©2005-2014 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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6.1  Grundbegriffe

6.1.1  Definition

PIC

Definition: ein Körper ist starr, wenn rij für beliebige is und js jederzeit konstant ist.

6.1.2  Masse und Dichte

Die Massendichte (auch kurz Dichte genannt) ist definiert durch

ρ(r) = ρm (r ) = lim  Δm--(r-)
                ΔV →0   ΔV
(6.1)

Die gesamte Masse ist

     ∭               ∭
m  =       ρ(r) dV =       ρ (x,y,z)dxdydz
      V                V
(6.2)

6.1.3  Schwerpunkt

Der Schwerpunkt S eines starren Körpers hat bezüglich dieses Körpers eine fest Lage. Ein Körper kann in einem homogenen Kraftfeld an seinem Schwerpunkt gestützt werden, und er is tim Gleichgewicht. Der Schwerpunkt ist gegeben durch

                                     ∫
      1 ∫          1 ∫               V rdm
rS =  --  rdm   = --   r· ρ (r )dV  = -∫-----
      m V         m  V                V dm
(6.3)

d.h. der Ortsvektor rS des Schwerpunktes ist das mit der Dichte gewichtete Mittel aller Ortsvektoren des betrachteten starren Körpers.

PIC

Schwerpunktsystem

Im Laborsystem gilt

∭

      rdm  = mrs
  V
(6.4)

Daraus folgt mit r = rS + r, dass

∭            ∭                       ∭           ∭
      rdm  =       (r  + r′)dm  = r        dm +       r ′dm
                     S              S
  V            V                       V          V

∭
       ′
      r dm  = 0
  V
(6.5)

d.h. im Schwerpunktsystem liegt S am Koordinatenursprung.

6.1.4  Drehungen des starren Körpers

PIC

Koordinatensystem zur Berechnung der Rotation eines starren Körpers

Wir betrachten 2 Koordinatensysteme, beide mit dem Ursprung im Schwerpunkt S. x*,y*,z* ist das raumfeste Koordinatensystem, d.h. es dreht sich nicht mit dem Körper mit. x,y,z: ist ein körperfestes Koordinatensystem, das sich mit dem Körper mitdreht. Die Koordinatensysteme werden durch die Einheitsvektoren ex*,e y*,e z* und e x,ey,ez beschrieben.

Also ist

r(t) = x*(t) e x* + y*(t) e y* + z*(t) e z*
= xex(t) + yey(t) + zez(t) (6.6)

ex*,e y*,e z* : sind zeitunabhängige Basisvektoren, e x,ey,ez* : sind zeitabhängige Basisvektoren.

6.1.4.1. Eulersche Winkel *

Das Koordinatensystem ex,ey,ez geht durch drei Drehungen aus dem Koordinatensystem ex*,e y*,e z* hervor.

PIC

Definition der Eulerschen Winkel

Die Eulerschen Winkel sind

  1. Drehung um ez* : α
  2. Drehung um 0A : β
  3. Drehung um ez* : γ

0A steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch ez und ez*.

Die Reihenfolge der Drehungen ist

  1. Drehung: Bringe ex* senkrecht zu e z (In der Abbildung 6.1.4.1 zeigen die Kreise die Ebenen senkrecht zu ez* und senkrecht zu e z Die Schnittlinie der beiden Kreise ist 0A.
  2. Drehung: Bringe z-Achse in richtige Lage
  3. Drehung: Bringe x,y-Achsen in die richtige Lage.

