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7.2  Flüssigkeiten und Gase

7.2.1  Aggregatszustände

Materie besteht aus Atomen oder Molekülen. Sie kommt in 4 verschiedenen Zuständen, Aggregatszustände genannt, vor.





Fest

Flüssig

Gas

Plasma





wohldefinierte Abstände

wohldefinierte Abstände

Abstände variabel

Abstände variabel





geometrisch periodische Anordnung

nur Nahordnung

keine Nahordnung

keine Nahordnung





Form ist stabil

grössere Kräfte zwischen Atomen

sehr kleine Kräfte zwischen Atomen

Kerne und Elektronen sind getrennt, grosse Coulombkräfte





grosse Kräfte zwischen Atomen

im Gravitationsfeld wohldefinierte Oberfläche

Im Gravitationfeld keine definierte Oberfläche

Im Gravitationfeld keine definierte Oberfläche





schwingen gegeneinander

verschieben sich gegeneinander

Dichte 1000 x kleiner als in Flüssigkeit

Dichte variabel





form- und volumenelastisch

Formänderung kraftlos möglich (ohne Geschwindigkeit)

raumfüllend

raumfüllend





Aggregatszustände

7.2.2  Gestalt von Flüssigkeitsoberflächen

PIC

Flüssigkeitsoberfläche

Eine Kraft F tangential zur Flüssigkeitsoberfläche bewirkt eine Verschiebung aber keine Formänderung


An der Flüssigkeitsoberfläche gibt es keine Tangentialkräfte.

PIC

Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeitsfläche

Beispiel: Kaffee beim Umrühren. Wir wollen die Form der Flüssigkeitsfläche berechnen.

Fres = ∘ ---------------------
  (dm  ω2r)2 + (dm  g)2
= ( ∘ ---------)
    ω4r2 + g2dm
tgα = dm--ω2r-
 dm  g = ω2r-
 g (7.1)

und

     r
    ∫ ω2r-      1ω2- 2
y =     g dr =  2 g r
    0
(7.2)

Eine rotierende Flüssigkeitsoberfläche hat also Parabelform.

7.2.3  Druck

PIC

Definition des Druckes

Druck ist die Kraft pro Fläche auf die Berandung eines Behälters.

Es sei

ΔF  n = - p· ΔA ·n

Wir nennen p den isotropen Druck. Die Einheit von p ist Pascal [  ]
 Nm2- = [P a]

Bemerkung: die Energiedichte E-
Vhat die gleiche Einheit wie der Druck. Eingehendere Überlegungen zeigen, dass Druck immer mit einer Energiedichte, und Energiedichte mit Druck verbunden ist.


Merken Sie sich die Identität:

Energiedichte =Druck


7.2.3.1. Wirkung auf Körper

Eine Druckänderung Δp bewirkt eine Volumenänderung.

ΔV
---- = θ = Δ ln V
 V
(7.3)

Lokal bewirkt eine Volumenänderung ΔV eine Dichteänderung Δρ.

      Δ ρ
θ = - ----= - Δ lnρ
       ρ
(7.4)

(Wenn das Volumen abnimmt, nimmt die Dichte zu.)

Die Volumenänderung ist proportional zur Druckänderung

Δp  = - K θ = - 1-θ
                κ
(7.5)

K heisst Kompressionsmodul. Seine Einheit ist 1Pascal = 1Pa = 1Nm2-. Wir haben weiter

       1 dV    1 dρ
κ = - -- --- = -----
      V  dp    ρ dp
(7.6)

κ heisst Kompressibilität. Ihre Einheit ist Pa-1 =   2
mN-

7.2.3.2. Hydraulische Presse

PIC

Hydraulische Presse. Kräfte bezogen auf die Wirkung auf die Aussenwelt

Wir haben

F1 = pA1
F2 = pA2

und

-F1   -F2
A1  = A2
(7.7)

Bemerkung: Die Wirkung von hydraulischen Pressen kann sehr gut mit virtuellen Verrückungen berechnet werden.

