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6.4  Kreisel


Definition: Ein Kreisel ist ein starrer Körper, dessen Bewegung durch einen Fixpunkt festgelegt ist.

PIC Versuch zur Vorlesung: Stehaufkreisel (Versuchskarte M-116)

6.4.1  Kinematik des Kreisels

Die Lage der Drehachse eines Kreisels hängt von der Zeit ab

ω (t) = ω (t) e(t)
(6.1)

PIC

Kreisel

Die Geschwindigkeit eines Massenelementes Δmi ist gegeben durch

vi (t) = ω (t) × ri(t)
(6.2)

Δvi ist die momentane Geschwindigkeit von Δmi.

Die momentane Drehachse e bewegt sich im Raum entlang einer Kegeloberfläche, der Oberfläche des festen Polkegels F.

PIC

Polkegel

Bezüglich des Körpers bewegt sich e auf einen beweglichen Polkegel G.

G (körperfest) rollt auf F ab. Die Berührungslinie der beiden Polkegel ist die momentane Drehachse.

6.4.2  Drehimpuls und kinetische Energie

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 16. 01. 2009: PDF

Wir betrachten den Zusammenhang zwischen ω(t) und L0(t) im körperfesten Bezugssystem.

Lx = Ixxωx + Ixyωy + Ixzωz
Ly = Iyxωx + Iyyωy + Iyzωz
Lz = Izxωx + Izyωy + Izzωz (6.3)

oder

L = I0ω
(6.4)

oder Li = Iijωj. I0 heisst der Trägheitstensor des Kreisels (des starren Rotators) bezüglich dem Fixpunkt 0. Die Komponenten von I0 sind

Ixx = ( 2    2)
 y + zdm
Iyy = ( 2    2)
 x +  zdm
Izz = (       )
 x2 + y2dm (6.5)
Ixy = Iyx = - xydm
Ixz = Izx = - xzdm
Iyz = Izy = - yzdm (6.6)

I0 ist symmetrisch, das heisst Iij = Iji

Beweis: Die Definition des Drehimpulses ist

L = r × p

Für ein Massenelement dm gilt

dL = r ×  (dmv  )

Mit v = ω×r wird

dL = r ×(ω × r ) dm
= (r·r ) ωdm -(r ·ω ) rdm
    

Also wird

       ∫         ∫
L =  ω   r2dm  -    r(r· ω )dm
(6.7)

Wir setzen r = (    )
|  x |
(  y )
   z und betrachten die x-Komponente:

Lx = ωx r2dm - x(xωx + yωy + z ωz) dm
= ωx (                 )
 x2 + y2 + z2 - x2dm - ωy xydm - ωz xzdm (6.8)

also ist Ixx = (y2 + z2) dm und I xy = - xydm und Ixz = - xzdm, wie behauptet.

Die Grösse -Ixy = xydm heisst Deviationsmoment.

Die Spur von I0 ändert sich nicht bei einer Drehung des Koordinatensystems

                            ∫                       ∫
                              (  2   2    2)            2
spur (I0) = Ixx + Iyy + Izz = 2    x  + y  + z   dm =  2   r dm =  const
(6.9)

Weiter gilt

                  ∫
Ixx + Iyy - Izz = 2   z2dm  ≥ 0
(6.10)

und zyklisch.

Frage: gibt es ein Koordinatensystem, in dem die Deviationsmomente verschwinden?

Diese Frage ist äquivalent zur Frage nach den Eigenvektoren einer Matrix.

Aus der Mathematik weiss man, dass, da I0 = I0T gilt, ein Hauptachsensystem existiert, in dem I0 diagonal ist.

Wir nennen die Hauptträgheitsmomente: Iii = Ii

Seien ex, ey, ez körperfeste Basisvektoren, die so nummeriert werden, dass Ix Iy Iz ist.

Sei e(t) die momentane Drehachse und ω(t) = ω(t) e(t) die momentane Winkelgeschwindigkeit. Dann gilt

                        (       )
     (  Ix  0  0 )         Ixωx
     |  0  I   0 |      ||  Iyωy  ||
L0 = (      y    ) ω  = |(  Izωz  |)
        0   0  Iz
(6.11)

Der Drehimpulsvektor entlang der x-Achse ist dann

Lx (t) = Ixωx (t) = Ixω (t) ex(t)
(6.12)

und zyklisch.

