
= dm
----
 dtv + mdv
---
dt
= (            )
( d----m0----)
  dt ∘ ----v2-
       1 - c2v + ---m0----
 ∘ ----v2-
   1 - c2dv-
dt
= -1-
2     (     )
m  ·  - 2 v- v
--0(-------c2)3--
    1 - v2 2
        c2dv-
dt + -∘-m0-----
   1 - v22
       cdv-
dt
= ---m0a----
(    v2)32
 1 - c2 (5.46)

Daraus berechnet man skalar

F--     ----dv----
m0 dt = (    v2) 32
         1 - c2
(5.47)

und

0t-F-
m0dt = -F-
m0t
= 0v(t)----dv----
(      2)32
  1 - vc2
=           ||
    v     ||
(------)-1||
 1 - v22  2||
     c0v(t) (5.48)
= ----v(t)----
(     v(t)2) 12
  1 -  c2 (5.49)

Daraus folgt

        F         1
v (t) = ---t∘-----(----)-
        m0    1 +  -Ft  2
                   m0c
(5.50)

und

a(t) = dv-(t)-
  dt
= F
---
m0       1
(-----------)-3
  1 + ( F-t)2 2
       m0c (5.51)

PIC PIC

Zeitverlauf der relativistischen Geschwindigkeit (links) und der relativistischen Beschleunigung bei konstanter Kraft.

Die folgenden Approximationen können gemacht werden:

    (         F t                  m c
    |||{   (     m0-      )  für  t « -F0
v ≈          1 (-Ft)- 2            m0c
    ||| c  1 - 2  m0c       für  t »  F
    (
(5.52)

Für die Beschleunigung erhalten wir die Approximationen

       (|     -F-      für  t «  m0c
       |{ (   m)02(  )3            F
a(t) ≈ |   mF0-   ct    für  t »  m0Fc
       |(
(5.53)

Sowohl bei der Geschwindigkeit wie auch bei der Beschleunigung ist t «m0c
 F der klassische Newtonsche Bereich.

Der Impuls selber nimmt linear mit der Zeit zu, unabhängig, ob eine relativistische oder eine klassische Betrachtung durchgeführt wird. Im klassischen Fall beruht die Impulszunahme auf der Zunahme der Geschwindigkeit, im relativistischen Fall auf der Zunahme der Masse.

Die kinetische Energie ist durch Gleichung (5.41) gegeben. Setzen wir Gleichung (5.50) (v2∕c2 =   2
1+AA2--) mit A = Ft∕(m0c), so erhalten wir

            (                  )
                                         ( (      )1∕2    )
Ekin = m0c2 |( (-----1---)---- 1|)  = m0c2    1 + A2    -  1
               1 - -A2-2 1∕2
                   1+A
(5.54)

oder

            ( (            )1 ∕2   )
           2       ( -Ft-)2
Ekin = m0c  (   1 +  m  c       - 1)
                       0
(5.55)

PIC

Verlauf der kinetischen Energie bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Die Approximation ergibt

       (  1 F2t2           m0c
       |{  2 m0-- für  t « -F-
Ekin ≈ |   F ct  für  t » m0Fc
       (
(5.56)

Die kinetische Energie nimmt im relativistischen Falle nur linear mit der Zeit zu.

Mit Gleichung (5.50) kann auch die Distanz als Funktion der Zeit berechnet werden. Wir integrieren

      ∫ t           ∫ t       F-t
x(t) =   v (τ )dτ = c   (------m0c--)---d τ
       0             0       (-Ft)2  1∕2
                         1 +  m0c
(5.57)

Wir substituieren A = Ft-
m0c und bemerken, dass dA = -F-
m0cdt ist, oder auch dt = m0c
 FdA.

               ∫
          m0c-   Ft∕(m0c)-√--A----
x(t) =   c F    0         1 + A2 dA
             2                |F t∕(m0c)
          m0c--(√ ------2    )||
     =     F      1 + A  -  1 ||
               ( ┌│ -----------0   )
         m0c2  | │∘     ( F t)2    |
     =   ----- (   1 +  ----   - 1)                  (5.58 )
           F            m0c

PIC

Verlauf der zurückgelegten Distanz bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Wir können wieder approximieren

       (
       |{  12mF-t2  für  t «  mF0c
x(t) ≈      c0t   für  t »  m0c
       |(                   F
(5.59)

Die weitere Rechnung zeigt, dass die relativistische Eigenzeit τ = tsich in der beschleunigten Masse langsamer bewegt.

