©2005-2014 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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7.4  Strömungen

7.4.1  Beschreibung von Strömungen

PIC

Vektorfeld der Strömung

An jedem Punkt hat die Geschwindigkeit v(r) einen Betrag und eine Richtung.

Das Vektorfeld v(r ) ist durch Stromlinien charakterisiert. Wenn v(r) nicht von der Zeit abhängt, heisst die Strömung stationär.

Bahnlinien: Bahn eines Teilchens

Bei stationären Strömungen sind Bahnlinien und Stromlinien identisch. Inkompressible Strömungen sind Strömungen mit konstanter Dichte ρ.

7.4.1.1. Fluss

PIC

Fluss

Der Fluss ist definiert als

dϕ = ρv cosαdA
(7.1)

oder

dϕ =  ρv·dA
(7.2)

Die Integralform lautet

    ∫          ∫

ϕ =   ρvdA   =   jdA
    A          A
(7.3)

wobei A beliebige Fläche (auch gekrümmt) und j = ρv die Stromdichte ist (analog zum elektrischen Strom). Bei einer geschlossenen Fläche fliesst netto ein Medium heraus, wenn eine Quelle im Volumen ist.

PIC

Berechnung der Divergenz

Wir haben

1 = -ρvx(x)
2 = ρvx(x + dx ) dydz
= ρ(         ∂v    )
  vx(x) + ---xdx
           ∂xdydz

Netto:

                    ∂vx            ∂vx
dϕ1 + dϕ2 = ρvx (x) ---dxdydz  = ρ ---dV  = dϕx
                    ∂x             ∂x

ebenso:

y = ρ∂vy-
 ∂ydV
dϕz = ρ∂vz
----
 ∂zdV (7.4)

Der Nettofluss ergibt sich zu

                          ( ∂vx   ∂vy    ∂vz)
dϕ =  dϕx + dϕy + dϕz = ρ   ----+ ----+  ---- dV
                            ∂x     ∂y    ∂z
(7.5)

Ohne Quelle ist = 0, d.h. die Grösse

           ∂v    ∂v     ∂v
div (v ) = --x-+ ---y+  --z-
           ∂x     ∂y    ∂z
(7.6)

ist gleich null.

Die Divergenz beschreibt die Quellen und Senken in einem Fluss.

Wenn div (v ) 0 ist, so muss sich die Dichte an dieser Stelle ändern

dϕ =  ρdiv vdV  = -  ρ˙dV
(7.7)

oder

ρdiv v = - ˙ρ
(7.8)

Dies ist die Kontinuitätsgleichung.

ρdiv v = div  j heisst Quelldichte.

Eine quellenfreie inkompressible Strömung hat überall div v = 0.

Es gilt:

           ∬                         ∭              ∭

ϕ =             ρvdA         =  -          ˙ρdV    =       ρdiv vdV
            A                         V               V
           ◟----------◝◜----------◞               ◟----------◝◜----------◞
     Fluss durch A („Materialmenge“)   Änderung der Dichte
(7.9)

Der Satz von Gauss besagt

∬           ∭
    vdA  =       div vdV
 A           V
(7.10)

PIC

Geschwindigkeitsgradient und Rotation

Wenn die Strömung inhomogen ist, werden mitgeführte Teilchen gedreht.

Wasser strömt mit ±dvy
-dx am Würfel vorbei. Wir haben ein Gleichgewicht, wenn

     ∂vy    ∂vx
ωz = -----  ----
      ∂x    ∂y
(7.11)

ω zeigt in die z Richtung. Im Allgemeinen ist

     (                                  )
      ∂vz    ∂vy  ∂vx   ∂vx  ∂vy    ∂vx
ω =   ---- - ----,----- ----,-----  ----
       ∂y    ∂z   ∂z     ∂y   ∂x    ∂y
(7.12)

mit rot  = ( ∂ -∂  ∂-)
 ∂x,∂y, ∂z wird

rot v = (         )
 -∂, ∂-, ∂
 ∂x  ∂y  ∂z×v die Rotation des Strömungsfeldes.