Die Spur des Trägheitstensors ist spur(I) = I = Ix + Iy + Iz.

6.4.2.1. Kinetische Energie des Kreisels

Es gilt Ekin = 1
2L0·ω, da der Kreisel ein starrer Rotator ist. Im Hauptachsensystem haben wir

Ekin = 1
--
2(L2 (t)   L2 (t)   L2(t))
 --x--- + --y---+  -z----
   Ix       Iy       Iz
= 1-
2(   2        2         2   )
 Ixω x(t) + Iyωy (t) + Izωz (t) (6.13)

Beweis

Ekin = 1-
2L0·ω
= 1-
2(  I ω  )
|   x x |
(  Iyωy )
   Izωz·(  ω  )
|   x |
(  ωy )
   ωz
= 1
2-(    2     2      2)
  Ixω x + Iyωy + Izωz
= 1
--
2(      )
   Lx
|(  Ly  |)
   Lz·(  Lx )
|  Ix  |
|(  LIyy |)
   Lz
   Iz
= 1-
2(               )
  L2x   L2y-   L2z-
   I +  I  +  I
   x     y     z

Die momentane Drehachse ist durch ω(t) gegeben. Wir definieren die momentane Drehachse durch einen zeitabhängigen Einheitsvektor e(t) mit |e(t)| = 1. Dann ist

                       (       )
                         ex (t)
                       ||  ey(t) ||
ω (t) = ω(t)e(t) = ω (t)|(      |)
                          ez(t)
(6.14)

Durch Umstellen erhalten wir

Ekin = 1
--
2(                         )
 Ixω2x(t) + Iyω2y(t) + Izω2z(t) (6.15)
= 1-
2(I ω2(t)e2(t) + I ω2(t)e2(t) + Iω2 (t)e2(t))
  x      x      y      y      z     z
= ω2 (t)
-----
  2(                        )
 Ixe2x(t) + Iye2y(t) + Ize2z(t)
=   2
ω--(t)
  2I(t)
(6.16)

wobei wir

I = Ixe2(t) + Iye2(t) + Ize2(t)
      x        y        z
(6.17)

gesetzt haben. I ist das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse e. Wenn die kinetische Energie des Kreisels erhalten ist, ist auch I eine Konstante.

PIC Versuch zur Vorlesung: Kreiselbewegungen (Versuchskarte M-041)

6.4.2.2. Trägheitsellipsoid

Wir möchten den Körper mit einer allgemeinen Form, der durch den Trägheitstensor I0 charakterisiert ist, durch den einfachst möglichen Körper mit den gleichen Rotationseigenschaften ersetzen. Dies ist das Trägheitsellipsoid charakterisiert durch den Vektor u. Wir verwenden zur Definition von u die Definition des Trägheitsmomentes I bezüglich der momentanen Drehachse e vom vorherigen Abschnitt.

     (     )          (            )
     | ux  |    e       ex  ey   ez
u =  ( uy  ) =  √--=   -√--,√--,-√-
       uz         I       I   I   I
(6.18)

Wir setzen u in die Ellipsengleichung ein und erhalten

Ixux2 + I yuy2 + I zuz2 = I xe2x
---
 I + Iye2y
--
I + Ize2z
--
 I (6.19)
=    2     2      2
Ixex +-Iyey-+-Izez
        I
= Ixe2x + Iye2y + Ize2z
---2-----2------2
Ixex + Iyey + Izez
= I
I = 1

u beschreibt also in der Tat die Oberfläche eines Ellipsoids, das wir Trägheitsellipsoid nennen. Aus der Konstruktion folgen die Eigenschaften des Trägheitsellipsoides:

Aus Gleichung (6.19) folgt, dass die Längen der Halbachsen des Trägheitsellipsoides -√1-
  Ix, -√1-
  Iy und -1√--
  Iz sind.