Wir verwenden Gleichung Gleichung (5.50) und haben dann

v
--
c = F t
----
m0c      1
-∘----(----)2
  1 +   Fmtc
         0
(  )
 v-
  c2 = (     )
  F-t-
  m0c----1------
1 + (-Ft)2
     m0c
1 -(  )
 v-
 c = 1 -(     )
  F-t-
  m c
    0----1------
    ( F-t)2
1 +  m0c
=      1
----(-Ft)2-
1 +  m0c
∘ ----(--)-
  1 -  v-
       c = ∘-----1------
      (-Ft )2
  1 +  m0c

Mit

         -------
       ∘     v2         dt
dτ = dt  1 - ---=  ∘-----(----)-
             c2      1 +  -Ft  2
                          m0c
(5.60)

bekommt man

    ∫t      d^t         m  c       ( F t )
τ =    ∘-----(---)--=  --0-arcsinh   ----
    0    1 +  -F^t 2     F           m0c
              m0c
(5.61)

PIC

Verlauf der Eigenzeit bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Wir kehren Gleichung (5.61) um und erhalten

             (    )
    m0c-      -Fτ-
t =  F  sinh  m0c

und setzen dies in den Weg ein.

             ( ┌ --------------------   )
        m0c2 | ││     (     ( F τ) )2    |    m0c2 (     ( F τ )    )
x (τ ) = -----( ∘ 1 +  sinh  ----     - 1) =  -----  cosh  ----  - 1
         F                  m0c               F           m0c
(5.62)

PIC

Zurückgelegte Strecke als Funktion der Eigenzeit.

5.3.11  Lorentz-Transformation

PIC Link zur Vorlesung:(Lorentz-Transformation)

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1157]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 853])

Die im vorherigen Abschnitt besprochenen Transformationen der Zeit und der Länge lassen sich in der sogenannten Lorentz-Transformation zusammenfassen.

PIC

Beschreibung eines Punktereignisses in zwei gegeneinander bewegten Bezugssystemen

Das Punktereignis P soll im gestrichenen Koordinatensystem (B) sowie im ungestrichenen Koordinatensystem (A) ausgemessen werden.

Im gestrichenen Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren ex und ect hat der Punkt P die Koordinaten

  ′    ′        ′
r P = x ex′ + (ct )ect′
(5.63)

Andererseits hat dieser gleiche Punkt im ungestrichenen (Labor-)System mit den Einheitsvektoren ex und ect die Koordinaten

rP  = xex + (ct)ect
(5.64)

Um die Transformation zu berechnen betrachten wir zuerst einen Punkt auf der x-Achse und dann einen auf der ct-Achse. Wegen der Linearität der Relativitätstheorie kann die Lorentz-Transformation aus diesen beiden Resultaten zusammengesetzt werden.

PIC

Transformation eines Punktes auf der x-Achse in das ungestrichene Koordinatensystem

Aus der Längenkontraktion (5.15) erhält man für einen Punkt auf der x-Achse

        x′
x =  ∘--------
       1 - vc22
(5.65)

Gleichzeitig hat der Punkt Px im ungestrichenen Laborsystem auch eine nicht-verschwindende ct-Koordinate

        x′              v     x ′
ct = ∘------2· tan α =  -· ∘------2-
       1 - vc2           c    1 -  vc2-
(5.66)

Zusammen haben wir also die Abbildung

                               (          )      (             )
                                    x ′            v     x ′
r′Px = x ′ex′     - →      rPx = ( -∘-----2-) ex + ( -· ∘------2-) ect
                                   1 -  vc2-         c    1 - vc2
(5.67)

PIC

Transformation eines Punktes auf der ct-Achse in das ungestrichene Koordinatensystem

Aus der Zeitdilatation 5.17 erhält man für einen Punkt auf der ct-Achse

        ct′
ct = ∘------2-
       1 + vc2
(5.68)

Gleichzeitig hat der Punkt Pct im ungestrichenen Laborsystem auch eine nicht-verschwindende x-Koordinate

         ′                      ′
x =  ∘--ct---· tan α = v-· ∘--ct----
       1 - v2           c    1 - v2
           c2                    c2
(5.69)