Es gilt dann

  ∮            ∫
    vds   =       rot vdA
  ◟----◝◜----◞       ◟------------◝◜------------◞
Bahnkurve s   von s berandete Fläche
(7.13)

Falls rot  v = 0 ist kann v aus dem Geschwindigkeitspotential U abgeleitet werden.

v = - grad  U
(7.14)

Dann gilt rot  v = 0

Für inkompressible Flüssigkeiten gilt

div v = - div grad U  = - ΔU  =  0
(7.15)

Wir haben also drei unterschiedliche physikalische Phänomene, die durch die gleiche Mathematik beschrieben werden:

Strömung ←→ Graviation ←→ Elektrostatik

7.4.2  Lokale und totale Ableitungen *

PIC

Mitbewegtes System

Sei S* das Laborsystem, S das mitbewegte System,das Δm folgt. Seien s* lokale zeitliche Ableitungen und s totale zeitliche Ableitungen

Das 2. Newtonsches Gesetz beschreibt die Bewegung von Δm, aber nur in S(t)

(in S* betrachtet man Volumina, nicht Massen)

Also ist

       F         dv
F m =  --=  a =  ---  in   S (t)
       m         dt
(7.16)

Lokale Ableitung:

r ist in S* fest

∂-ρ
 ∂t = -∂-
∂tρ(r, t) = -∂-
∂tρ(x,y, z,t)
∂v-
 ∂t = -∂-
∂tv(r, t) = ∂--
∂tv(x,y,z,t) (7.17)

Totale zeitliche Ableitungen

In S(t) beschreiben die physikalischen Grössen das gleiche Teilchen.

r =  r(t) = (x(t),y (t),z(t))
(7.18)

wobei x(t) die Koordinaten in S* sind

ρ = ρ(r(t),t) = ρ(x (t),y(t),z (t)t)
v = v(r(t),t) = v(x(t),y (t),z(t)t) (7.19)

Ableitung: totale Ableitung auf der Bahn r(t)

dρ-
dt = -d
dtρ(x(t),y (t),z(t),t)
a = dv
dt- (7.20)

Zusammenhang:

Dichte

d-ρ =  ∂-ρ + (grad  ρ) ·v
dt     ∂t
(7.21)

Beweis:

d     ∂ ρ  ∂x    ∂ρ  ∂y    ∂ρ   ∂z   ∂ ρ
--ρ = ---· ---+  --· --- + ---· ---+ ---
dt    ∂x   ∂t    ∂y   ∂t   ∂z   ∂t    ∂t
(7.22)

qed.

Beschleunigung:

    dv-   ∂v-                  ∂v-         (1- 2)
a =  dt =  ∂t + (grad  v )v =  ∂t + grad    2 v   - v × rot v
(7.23)

7.4.2.1. Kontinuitätsgleichung

Grund Massenerhaltung

∂ρ-+ div (ρv ) = ∂ρ-+ ρ div  v = 0
∂t               ∂t
(7.24)

Beweis: Ortsfests Volumen

ΔV = Δx·Δy·Δz
δ(Δm  ) = Δx·Δy·Δz·∂--
∂tρ(         )
  z + 1Δz
      2δt
= -ρ(z + Δz ) ·vz(z + Δz ) δtΔxΔy + ρ(z) vz(z ) ·δt·Δx·Δy
δ-(Δm--)-
   ∂t = ΔxΔyΔz-∂-
∂tρ(z) = -∂-(ρ(z)vz-(z))
      ∂z·Δz·Δx·Δy
∂ρ (z)
--∂t-- = -∂
∂t-(ρ (z)vz (z))    usw. (7.25)

PIC

Stromlinien in einer inkompressiblen Flüssigkeit

Die Stromlinien durch A definieren einen Schlauch, die Stromröhre, die keinen Austausch mit der Umgebung hat. Also ist in einer inkompressiblen Flüssigkeit

A1v1 = A2v2
(7.26)

Dies ist die makroskopische Kontinuitätsgleichung.

Stationäre Strömung Sei -∂
∂t = 0. Dann ist die Dichte dρ-
dt = (grad  ρ) ·v und die Kontinuitätsgleichung div (ρv) = 0.

                (     )
     dv-          1- 2
a =  dt = grad    2v    - v × rot v
(7.27)

Im Stromfaden gilt

A1 ρ1v1 = A2 ρ2v2 = const
(7.28)

Inkompressible Flüssigkeiten

dρ-
dt = ∂ρ-
∂t = 0
div  v = 0 (7.29)

dann gilt :  A1v1 = A2v2 = const.