Für einen allgemeinen Kreisel mit dem Fixpunkt 0 im Schwerpunkt S gibt es die folgenden Beziehungen zwischen den Hauptträgheitsmomenten:

Kreisel

Hauptträgheitsmomente

Trägheitsellipsoid 

Kugel, Würfel, Tetraeder

I1 = I2 = I3

Kugel

axialsymmetrisch, tellerförmig

I1 > I2 = I3

Rotationsellipsoid, tellerförmig

axialsymmetrisch spindelförmig

I1 = I2 > I3

Rotationsellipsoid, spindelförmig

niedrige Symmetrie

I1 > I2 > I3

allg. Ellipsoid

Trägheitsellipsoide verschiedener Körper

Bemerkung: nur Rotationen eines freien Körpers um die Hauptachsen mit dem grössten und dem kleinsten Hauptträgheitsmoment sind stabil.

6.4.3  Kräftefreier Kreisel

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 20. 01. 2009: PDF
Seminar vom 26. 01. 2009: Aufgabenblatt 13 (HTML oder PDF)


Definition: Ein Kreisel heisst kräftefrei, wenn M0 bezüglich des Fixpunktes 0 verschwindet.

Dann ist

M   =  0
   0

und

dL0
----=  0
 dt

d.h.

L0 =  const.

Die kinetische Energie ist dann

       1   ∑    L2             1
Ekin = --       --j = const.=  -L0 · ω (t)
       2 j= {x,y,z} Ij             2
(6.20)

für die Rotation um eine Hauptachse x. Das heisst, ω(t) bewegt sich auf einem Kegel um L0

Wie realisiert man einen kräftefreien Kreisel?

PIC

Kräftefreier Kreisel

Es ist

L0·ω(t) = L0ω(t) cos α
= L0ω = const.

d.h. ωL = const. Dabei ist ωL die Projektion von ω auf L0. Es gibt zwei Fälle:

Bei einer permanenten Rotation ist ω L0 wenn ω zur Hauptachse ist. Es gilt dann

      1-
ωi =  IL0      mit      i = 1...3
      i

Beim asymmetrischen Kreisel ist

I1 > I2 > I3

Rotationen um

6.4.3.1. Poinsotsche Konstruktion *

Ziel dieses Abschnittes ist es, die allgemeine Bewegung eines Kreisels zu beschreiben. Wir werden sehen, dass dies die Schnittlinen zweier Ellipsoide ist.

Nach Gleichung (6.13) und Gleichung (6.15) ist

        1- 2   1-   2   1-  2   1-  2
Ekin =  2Iω  = 2 Ixω x + 2Iyωy + 2Izωz

wenn ω = (ωx,ωy, ωz) die Kreisfrequenz im Hauptachsensystem ist. Da ω2 = ω x2 + ω y2 + ω z2 ist, sind alle einzelnen Komponenten kleiner als ω. Also kann man schreiben

ωx = ω cos α ωy = ω cos β ωz = ω cos γ
cos α = ωx
ω-- cos β = ωy
-ω- cos γ = ωz
ω--

PIC

Poinsotsche Konstruktion

Die Zeichnung zeigt, dass damit auch ω2 = ω2 cos 2α + ω2 cos 2β + ω2 cos 2γ und damit 1 = cos 2α + cos 2β + cos 2γ ist. Weiter ist nach Gleichung (6.14)

     ωx                   ωy                  ωz
ex = ---= cos α      ey = ---      = cosβz =  ---= cos γ
     ω                    ω                   ω

Nach Gleichung (6.17) ist

      2     2      2
I = Ixex + Iyey + Izez

und damit

I = Ixcos2 α + Iy cos2β + Iz cos2γ

Wir setzen den Punkt Q im Abstand ρ = ∘ --
  1
   I (siehe Gleichung (6.17) ) vom Nullpunkt auf die Drehachse. Mit Q = (    )
   x
|(  y |)
   z = ρ wird

cos α = x-
ρ
cos β = y
--
ρ
cos γ = z-
ρ
da ja gilt ρ2 = x2 + y2 + z2 oder 1 = (x∕ρ)2 + (y∕ρ)2 + (z∕ρ)2. Aus Gleichung (6.17) bekommt man
       2         2         2
Ix(x∕ρ ) + Iy(y∕ρ) +  Iz(z∕ρ)  = I

oder mit der Definition von ρ = 1√ -
  I

  2      2     2     2   I
Ixx  + Iyy + Izz  = Iρ =  -=  1
                         I
(6.21)

Diese Gleichung beschreibt also nichts anderes als das Trägheitsellipsoid.