Zusammen haben wir also die Abbildung

                                 (         ′   )      (      ′  )
r ′  = ct′e  ′     -→      r    = ( v· -∘-ct----) e  + ( ∘--ct---) e
  Pct       ct                Pct     c     1 - v2   x       1 - v2    ct
                                             c2               c2
(5.70)

Aus den Beziehungen

 ′     ′     ′
rP =  rPx + rPct    und      rP  = rPx + P Pct
(5.71)

erhalten wir die Lorentztransformation für eine Bewegung in die x-Rchtung mit der Geschwindigkeit vx

r′ = x ′e ′ + (ct′)e  ′    - →
 P      x         ct               (     (  )     )      (      (  )   )
                                    x ′ + vxc  (ct′)         ct′ + vxc  x′
             rP =  xex + (ct)ect = (---∘-----v2---) ex + ( --∘-----v2--) ect
                                         1 - cx2                1 - cx2
(5.72)

In Koordinatenschreibweise lautet die


Lorentz-Transformation
x = x′ + vx· (ct′)
---∘-c----2---
     1 - vcx2 (5.73)
y = y (5.74)
z = z (5.75)
ct =    ′   vx   ′
(ct)∘-+--c ·x-
     1 - vx2
         c2 (5.76)

In Worten können diese Überlegungen auch so ausgedrückt werden:

Wenn wir die obigen Beobachtungen zusammenfassen, erhalten wir

x = (            )
   ′  vx-  ′
 x  +  c (ct)∘----1------
  1 - v2∕c2
       x
ct = (           )
 vx- ′     ′
  c x + (ct )-∘---1------
   1 - v2∕c2
        x (5.77)

Dies ergibt die Lorentztransformation für zwei sich entlang der x-Achse gegeneinander bewegende Inertialsysteme (siehe Gleichungen (5.73) bis (5.76). Wenn wir nun nicht mehr mit ct rechnen sondern mit der Zeit t direkt und erhalten wir die (sich schlechter zu merkende) die Lorentz-Transformation.


      x′+vxt′          ′         ′   vxx′∕c2+t′
x = -√1--vx2∕c2-   y = y    z = z t = √1--v2x∕c2
(5.78)


Die Lorentz-Transformation kann auch in Matrix-Schreibweise dargestellt werden:

(  )                (                 ) (   )
 x                     1    0  0  vx∕c    x′
|| y||                ||  0    1  0   0  || || y′||
||  ||    -----1------||                 || ||  ′||
|| z|| =  ∘ -----2--2 ||  0    0  1   0  || || z ′||
(ct)      1 - vx∕c  (vx ∕c  0  0   1  ) ( ct)
(5.79)

5.3.11.1. Einheitslängen auf gegeneinander bewegten Inertialsystemen

Mit Hilfe der Lorentztransformation (5.77) kann man auch die Massstabsmarkierungen auf den Achsen des bewegten (x,ct)-Bezugssystems angeben.

PIC

Skalen im Minkowski-Diagramm

Wir berechnen im (x,ct)-Bezugssystem die Lage der Punkte r1= (e, 0) und r2= (0,e) im (x,ct)-System. e ist dabei die Einheitslänge. Wir haben für r1

x =     v
e∘-+-c·0--
  1 -  v2-
       c2 = -∘--1-----
   1 - v2
       c2·e
ct = v
∘c·e-+-0-
       v2-
  1 -  c2 =     v
-∘--c-----
       v2
   1 - c2·e (5.80)

und für r2

x =     v
0∘-+-c·e--
  1 -  v2-
       c2 =     v
-∘--c-----
   1 - v2
       c2·e
ct = v
-c·0-+-e-
∘      v2-
  1 -  c2 = ----1-----
 ∘     v2
   1 - c2·e (5.81)

Mit den Gleichungen (5.80) und (5.81) wurden die Einheitsmarkierungen auf der x- und der ct-Achse in Abbildung 5.3.11.1 berechnet.