7.2.3.3. Druckarbeit

PIC

Druckarbeit

Das Differential der Druckarbeit ist

dW  = F dx =  pAdx =  - pdV
(7.8)

da daAdx = -dV ist. Also ist die geleistete Arbeit:

       ∫         ∫
W  = -    pdV =    κV pdp
(7.9)

Ändert sich V wenig, so ist die Druckarbeit

       ∫              (       )
W  = V    κpdp = 1-κV  p2 - p2
                 2       2   1
(7.10)

7.2.4  Schweredruck

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 30. 01. 2009: PDF

PIC

Berechnung des Schweredruckes

Wir berechnen die Kraft bei (1). Die Masse des verdrängten Wassers ist Ahρ = m. Die daraus resultierende Gewichtskraft beträgt F = mg = Ahρg. Also ist der Schweredruck des Wassers

p =  F-=  hρg
     A
(7.11)

unabhängig von A. In einem Meter Tiefe ist der Schweredruck 10kPa, das heisst es ist unmöglich mit einer Schnorchel von 1m Länge zu atmen. Der Schweredruck hängt nur von der Flüssigkeitshöhe ab, nicht jedoch vom Querschnitt der Flüssigkeitssäule. Deshalb steht in kommunizierenden Rohren das Wasser überall gleich hoch.

7.2.4.1. Auftrieb

PIC

Auftrieb in Flüssigkeiten

Wir betrachten einen untergetauchten Würfel. Die Kraft von oben ist

F1 =  - ρghA

Die Kraft von unten ist

F  =  + ρg(h + ℓ)A
  2

Also ist der Auftrieb

F  = F  + F  =  ρgℓA =  ρgV
 A     2    1
(7.12)

Salopp gesagt, ist der Auftrieb die „Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit“. Ein Körper schwebt im Wasser, wenn

FA  = FG
(7.13)

ist.

7.2.4.2. Schwimmen

PIC

Schwimmen

Wenn ρK < ρ ist die Gewichtskraft Fg = ρKℓAg. Die Auftriebskraft ist hingegen FA = ρhAg. Der Körper schwimmt, wenn die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft ist (FA = Fg). Dann ist

ρK ℓAg =  ρhAg
(7.14)

und der Körper taucht bis zu

h = ℓ· ρK-
        ρ
(7.15)

ins Wasser ein.

Wann schwimmt ein Körper stabil?

PIC

Stabilität eines schwimmenden Körpers

Sei S der Schwerpunkt des Körpers. SF sei der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit. Solange der Körper schwimmt ist FA = -FG. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar und damit erzeugen sie ein Drehmoment

F  = R  × F A
(7.16)

Dieses Drehmoment richtet den Körper auf. Wenn S unter SF liegt, ist die Schwimmlage stabil. Wenn S über SF liegt, hängt die Stabilität von der Lage des Metazentrums M ab.Das Metazentrum ist durch die Schnittlinie der Mittellinie des Körpers und der Verlängerung von FA gegeben. Die Schwimmlage ist stabil, wenn M über S liegt.

7.2.4.3. Aräometer

PIC

Aräometer

Mit einem Aräometer misst man die Dichte einer Flüssigkeit (Schnapswaage). Wir haben

m = ρ(V0 + A ·h )
h = -m-
A ρ -V0-
 A

7.2.5  Gasdruck *

Das Gesetz von Boyle-Mariotte lautet

     c
V =  --
     p
(7.17)

Damit es anwendbar ist, brauchen wir

c hängt von der Temperatur T und der Anzahl Moleküle ab. Bei T = 0C ist das Volumen eines Gases

          m   1
V =  22,4---· --
         M    p
(7.18)

wobei m die Masse des Gases, M die Molmasse, V das Volumen in Litern und p der Druck in bar ist. Bei langsamen Zustandsänderungen ist die isotherme Kompressibilität

κ(isotherm) = - 1-dV- =  1-c--= 1-
              V  dp    V p2   p
(7.19)

7.2.6  Atmosphärendruck

Der Luftdruck kann mit einem Barometer gemessen werden.