7.4.3  Innere Reibung

PIC

Innere Reibung in einer Flüssigkeit

Moleküle haben am Rand im Mittel die Geschwindigkeit der Wand.

v(z) ist parallel zur Wand.

Für die Kraft gilt

        v-
F =  ηA z
(7.30)

η : [Ns-]
 m2 heisst Viskosität (Scherviskosität)

Beispiel

Wasser: 1.8·10-3Ns-
m2

Glyzerin 1Ns-
m2

Allgemein:

        dv
F  = ηA ---
        dz
(7.31)

wobei A klein sein soll.

Temperaturabhängigkeit:

Moleküle müssen ihren Platz wechseln (Bolzmannstatistik)

        b
η = η∞e T-
(7.32)

7.4.4  Laminare Strömung

PIC

Viskose Strömung um einen Quader

Laminare Stromlinien sind dadurch charakterisiert, dass benachbarte Stromlinien benachbart bleiben (Beispiel: Blut)

dF1 =       ||
- η∂v-||
    ∂x|1dydz
dF2 = η∂v ||
---||
∂x |2dydz = η( ∂v ||   ∂2v   )
  ---|| + ----dx
  ∂x |1   ∂x2dydz
dFR = dF1 + dF2 = η∂2v
--2-
∂xdxdydz = η∂2v
---2
∂xdV (7.33)

Allgemein:

         (  2      2      2  )
dF   = η  ∂-v- + ∂--v-+  ∂-v-- dV
   R      ∂x2    ∂2y2    ∂2z2
(7.34)

oder

       dF
F VR = ----= η Δv
       dV
(7.35)

die Volumenkraft der Reibung.

Die Druckkraft ist

               (          )
                     ∂p-              ∂p-
dF p = pdydz -   p + ∂x dx  dydz =  - ∂x dV
(7.36)

also

F   =  - grad p
  Vp
(7.37)

FV R und FV p beschreiben die Dynamik

7.4.4.1. Strömung durch einen Spalt *

PIC

Strömung durch einen Spalt

v = 0 an der Wand

v = v0 in der Mitte

ddvx Reibungskraft FR = 2ℓbηddvx

Druck: Fp = 2xbℓdp
dz

dv
dx- = 1
ηdp
dzx

v(x) ist eine Parabel

         1  dp  2       p1 - p2  2
v = v0 - -----x  = v0 - ------- x
         2η dx            2η ℓ

Am Rand ist v = 0

              p1 - p2
⇒        v0 = -------d2
                2ηℓ

7.4.4.2. Rohrströmung

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 06. 02. 2009: PDF

PIC

Rohrströmung

Am Rand ist die Geschwindigkeit null, v = 0.

           dv
FR = 2πr ℓη---
           dr

        2
Fp = πr  (p1 - p2)

also

dv-=  p1 --p2-r
dr     2 ηℓ

⇒        v = v -  p1 --p2r2
              0     4ηℓ

und

     p1---p2  2
v0 =   4η ℓ  R

infinitesimal

           1 dp (  2   2)
vz (r) = ------- R  - r
          4η dz

Volumenstrom: dV˙ = 2πrdr·v(r)

also:

     ∫R
V˙ =   2πrv (r)dr =  π-(p1 --p2)-R4 =-π-dp-R4
     0                  8 ηℓ         8η dz
(7.38)

Das ist das Gesetz von Hagen-Poiseuille, wobei dpdz- = -8η⟨vR⟩2- und ⟨v⟩ = π˙VR2-

Der Strömungswiderstand ist: 8ηℓ-
πR4

7.4.4.3. Druck und Volumenstrom

Druckkraft Fp = πR2(p1 - p2) = 8ηℓ
R2-V˙

7.4.4.4. Strömung um Kugeln

PIC

Strömung um eine Kugel

Die Kugel hat im Abstand r keinen Einfluss mehr auf die Strömung

⇒       - dv-~  v-
          dz    r

Oberfläche: 4πr2

F  ≈ ηdv-·A  = - η v4πr2 ~  - 4π ηvr
      dz           r

Genauer erhält man

F  = - 6π ηvr
(7.39)

das Stokes-Gesetz.