PIC Versuch zur Vorlesung: Nichtkommutativität von Drehungen (Versuchskarte M-108)

Die Beziehungen zwischen dem ungesternten und dem gesternten Koordinatensystem können mit einer Matrix formuliert werden:

x* = R 11x + R12y + R13z
y* = R 21x + R22y + R23z
z* = R 31x + R32y + R33z (6.7)

und

x = R11x* + R 21y* + R 31z*
y = R12x* + R 22y* + R 32z*
z = R13x* + R 23y* + R 33z* (6.8)

In Matrixschreibweise haben wir

(  x* )    ( R     R    R   ) (  x )
|   * |    |   11   12    13 | |    |
(  y* ) =  ( R21   R22  R23 ) (  y )
   z         R31   R32  R33      z
(6.9)

und

(    )    (                ) (     )
   x        R11   R21  R31      x*
|(  y |) =  |( R21   R22  R23 |) |(  y* |)
                                 *
   z        R31   R32  R33      z
(6.10)

Wir haben hier behauptet, dass die Transformationsmatrix

    (  R11  R12  R13  )
    |                 |
T = (  R21  R22  R23  )
       R31  R32  R33
(6.11)

und die inverse Transformationsmatrix

       (  R    R     R   )
  -1   |    11    21   31 |
T    = (  R12  R22   R32 )
          R13  R23   R33
(6.12)

durch

TT =  T- 1
(6.13)

verbunden sind. Dabei ist TT   die transponierte Matrix (an der Hauptdiagonale gespiegelt) und T-1 die inverse Matrix.

In Matrixschreibweise haben wir

x* = Tx
x = T-1x* = TT x*

Die Matrix T berechnet sich aus dem Matrixprodukt der drei Drehmatrizen. Dabei betrachten wir die Transformation aus dem ortsfesten System ins mitbewegte System, also die Matrix T-1 = TT .

PIC

Wir betrachten die die xy-Ebene von der z-Achse aus

Dann ist

x* = a - b = x cos α - y sin α
y* = c + d = x sin α + y cos α

und

x = a + b = x* cos α + y* sin α
y = -c + d = - x* sin α + y* cos α

Die Drehungen um die x folgt analog. Dann sind die Drehmatrizen gegeben durch

Rez*(α) = (   cosα    sin α  0 )
|  - sinα   cosα  0 |
||                   ||
(     0      0    1 ) Drehung um α um die ez*-Achse (6.14)
Re 0A(β) = (  1     0      0   )
|                   |
||  0   cosβ    sin β ||
(  0  - sinβ  cos β ) Drehung um β um die 0A (6.15)
Rez(γ) = (                   )
|   cosγ   sin γ  0 |
||  - sinγ  cos γ  0 ||
(     0      0    1 ) Drehung um γ um die ez-Achse (6.16)

Dann ist

T T = T- 1 = Re (γ)Re --(β)Re*(α )
               z      0A      z
(6.17)

wobei die Multiplikation von rechts durchzuführen ist. Das Resultat ist

      ( -  cosβ sin α sin γ + cosα cosγ   cosβ cosα sinγ + sinα cos γ  sin β sin γ )
      |                                                                        |
TT =  || -  cosβ sin α cosγ - cosα sinγ   cosβ cosα cosγ - sin αsin γ  sin β cosγ ||
      (           sinβ sinα                    - sin β cos α           cos β   )
(6.18)

und damit

     (                                                                            )
       - cos β sin αsin γ + cosα cosγ - cos β sin α cosγ - cosα sinγ    sin β sin α
     ||  cos β cos α sin γ + sin α cosγ   cos β cosα cosγ - sinα sinγ    - sin β cosα ||
T =  |(           sinβ sinγ                      sinβ cos γ               cos β    |)
(6.19)

oder

Rik

k = 1

k = 2

k = 3







i = 1

- cos β sin α sin γ+ cos α cos γ

- cos β sin α sin γ- cos α sin γ

sin β sin α

i = 2

cos β cos α sin γ+ sin α cos γ

cos β cos α cos γ- sin α sin γ

- sin β cos α

i = 3

sin β sin γ

sin β cos γ

cos β

Form der Transformationsmatrix T

Beim einem allgemeinen rotierenden starren Körper sind die Eulerwinkel im Allgemeinen zeitabhängig!

6.1.5  Freiheitsgrade der Bewegungen

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 19. 12. 2008: PDF
Seminar vom 19. 12. 2008 (Hausaufgaben): Aufgabenblatt 10 (HTML oder PDF)

Die Lage eines starren Körpers ist gegeben durch



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