5.3.11.2. Lorentz-Transformation in drei Raumdimensionen *

Nach Freund [Fre04] definiert man üblicherweise

β = v-
c (5.82)
γ = (1 - β ·β ) -12 = (    (  2    2    2))
  1 -  βx + βy + βz-12 (5.83)
α = Ekin
----2
m0c = γ - 1 (5.84)

Damit kann nach Freund [Fre04] die Lorentz-Transformation geschrieben werden als

r = r + α(β·r )β
----2----
   β - γβ(ct) r = r+ α(β ·r ′) β
-----2---
   β + γβ   ′
(ct )
(ct′) = γ((ct) - β·r ) (ct) = γ((ct′) + β ·r ′) (5.85)

Ausgeschrieben lautet die Hintransformation nach (5.85)

         (       2                          )
( x′)    |1 + α ββx2   α βxββ2y-   α βxββ2z   - γβx|  (x )
||  ′||    ||   βyβx        β2y     βyβz        ||  ||  ||
|| y′||    || α  β2    1 + αβ2   α  β2 2  - γβy||  || y||
|| z || =  || α βzββ2x    α βzββ2y-  1 + α ββz2  - γβz||  || z||
(ct′)    |  - γ β    - γβ      - γ β     γ  |  (ct)
         (      x        y         z        )
(5.86)

Setzt man βy = βz = 0 bekommt man wieder das Resultat von Gleichung (5.77).

Die allgemeinen Geschwindigkeitstransformationen nach Freund [Fre04] lauten

u =     1
----u·v--
1 -  c2[u    ( αu ·v     )   ]
 -- +   ----2- - 1  v
 γ      γ  v
u =     1
----u′·v-
1 -   c2[      (              )  ]
  u′      α u ′·v
  ----  - -----2---  1  v
  γ       γ   v (5.87)

5.3.11.3. Lorentz-Transformation als Drehung *

PIC

Lorentztransformation als Drehung

Wir erproben, was wäre, wenn wir die Lorentz-Transformation als Drehung auffassen würden. Die x-Achse würde positiv (im Gegenuhrzeigersinn) um α gedreht, die ct-Achse würde negativ (im Uhrzeigersinn) um den gleichen Winkel α gedreht.

Wir verwenden die Definition tan α = v∕c sowie cos α = (1 + tan 2α)-12 und sin α = tan α·(1 + tan 2α)-12.

Dann ist

a = cos α =      1
√--------2---
  1 + tan  α =      1
∘------2--2-
  1 + v ∕c
cb = sin α =    tan α
√--------2---
  1 + tan  α =      v
-∘------2--2-
c  1 + v ∕c
cA = 1·c cos α = -----c-------
√1--+-tan2-α = -----c------
∘ -----2--2
  1 + v ∕c
b = 1·c sin α = ---ctan-α----
√ -------2--
  1 + tan  α = -----v------
∘ -----2--2
  1 + v ∕c
und damit
a = ∘--1-----
  1 + v22
      c b = v-
c2-∘--1----
   1 + v22-
       c
A = ∘--1-----
  1 + v22
      c B = ∘--v-----
  1 + v22
      c (5.88)

Eingesetzt, würde man eine Transformation erhalten, die formal wie die Lorentztransformation aussieht, die aber unter der Wurzel ein +-Zeichen anstelle des geforderten --Zeichens besitzt. Die Drehgleichungen wären dann

x = x cos α + y sin α =      1
∘------2--2-
  1 + v ∕cx+ v
c-   1
∘-----v2-
  1 + c2ct
ct = - x sin α + y cos α = -     v
-∘------2--2-
c  1 + v ∕cx+      1
∘------2--2-
  1 + v ∕cct (5.89)

oder

x = -----1------
 ∘ -----2--2
   1 + v ∕cx+ ---v-----
∘ ----v2
  1 + c2t
t = -------v-------
 2∘ -----2--2
c   1 + v ∕cx+ -----1------
 ∘ -----2--2
   1 + v ∕ct

Diese Rotation sieht unserer Lorentz-Transformation sehr ähnlich. Die Vorzeichen unter den Wurzeln beim Cosinus und beim Sinus sowie bei der Gleichung für t stimmen nicht.

Wenn man jedoch nicht ct als Zeitachse verwendet, sondern ict, wobei i = √ ---
  - 1 die imaginäre Einheit ist, bekommt man mit den obigen Drehgleichungen die Lorentz-Transformation. Dabei müssen alle Vorkommnisse von c2 durch -c2 ersetzt werden.

