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6.5  Mechanische Maschinen

Wenn Maschinen im Gleichgewicht sind, können Kräfte über virtuelle Verrückungen aus dem Energiesatz berechnet werden.

Virtuell heisst, die Bewegungen müssen mit den Zwangsbedingungen vereinbar sein. Das bedeutet, dass bei einer durch Führungen vorgegebenen Bahn (Wasserrutsche im Schwimmbad) alle betrachteten Bewegungen dem Weg der Wasserrutsche folgen müssen. Wir betrachten zuerst einmal alle Teile des Systems als unabhängig. Die verschiedenen möglichen Verschiebungen i sind dann durch die Koordinaten xi gegeben. Diese werden zuerst als unabhängig angesehen. Die Energieerhaltung fordert aber, dass

      ∑  ∂E--
δE =     ∂xiδxi = 0
(6.1)

ist.

Dabei ist ∂∂Ex-
  i = 0 die Gleichgewichtsbedingung.

PIC

Flaschenzug: Berechnung mit virtuellen Verschiebungen.

PIC Versuch zur Vorlesung: Rollen, Flaschenzug (Versuchskarte M-120)

Wir betrachten als Beispiel einen Flaschenzug. U sei die potentielle Energie als Funktion der Koordinaten x1 und x2. Wir haben also

δx1 =  - 2δx2

mit

∂U                       ∂U
∂x--= - F1      und      ∂x--=  - F2
  1                         2
(6.2)

Die Seile des Flaschenzuges ergeben die Beziehungen für die Arbeit

F1δx1 + F2δx2 =  0

Wir setzen die Beziehung zwischen δx1 und δx2 ein

F1 (- 2δx2) + F2δx2 = 0

Die gefundene Beziehung ist unabhängig von δx2. Also hat man

2F  =  F
   1    2

oder F1 = F2
 2.

Ein zweites Beispiel ist die Kurbelwelle und der Pleuel eines Motors.

PIC

Kurbelwelle und Pleuel berechnet mit virtuellen Verschiebungen.

PIC Link zur Vorlesung:(Kolbenmotor)

Für die virtuellen Verrückungen (Arbeit) bekommt man

F2r δφ = F1 δx1

Weiter verwenden wir die Beziehung zwischen den Grössen

 2    2    2
ℓ  = x1 + r +  2xrcos φ

Daraus kann x1 als Funktion von φ dargestellt werden.

                ∘ ------------
x1 = - rcos φ +   ℓ2 - r2sinφ

und für die virtuelle Verschiebung

             (                     )
             (      ∘----cosφ------)
δx1 = r sin φ  1 - r   ℓ2 - r2sin2 φ   δφ

Also ist die Kraft auf die Kurbelwelle

                       (                       )
                       |                       |
F2 =  F1-δx1 = F1 sin φ |(1 -  r-∘----cosφ-------|)
        rδφ                  ℓ   1 - ( r)2sin2φ
                                      ℓ
(6.3)

Wenn r « ist, dann ist F2 = F1 sin φ.

Die nichtlineare Beziehung zwischen der Position des Kolbens und der der Kurbelwelle bewirkt, dass bei einer Drehzahl nicht nur deren Frequenz sonder noch viele Harmonische schwingungen im Fahrzeug anregen.



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