Allgemein gilt, dass eine Funktion  f(x, y,z) = const eine Oberfläche beschreibt. Dann ist der Normalenvektor der Funktion f(ρ) = f(x,y,z) = Ixx2 + I yy2 + I zz2 durch

grad f =  2(Ixx,Iyy,Izz)
(6.22)

gegeben.

Beweis:

Wir betrachten das totale Differential df. Dieses muss null sein, da die Funktion f(ρ) eine Konstante ist. Wir bekommen also

df = ∂f
---
∂xdx + ∂f
---
∂ydy + ∂f
---
 ∂zdz
= (grad  f) ·(dx, dy,dz) (6.23)
= (grad  f) ·(d ρ) = 0 (6.24)

Damit ist grad f senkrecht zu dρ. Da dρ in der Fläche f(ρ) liegt (Die möglichen Änderungen von ρ sind durch die durch f(ρ) beschriebene Fläche begrenzt) ist grad f senkrecht zur Tangentialebene und damit der Normalenvektor.


Der Normalenvektor zum Trägheitsellipsoid
f (x,y,z) = f(ρ ) = Ixx2 + Iyy2 + Izz2 = 1 = const

ist

grad  f =  2(Ixx,Iyy, Izz)


Im Hauptachsensystem ist

L = (Ixωx,Iyωy,Izωz)

Von der Konstruktion her sind ρ = (x,y,z) und ω  =(ωx,ωy, ωz) parallel. Wir können wie folgt umformen

L = (Ixωx,Iyωy,Izωz) = ω(Ixcosα +  Iy cosβ + Iz cosγ )
= ω(                )
 Ixx-+ Iyy-+ Izz-
   ρ     ρ     ρ = ω-
ρ(Ixx + Iyy + Izz)
= ω
--
ρgrad  f(ρ)
-----------
     2

Deshalb ist 2L grad f(ρ), das heisst, dass L senkrecht zur Tangentialebene t im Durchstosspunkt Q von ω durch das Trägheitsellipsoid ist.

PIC

Trägheitsellipsoid

Rezept zur Konstruktion von L:

PIC

Interpretation der Poinsotschen Konstruktion

Wir bezeichnen mit Δ den Abstand von 0 zur Tangentialebene t in Q. Der Abstand Δ hat die folgende Bedeutung

  2   2Ekin-
Δ  =   L2
(6.25)

Beweis: Die Tangentialebene t ist durch den Vektor R = (X,Y ,Z) gegeben. Dann gilt

(R -  ρ)·grad    f(ρ) = 0
(6.26)

Dann ist

(    )   (       )   (    )   (       )
| X  |   |  2Ixx |   |  x |   |  2Ixx |
|| Y  || · ||  2Iyy || - ||  y || · ||  2Iyy || =  0
( Z  )   (  2Izz )   (  z )   (  2Izz )

Ausmultipliziert erhält man

2IxxX +  2IyyY  + 2IzzZ =  2Ixx2 + 2Iyy2 + 2Izz2 = 2

wobei wir Gleichung (6.21) verwendet haben. Also ist

IxxX +  IyyY  + IzzZ  = 1
(6.27)

Wir bezeichnen mit e^ den Einheitsvektor entlang R L. Dann ist Δ

Δ =  R ·^e =  X ^ex + Y ^ey + Z ^ez
(6.28)

oder

1 =  X-^ex-+ Y-^ey + Z-^ez
      Δ      Δ      Δ
(6.29)

Wir vergleichen Gleichung (6.27) und Gleichung (6.29) . Die Vorfaktoren von X, Y und Z müssen identisch sein, da bei beliebiger Variation der drei Grössen beide Gleichungen konstant sein müssen. Insbesondere kann man Y = Z = 0 setzen und bekommt dann