PIC

Quecksilber-Barometer

A-·h-·-ρHgg-
     A      = pAtm  = h· ρHgg
(7.20)

Unter dem Normaldruck versteht man einen Druck von 760mm Hg (Quecksilbersäule). Die Einheit mm Hg bezeichnet man nach Torricelli mit Torr. Der Normaldruck ist also auch 760Torr. In SI-Einheiten ist der Normaldruck 1013hPa, was der alten Einheit Atmosphäre 1Atm entspricht.

7.2.6.1. Höhe der Atmosphäre bei konstanter Dichte *

Die Dichte der Luft bei Umgebungsbedingungen ist

          kg-
ρL =  1.29 m3

mit

ρgh =  pAtm
(7.21)

bekommt man

    pAtm      105 N2-
h = ----- ≈ ---m--m-kg-≈  8 : 103m
     sg     10 s21, 3m3
(7.22)

Aber: Gesetz von Boyle-Mariotte

V  =  c⇒  ρ =  ˜c·p′
      p
(7.23)

PIC

Druckänderung mit der Höhe

mit p< p folgt

       ′
Δp  = p - p = - ρ (h)gΔh
(7.24)

und

dp
dh-=  - ρ(h)g
(7.25)

Nun ist aber

ρ-           ρ0-
p =  const = p0
(7.26)

wobei ρ0,p0 auf Meereshöhe gemessen werden.

Also ist

        ρ0
ρ (h) = --p (h)
        p0
(7.27)

und

dp      ρ0
dh- = - p-g p
         0
(7.28)

Die Lösung ist

p = p0e -Ah
(7.29)

Wir setzen ein und erhalten

Ap  e-Ah = - ρ0-gp e-Ah
   0         p0   0
(7.30)

oder

    ρ0-
A = p0 g
(7.31)

Also

       -ρ0gph0
p = p0e
(7.32)

Diese Gleichung heisst isotherme Barometerformel. Sie ist eine Näherung, da wir die Temperatur als konstant angenommen haben ebenso wie den Feldvektor des Gravitationspotentials g(h) = g0 = const.

7.2.7  Druck als Potential *

Der Druck p(r) sei eine skalare Funktion des Ortes

Behauptung:

FV (r) = - grad  (p (r ))
(7.33)

FV (r) ist die Volumenkraft. Das ist die resultierende Kraft auf die Oberfläche des Volumenelements, dividiert durch das Volumen dieses Elements.

Beweis

PIC

Druck auf ein Volumenelement

also

- ΔF(z + Δz ) + ΔF(z) = -(p (z + Δz ) - p (z)) Δx·Δy
= -∂p-
dz·Δz·Δx·Δy
= -dp-
dz·ΔV (7.34)

Daraus folgt die Behauptung.

Eine andere Möglichkeit des Beweises ist: Wähle ein Volumenelement ΔV mit der Oberflächen Δa

        ∫         ∫              ∫

ΔF  V =    d F =     - p·nda  =    grad  (- p)dV
        Δa        Δa            ΔV
(7.35)

Beispiel: Wasser:

PIC

Kräfte auf ein Volumenelement Wasser

p(r ) = -ρH2O·zg
r = (x,y,z)
grad (p(r)) = -(0,0,ρH20g )
FV = (0,0,ρH2Og )
= (         kg     m )
  0,0,1000 --3·10 -2
          m      s
= (      4-N-)
  0,0,10 m3 (7.36)

Der Druck ist also das Potential zur Volumenkraft

                ∫r
p (r) = p(r0) -   F v (r )dr
                r0
(7.37)

potentielle Energie Gravitationskraft
Gravitationspotential Feldvektor der Gravitation
Druck Volumenkraft
Analogie zwischen Gravitation und Druck

Daraus folgt:



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