Wir erhalten also

x = ∘------1-------
  1 + v2∕(- c2)x+ ∘---v------
  1 + (v-2c2)-t =∘----1------
  1 - v2∕c2x+ -∘--v-----
   1 - v22
       ct
t = -----∘---v----------
- c2 1 + v2∕ (- c2)x+ ∘------1-------
  1 + v2∕(- c2)t =--∘---v-------
c2  1 - v2∕c2x+ -∘---1------
   1 - v2 ∕c2t

Der Vergleich mit Gleichung (5.77) zeigt, dass dies die Lorentztransformation ist. In einem Raum mit den Koordinaten (x; y; z; ict) ist die Lorentz-Transformation nichts anderes als eine Rotation des Koordinatensystems.

5.3.11.4. Relativistisches Abstandsmass

Wenn wir, analog zum klassischen dreidimensionalen Raum (r = √ ------------
  x2 + y2 + z2) den Abstand
     ∘ -2----2----2-------2   ∘ -2----2----2---2-2-
r =    x  + y +  z + (ict) =    x  + y +  z -  ct

definieren, haben wir eine, vom jeweiligen Koordinatensystem unabhängige Definition des Abstandes. Dieser sogenannte Viererabstand ist unabhängig vom Koordinatensystem, sofern die einzelnen Koordinatensysteme mit der Lorentz-Transformation ineinander übergeführt werden können. Ein Punktereignis wird in dieser Sprache mit einem Vierervektor beschrieben.



Der so gemessene Abstand ist relativistisch invariant.

5.3.12  Vergleich der Lorentz-Transformation mit der Galilei-Transformation




Grösse Galilei-Transformation Lorentz-Transformation
klassische Physik relativistische Physik



Ortskoordinaten x; y; z x; y; z
Zeitkoordinaten t ict
Länge x = x+ vt x =   x′+vt′
√1--v2∕c2-
Zeit t = t t = vx′∕c2+t′-
√ 1-v2∕c2
Abstand r = √x2-+--y2 +-z2 r = √x2--+-y2-+-z2 --c2t2-



Vergleich von Galilei- und Lorentz-Transformation

5.3.13  Das Zwillingsparadoxon

PIC

Weltlinie beim Zwillingsparadoxon

Wir nehmen an, dass B sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Bs Eigenzeit ist

         ∘ -----2-
Δt ′ = Δt  1 - v--
               c2

wobei

Δt =  ℓ-
      v

Für A ist die gesamte Reisezeit

             2ℓ-
ttot = 2Δt =  v

Für B dauert die Reise

                ∘-------
t′  =  2Δt′ = 2l  1 -  v2-< t
tot          v        c2    tot

Von A aus gesehen ist B jünger nach der Reise als A. Das Paradox ist: Für B bewegt sich A, warum ist A nicht jünger als B?

PIC

Zwillingsparadoxon: Fahrplan der Signale, die A und B austauschen

Test: A und B senden regelmässig Signale. Wir nehmen an, dass die Reise = 8 ly (Lichtjahre) weit geht. Die gesamte Reise soll ttot = 20 yr dauern. Die Reisegeschwindigkeit muss also v = 0.8c sein. Dann ist die Zeit für den Reisenden ttot = 20 yr·∘ --------------
  1 - (0.8c)2∕c2 = 12 yr.

A sendet einmal pro Jahr ein Signal (ν = 1 yr-1) aus, genauso wie B. B misst auf dem Hinweg die Frequenz (Dopplereffekt) ν= ∘ c-v-
  c+v = ∘ 0.2
  1.8 = ∘ -2-
  18 = 1
3 yr-1, also zwei Signale auf der ganzen Hinreise. Auf dem Rückweg mist B wegen dem Dopplereffekt die Frequenz ν= ∘ ----
  c+v
  c-v = ∘ ---
   0.8-
   0.2 = 3 yr-1, also 18 Signale. Zusammen misst B auf der ganzen Reise 20 Signale.

B sendet genauso Signale mit der Frequenz ν = 1 yr-1 aus. A misst auf Bs Hinweg wegen dem Dopplereffekt Signale mit der Frequenz ν= ∘ ----
  c-v
  c+v = 1
3 yr-1. Während 18 Jahren misst er also total 6 Signale. Auf dem Rückweg von B misst A Signale mit der Frequenz ν= ∘ ----
  cc+-vv = 3 yr-1. Während 2 Jahren misst A total 6 Signale. Warum ist B jünger? B befindet sich während seiner Reise in 2 Inertialsystemen, A nur in einem.



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