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6.3  Der starre Rotator

6.3.1  Kinematik

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 09. 01. 2009: PDF

PIC

Bezeichnungen an einem starren Rotator


Definition: Ein starrer Rotator ist ein starrer Körper, der um eine feste Achse rotiert.

Ein starrer Rotator wird mit einem körperfesten Koordinatensystem beschrieben.

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 09. 01. 2009: PDF
Seminar vom 12. 01. 2009: Aufgabenblatt 11 (HTML oder PDF)
Probeklausur vom 22. 12. 2008

Die Winkelgeschwindigkeit wird durch einen Vektor ω beschrieben. Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit, |ω| = ω gibt 2π mal die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde an, die Richtung des Geschwindigkeitsvektors die Richtung der Drehachse, wobei der Daumen der rechten Hand zur Spitze des Vektors zeigt und die Finger die Drehrichtung angeben.

ω(t) = ω(t) ·e
ω(t) = d-ϕ(t)
  dt (6.1)

Dabei ist ϕ der momentane Drehwinkel. ω(t) heisst die momentane Winkelgeschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit des Massenpunktes Δmi am Ort ri = ri* + R i ist

vi = ˙ri = ˙Ri = ω ×  ri = ω × Ri
(6.2)

6.3.2  Trägheitsmoment

Jedes Massenelement Δmi hat eine kinetische Energie 1
2Δmivi2

Dann ist die kinetische Energie eines rotierenden Körpers gegeben durch

Ekin = 1
--
2Iω2
I = iRi2Δm i oder
I = R2ρdV = (e × r) 2ρdV (6.3)

Beweis: Wir beginnen mit der Vektoridentität

(a ×  b) 2 = (a × b ) ·(a × b)
= a2b2 -(ab ) 2 (6.4)

mit

(a × b) = (     )
|  a1 |
(  a2 )
   a3×(    )
|  b1|
(  b2)
   b3
= (              )
|  a2b3 - a3b2 |
(  a3b1 - a1b3 )
   a1b2 - a2b1 (6.5)
              (             ) 2
                a2b3 - a3b2
(a × b)2  =   |( a3b1 - a1b3 |)
                a b  - a b
                 1 2    2 1
          =   (a2b3 - a3b2)2 + (a3b1 - a1b3)2 + (a1b2 - a2b1)2
          =   a2b2- 2a  a bb  + a2b2
               2 3     2 3 23    3 2
              +a23b21 - 2a1a3b1b3 + a21b23
              +a2b2 - 2a a b b  + a2b2                           (6.6)
                 12     1 2 1 2    2 1
  2  2         2      ( 2    2    2)( 2    2   2)                      2
a  ·b  - (a·b )   =    a1 + a2 + a3  b1 + b2 + b3  - (a1b1 + a2b2 + a3b3)
                  =   a2b2+ a2 b2 + a2b2 + a2b2+  a2b2+ a2b2 + a2b2+  a2b2+ a2b2
                       1 12 2  122 2  1 32 2  2 1    2 2   2 3    3 1    3 2   3 3
                      - a1b1 - a2b2 - a3b3 - 2a1a2b1b2 - 2a1a3b1b3 - 2a2a3b2b3
                  =   a2b2+ a2 b2 + a2b2 + a2b2+  a2b2+ a2b2
                       1 2    13    2 1    2 3    3 1   3 2
                      - 2a1b1a2b2 - 2a1b1a3b3 - 2a2b2a3b3                  (6.7)

Also ist

       2    2 2       2
(a × b) =  a b  - (ab )
(6.8)

Für ein Massenelement Δmi ist die kinetische Energie im Laborsystem

ΔEkin = 1-
2Δmivi2 = 1-
2Δmi(ω × Ri ) 2
= 1-
2Δmi(  2   2           2)
 ω  ·R i - (ω ·Ri )
= 1
--
2ω2Δm iRi2 (6.9)

da ω·Ri = 0 ist. Die kinetische Energie Ekin aller Massenpunkte ist dann

Ekin = i1-
2Δmivi2 = 1-
2 iΔmi(ω ×  Ri) 2
= 1
--
2 iΔmi(  2    2          2)
  ω ·R  i - (ω ·Ri  )
= 1-
2ω2 iΔmiRi2 (6.10)

PIC Versuch zur Vorlesung: Stangen (Versuchskarte M-180)

6.3.2.1. Satz von Steiner

Der Satz von Steiner erlaubt einem, das Trägheitsmoment für eine beliebige Achse zu berechnen, wenn das Trägheitsmoment bezüglich einer dazu parallelen Achse durch den Schwerpunkt bekannt ist.