I xX  = 1 =  ^exX  X⇒⇔0 Ix =  ^ex-
 x           Δ         x     Δ

und natürlich zyklisch für alle drei Komponenten. Also ist

^ex      ^ey      ^ez
---= Ixx -- = Iyy-- = Izz
Δ       Δ       Δ
(6.30)

oder

^ex = ΔIxx^ey = ΔIyy^ez = ΔIzz
(6.31)

Da ^e ein Einheitsvektor ist, gilt

     2    2    2     2( 2 2   2 2    2 2)
1 = ^ex + ^ey + ^ez = Δ   Ixx +  Iyy  + Izz
(6.32)

ρ und ω sind parallel, also ist

xi = ωi-⇒  x  = ρ-ω
ρ    ω      i   ω  i
(6.33)

und

   (   2         2        2   )
Δ2  I2xρ--ω2x + I2y ρ-ω2y + I2z ρ-ω2z =  1
      ω2        ω2       ω2
(6.34)

Mit der Definition ρ = 1√ -
  I bekommt man

                        2      2
I2ω2 + I2ω2+  I2ω2 =  -ω--- = Iω- =  2Ekin-
 x x    y y   z  z   ρ2Δ2    Δ2      Δ2
(6.35)

Andererseits ist

L  = (I ω ,I ω ,Iω  )
       x x  y y  z z
(6.36)

Damit folgt die Behauptung

2Ekin-    2
 Δ2   =  L
(6.37)

PIC

Poinsot-Ellipsoid

Wir betrachten nun ein weiteres Ellipsoid, das Poinsot-Ellipsoid P. Dieses ist ähnlich zum Trägheitsellipsoid und liegt zu ihm konzentrisch. Wir wollen das Poinsot-Ellipsoid als Funktion von ωP darstellen. Die Nutation im raumfesten Koordinatensystem wird nun beschrieben durch das Abrollen des Poinsot-Ellipsoids auf eine Ebene E gegeben durch die Gesamtheit der Vektoren ωE. Diese Ebene E ist durch

ωE ·L0  = ωL ·L0 =  2Ekin = const.

charakterisiert, da für einen starren Rotator ja Ekin = 1
2ω·L0 gilt (Siehe Gleichung (6.22) ).

Am Berührungspunkt des Poinsotschen Ellipsoides muss die vorherige Gleichung auch stimmen. Deshalb ist die Ellipsengleichung im körperfesten Hauptachsensystem

1 = L0 · ωp
--------
 2Ekin
= --1---
2Ekin[(Ixωpx )ωpx + (Iyωpy) ωpy + (Izωpz)ωpz)]
=  Ixω2
----px-
2Ekin + Iyω2
---py-
2Ekin +  Izω2
----pz-
2Ekin
= -ω2px-
 2Ekin-
  Ix + -ω2py-
2Ekin
  Iy + -ω2pz-
2Ekin
  Iz (6.38)

Die drei Halbachsen des Poinsotschen Ellipsoids P sind

∘ ------     ∘ ------      ∘------
  2Ekin-       2Ekin-        2Ekin-
    Ix            Iy            Iz

im körperfesten Hauptachsensystem.

Der Punkt A (Berührungspunkt zwischen dem Poinsot-Ellipsoid P und der Ebene E) ist gegeben durch

ωE  = ωp  = ω (t)
(6.39)

Die Bahnkurve von A auf P heisst Polhoide.

Die Bahnkurve von A auf E heisst Herpolhoide.

Im körperfesten Hauptachsensystem ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor ω(t) die Verbindung zwischen dem Fixpunkt 0 (beim freien Körper ist das der Schwerpunkt, beim Kreisel der Auflagepunkt) und der Polhoide.

Die Polhoide ist gegeben als Schnittpunkt des Poinsot-Ellipsoides P und des Drallellipsoides D. Das Drallellipsoid wird als Funktion der Variablen ωD = (ωDx,ωDy,ωDz) geschrieben. Nach Gleichung (6.11) ist der Drehimpuls gegeben durch

L0  = (Ixωx,Iyωy,Izωz)
(6.40)

Also können wir schreiben

1 =   2
L-0
L20 =  2 2     2 2     2 2
IxωDx-+-IyωDy-+-IzωDz-
          L20 (6.41)
= I2ω2
-x-D2x-
  L0 + I2ω2
y--D2y-
 L 0 + I2ω2
-z-D2z-
  L0 =  ω2
(-Dx)2
 L0I
  x +  ω2
(-Dy)2-
 LI0
  y + ω2
(-Dz)2-
 LI0
  z

Diese Gleichung definiert das Drallellipsoid D. Das Drallellipsoid D hat die Halbachsen

L0-     L0-      L0-
 Ix       Iy      Iz

Die Halbachsen des Drallellipsoides D sind also anders als die Halbachsen des Poinsot-Ellipsoides P.


Bei einem reibungsfreien Kreisel ist sowohl seine kinetische Energie wie auch der Betrag seines Drehimpulses erhalten. Die Winkelgeschwindigkeit ω bestimmt zusammen mit dem Trägheitstensor beide Grössen. Im Hauptachsensystem folgt aus der Erhaltung der kinetischen Energie, dass ω sich auf dem Poinsot-Ellipsoid P bewegen muss. Die Erhaltung des Drehimpuls-Quadrates L02 bedingt, dass im Hauptachsensystem ω sich auf dem Drallellipsoid D befinden muss. Die möglichen Bahnkurven sind also die Schnittmenge von P und D.

Um den Vektor ω vollständig anzugeben, sind drei Komponenten nötig. Mit der kinetischen Energie Ekin und dem Quadrat des Drehimpulses L02 haben wir erst zwei Bestimmungsgrössen. Wir könnten also die Komponenten von L0 entlang einer Koordinatenachse als dritte Angabe verwenden. Üblicherweise nennt man diese Koordinatenachse die z-Achse: Wir bestimmen also die Komponente Lz.

Dieses Tripel (Ekin, L02 und L z) ist das gleiche Tripel, das bei der Angabe der Quantenzahlen für ein Elektron angegeben wird. Der quantenmechanische Zustand eines Elektrons in einem Atom ist also äquivalent zu einem Bewegungszustand eines Kreisels.

PIC Versuch zur Vorlesung: Nutation (Versuchskarte M-119)

6.4.4  Der Kreisel unter dem Einfluss von Kräften

Wirkt ein externes Drehmoment M0 bezüglich 0 so gilt

d
dtL0 =  M  0
(6.42)

Bemerkung: Durch den Drallsatz ist L0 bis auf eine Konstante L0* bestimmt.

                *
L (t) = M  0t + L0

L0* bestimmt die Nutation. Im allgemeinen wird ein Kreisel deshalb nutieren. Nur mit speziellen Anfangsbedingungen tritt keine Nutation auf, das heisst, man hat eine nutationsfreie Kreiselung.

6.4.4.1. Präzession

PIC Versuch zur Vorlesung: Präzession (Versuchskarte M-066)

PIC Versuch zur Vorlesung: Präzessionsfrequenz (Versuchskarte M-110)

Unter Präzession versteht man die Rotation von L0 mit Ω

dL0-
 dt  = Ω ×  L0 = mg  ×  r0S = M  0
(6.43)

PIC

Präzedierender Kreisel

Hier ist r0S der Abstand des Schwerpunktes vom Fixpunkt. Dann ist

M0  =  mg sin α ·r0s = Ω sin αL0

und daraus

Ω  = mgr0S--=  r0Smg--
       L0        ωI
(6.44)

Ω ist unabhängig von α. Wir können auch eine Energiebetrachtung machen:

E          =  1Iω2 ~ const.
  kin,Kreisel   2
(6.45)

Da ω konstant ist, ist auch die kinetische Energie konstant. Die totale Energie ist konstant, also

                                        1
Etot = Epot + Ekin,Kreisel = mgros cosα +--Iω2 =  const.
                                        2
(6.46)

PIC Versuch zur Vorlesung: Kreiselfahrzeug (Versuchskarte M-182)

das heisst, Ekin und Epot sind auch einzeln konstant. Das heisst der präzedierende Kreisel fällt nicht.



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