PIC

Trägheitsmoment für eine beliebige Drehachse.

PIC Versuch zur Vorlesung: Satz von Steiner (Versuchskarte M-038)

Behauptung


Es gilt der Satz von Steiner
           2
I = IS + ma
(6.11)


Beweis: Wir berechnen die kinetische Energie eines Massenelements Δm. Es ist Ri = a + Ri*.

             1-∑        2
Ekin(e)  =   2    Δmiv i
             1 ∑
         =   --   Δmi  (ω × R *i)2
             2
         =   1-∑  Δm   (ω × (R  - a ))2
             2        i        i
             1-∑                        2
         =   2    Δmi  (ω × Ri -  ω × a )
             1 ∑                    1∑
         =   --   Δmi  (ω × Ri )2 - --  Δmi  (ω ×  Ri) · (ω × a )
             2                      2
             - 1-∑  Δm   (ω  × a) · (ω × R  ) + 1∑  Δm   (ω ×  a)2
               2       i                  i    2       i
             1-∑                2   1∑
         =   2    Δmi  (ω × Ri ) -  2   Δmi  (ω ×  a)·  (ω  × Ri )
               1 ∑                             1∑
             - --   Δmi  (ω  × a) · (ω × Ri ) + --  Δmi  (ω ×  a)2
               2                               2
         =   1-∑  Δm   (ω × R  )2
             2 ∑      i       i
             -    Δmi  (ω × a )· (ω ×  Ri)

             + 1-∑  Δm  (ω  × a)2
               2       i

Der Mischterm kann umgeschrieben werden

Δmi(ω × a ) ·(ω × Ri ) = (ω  × a) ·(    [∑          ])
 ω ×      ΔmiRi
(6.12)

Ein Ortsvektor im Schwerpunktsystem ist

       *
ri = r i + Ri

Dabei ist ri* parallel zu ω. Deshalb ist

ω  × r*i = 0

Also ist auch

ω × [∑  Δm   R ] = ω ×  [∑  Δm   (R  + r*)] = ω × [∑  Δm   r ]
            i  i                i   i   i                 i i

Nun ist aber im Schwerpunktsystem

    ∑           ∑
0 =    Δmiri  =     Δmi (Ri +  r*i)

Also ist der Term Δmi(ω × a) ·(ω × Ri ) = 0.

Damit wird die kinetische Energie

Ekin = 1
2- Δmi(ω ×  Ri) 2 + 1
2- Δmi(ω × a) 2
= 1
--
2ω2 ∑
   ΔmiR2i
◟-----------◝◜-----------◞ + 1
--
2ω2a2 ∑
    Δmi
◟-------◝◜-------◞
= 1
2-ω2I S + 1
2-ω2a2m (6.13)
da ja ω Ri und ω a ist. Hierbei haben wir die Definitionen m = Δmi und IS = ΔmiRi2 verwendet.

Einige Trägheitsmomente für eine Achse durch den Schwerpunkt sind:

Kugel
     2-   2
IS = 5 mr
(6.14)

wobei r der Kugelradius ist.

Vollzylinder
Zylinderachse, Radius r, Länge z.
Is = ρ 0z 02π 0rR2RdRdφdz = 2πρh 0rR3dR
= 2π
---
4ρhr4 = 1
--
2mr2 (6.15)
Quader
Der Quader habe die Seiten a, b und c. Er rotiere um eine zu c parallele Achse durch den Schwerpunkt.
Is = ρ -a
2a2 -b
2b2 0c(       )
 y2 + z2dxdydz = -a
2a2 -b
2b2 (       )
 y2 + z2dydz
= -a2a
2 (1  3     2)||
 --y + yz   ||
 3 -b2b
2 dz = -a2a
2 (         )
  b3     2
  ---+ bz
  12dz
= c(          ) |
  b3-    z3- ||
  12z + b 3  ||-a2a
2 = cabρb2 +-a2
  12
= m  2   2
a--+-b-
   12 (6.16)

Als Anwendung betrachten wir eine schiefe Ebene hinunterrollende Walze. Wir machen eine Energiebetrachtung.

PIC

Rollende Walze

PIC Versuch zur Vorlesung: Trägheitsmoment (Versuchskarte M-052)

v = vs = ω·a
Epot(oben) = mgh
= Ekin(unten)
= 1
--
2mvs2 + 1
--
2Isω2
= 1-
2mvs2 + 1-
2Is 2
vs-
a2
= mv2
-s-
2(         )
       Is
 1 + ---2-
     ma

Also folgt für die Endgeschwindigkeit

           (         ) - 1
     ∘ ----      -Is--  2
vs =   2gh   1 + ma2
(6.17)

Punktmasse
Is = 0 vs = √ ----
  2gh
Vollzylinder
Is = 1
2ma2 v s = 2∘ gh-
   3
Hohlzylinder
Is = ma2 v s = √gh--

Ein Hohlzylinder rollt also langsamer eine schiefe Ebene hinunter wie ein Vollzylinder mit gleicher Masse und gleichem Durchmesser. Beide sind langsamer als eine Punktmasse.

6.3.3  Drehimpuls

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 13. 01. 2009: PDF
Seminar vom
: Aufgabenblatt 12 (HTML oder PDF)

PIC

Berechnung des Drehimpulses

Analog zum Translations-Impuls eines Massenpunkts gilt für einen Massenpunkt

ΔLi = ri × Δpi
= Δmi·ri ×(ω ×  ri) (6.18)

Damit gilt für den ganzen Körper

                               ∫
      ∑
L0 =     Δmi  (ri × (ω × ri)) =   ρ(r) (r ×  (ω  × r))dV
       i                       V
(6.19)

Die kinetische Energie eines Körpers mit dem Drehimpuls L ist

        1
Ekin =  -L0 ·ω
        2
(6.20)

Beweis:

Ekin = 1-
2 Δmivi2
= 1-
2 Δmi(ω ×  ri) 2
= 1
--
2 Δmi(ω ×  ri) ·(ω × ri) (6.21)

Wir verwenden das Spatprodukt a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b) und setzen a = (ω × ri), b = ω und c = ri. Dann ist (ω × ri) ·(ω  × ri) = ω·(ri × (ω × ri)) und damit

Ekin = 1-
2 Δmiω·(ri × (ω × ri))
= 1
--
2ω· Δmi(ri × (ω × ri))
= 1-
2ω·L0 (6.22)

wobei wir die Definition des Drehimpulses L0 = Δmi(ri × (ω × ri)) verwendet haben.

Bemerkung:
Der Drehimpuls muss nicht parallel zur Drehachse sein. Wir betrachten den Drehimpuls L0 bezüglich eines Punktes 0 auf der Drehachse.

PIC

Aufspaltung des Drehimpulses in eine Parallel- und eine Senkrechtkomponente

Sei L0 ω. Dann kann der Drehimpuls in eine Komponente parallel zur Drehachse und eine senkrecht dazu aufgespalten werden, also

L0 =  Ls + Lp
(6.23)

Es gilt

Lp = I·ω
Ls = -     *
(ωr i) Rdm = -ω iRi  *
(riΔmi ) (6.24)

Dabei ist ri* die Komponente des Ortsvektors r i parallel zur Drehachse im körperfesten Koordinatensystem.

Beweis. Wir verwenden die Vektoridentität a×(b × c) = (a ·c ) b-(a·b ) c.

L0 = i(ri × Δmvi )
= Δmi   *
[(ri + Ri ) × (ω × Ri)]
= Δmi[r* × (ω × R  )]
  i          i + Δmi[R  × (ω  × R )]
   i          i
= Δmi[(r*i·Ri  )ω - (r*i· ω )Ri ] + Δmi[(Ri·Ri  )ω - (Ri · ω) Ri]
= - Δmi  *
(r i·ω ) Ri + ΔmiRi2ω =   Ls +  Lp (6.25)

Da ri*·R i = 0 und Ri·ω =  0 ist.

6.3.4  Drallsatz

Die Dynamik des starren Rotators bezüglich des Lagers 0 ist durch den Drallsatz gegeben.

dL0- = M  0
 dt
(6.26)

Dabei ist M0 das Drehmoment bezüglich des Lagers 0. Bei einer gleichförmigen Rotation (ω =  ωe = const ) ist L0 i.a. nicht konstant. Es gilt

dL0-
 dt = d-
dt (Lp + Ls)
= d
--
dt(Iω + Ls )
= d-
dtLs
= ω×Ls = ω×L0 (6.27)

Beweis:

d
--
dtLs =  d
--
dt(  ∫      *      )
 -    (ωr i) Rdm
= - (ωr *)
    i  dR-
 dtdm
= -     *
(ωr i)  (ω × R ) dm
= ω ×(   ∫     *      )
  -   (ωr i)Rdm
= ω ×  Ls = ω×(Ls +  Lp) = ω×L0 (6.28)

da ω×Lp = 0 ist.

PIC Versuch zur Vorlesung: Drehimpulserhaltung (Versuchskarte M-072)

Die Dyname auf das Drehlager im Punkt 0 ist bei einem

Rotator ohne äussere Kräfte oder Momente

                                    2
F (reactio) = - m (ω × (ω ×  rs)) = m ω Rs
(6.29)

wegen dem Impulssatz. Das dazugehörige Drehmoment ist

M         = L  ×  ω = L   × ω =  - d-L
   (reactio)    s         0          dt 0
(6.30)

Dabei ist rS der Ortsvektor des Schwerpunktes. Wir haben also eine zeitlich veränderliche Dyname.

6.3.4.1. Anwendung: Auswuchten von Autorädern *

PIC Versuch zur Vorlesung: Kräfte auf Lager (Versuchskarte M-080)

statisch auswuchten
Auswuchtgewichte werden angebracht bis
               2
F (reactio) = m ω Rs = 0

ist. Bei einem statisch ausgewuchteten Rad liegt der Schwerpunkt auf der Drehachse.

dynamisch auswuchten
Auswuchtgewichte werden angebracht bis Ls = 0 für ω 0 ist. Bei einem dynamisch ausgewuchteten Rad ist die Drehachse eine Achse des Trägheitsellipsoides, oder, der Drehimpuls L0 ist parallel zur Drehachse.

6.3.4.2. Wirkung eines Drehmomentes auf den Rotator

Wir legen ein äusseres Drehmoment Maussen = Me an.Dann ist

M        - M        = -dL
   aussen      reactio   dt  0
(6.31)

Axialkomponente
          d       dω     d2ϕ
MAxial =  --Lp = I--- = I--2-
          dt      dt     dt
(6.32)

Radialkomponente
M       =  - d-L  =  - (ω × L  ) - ˙ωL
   reactio     dt  s            s    ω  s
(6.33)

6.3.5  Bewegungen mit Drehungen

Wirkt ein konstantes äusseres Drehmoment M so gilt

M   =  ˙L =  Iω˙
(6.34)

oder

˙ω = 1
--
IM
ω =1-
 IMt (6.35)

und

    1-1-   2
ϕ = 2 IM  t
(6.36)

Beispiel: rollender Zylinder

PIC

Rollender Zylinder

A ist die momentane Drehachse des Zylinders (Warum ist die Drehachse die Auflagelinie?). Nach dem Satz von Steiner ist I = Is + mr2

Also ist M = m|r × g| = mgr sin α = (Is + mr2 )  ˙ω

Die Translationsbeschleunigung des Schwerpunktes ist

a = ¨s = rω˙=  rmgr--sin-α-=  ---1---g sin α
                Is + mr2     1 + mIsr2-
(6.37)

Beispiel:

Massivzylinder
IS = 1
2mr2 a = 2
3g sin α
Hohlzylinder
IS = mr2 a = 1
2g sin α
Kugel
IS = 25mr2 a = 57g sin α
Rutschender Körper
a = g sin α

6.3.5.1. Kippen eines Körpers

PIC

Kippen eines starren Körpers

PIC Versuch zur Vorlesung: Knickbruch (Versuchskarte M-171)

Hier ist für kleine Auslenkungen T φ und nicht bei beim Pendel T (-φ). Die Drehmomentengleichung lautet

M  =  D φ = I ¨φ
(6.38)

Sie hat die Lösungen

φ = φ0e ωt + φ˜e -ωt
(6.39)

mit ω = ∘ D-
   I.

Wenn zu Beginn der Bewegung ˙φ = 0 ist (Anfangsbedingung) ist die Lösung

           (          )
φ(t) = 1-φ  eωt + e-ωt  = φ  cosh ωt
       2  0                 0
(6.40)

Beispiel: Kippender Kamin

Das Trägheitsmoment eines Kamins, der um seinen Fuss rotiert, ist

I = 1m ℓ2
    3
(6.41)

Dann ist die Drehmomentengleichung

            ℓ-        1-
M  =  m ·g· 2 sinφ ~  2mg ℓφ =  D φ
(6.42)

Daraus folgt für den Betrag der Drehfrequenz

     ┌│ ---------∘ ----
     │∘  12mg-ℓ-    3-g-
ω  =    1m ℓ2 =   2 ℓ
        3
(6.43)



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