7.4.4.5. Prandtl-Grenzschicht

PIC

Prandtl-Grenzschicht

Reibungskraft: FR = ηAv-
D

Verschieben um :

                 v-
W  = FR · ℓ = ηA D ℓ
(7.40)

Kinetische Energie in der Grenzschicht:

         ∫D      (       )
       1-             z-2    1-    2
Ekin = 2   A ρdz  v · D    = 6 Aρv D
         0
(7.41)

mit W = Ekin wird

      ∘-6ηℓ
D  =    ----
        ρv

Reynolds-Kriterium

D << ℓ
 ℓ
--
D » 1
∘ -----
  ρv-ℓ2
   6ηℓ = ∘ ----
  ρvℓ-
  6η » 1 (7.42)
Re =  ρvℓ-»  1
       η
(7.43)

dabei ist eine typische Dimension und v die mittlere Geschwindigkeit.

wenn

Allgemein gilt: Es gibt für jede Geometrie eine kinetische Reynoldszahl. Rekrit mit

Re > Re krit turbulent
Re < Re krit laminar (7.44)

Bemerkung:
Strömungen mit der gleichen Reynoldszahl sind ähnlich Windkanal

Bei D « ist FR = ηAv
D- = A∘-v3ηρ
  -ℓ--

FR ist etwa der Mittelwert aus

7.4.5  Bewegungsgleichung einer Flüssigkeit *

Neben der Scherviskosität existiert noch die Volumenviskosität ζ

        F *      1 dρ         d
σ* n =  --- = - ζ----n  = - ζ -- ln ρn
         A       ρ dt         dt
(7.45)

Dabei ist ζ die Volumenviskosität.

Das Gesetz von Navier-Stokes lautet

ρdv
---
dt = ρ( ∂v          v2             )
  ---+  grad  ---- v × rot  v
  ∂t          2
= FV -grad  p + ηΔv + (      )
     η-
 ζ + 3grad  div  v
= FV -grad  p - ηrot (rot v ) + (    4 η)
 ζ + ---
      3grad  div  v (7.46)

Vereinfachungen:

7.4.6  Strömung idealer Flüssigkeiten

PIC

Ideale Strömung

Bei einer idealen Strömung gibt es keine Reibung, die Strömung ist laminar.

Aus der Volumenerhaltung folgt

A1 Δx1 =  A2Δx2  =  ΔV

Die verrichtete Arbeit ist

ΔW1   = p1A1 Δx1

und

ΔW2   = p2A2 Δx2

Wir erhalten als Energiebilanz

ΔW   =  ΔW1  - ΔW2   = ΔEkin

und damit

                1     (       )
(p1 - p2) ΔV =  -ρΔV   v22 - v21
                2

Das ergibt nun

p + 1ρv2 = p  =  const
    2        0
(7.47)

Dies ist die Bernoulli-Gleichung.

Bei der Gravitation muss noch ρgh berücksichtigt werden (allg. Epot)

7.4.6.1. Anwendung

PIC

Manometer

Ein Manometer misst nur den statischen Druck.

PIC

Prandtlsches Staurohr

p0 - p = 1ρv2
         2
(7.48)

PIC

Ausströmen aus einem Loch

1-
2ρv2 = p
v = ∘ 2p-
  ---
   ρ (7.49)

Bei Schweredruck p = ρgh folgt v = √ ----
  2gh

Wenn v > ∘ -2p0-
   ρ = vk wird der statische Druck < 0

Es gibt eine Dampfbildung (Kavitation).

7.4.7  Strömungswiderstand *

PIC

Stromlinie

Nach Bernoulli ist der Druck vorne und hinten gleich. Also gäbe es keinen Widerstand (Paradoxon von d’Alembert).

PIC

Reales Bild einer Wirbelstrasse

Def. Wirbel: Wenn ein „Boot“ auf einem geschlossenen Weg angetrieben wird

Def. Zirkulation :

     ∮        ∫
Γ =    vds =    rot  v da ⇔ 0
(7.50)

PIC

Potentialwirbel

vr = 0 (7.51)
vφ = -Γ--
2πr (7.52)

Beim Potentialwirbel gilt:

                     }
rot  v =  0 für r > 0   für r ⇔ 0 existiert ein Geschwindigkeitspotential ϕ = Γ-φ
rot  v , 0  für r < 0                                                        2π

7.4.7.1. Druck und Druckgradient *

Nach Bernoulli:

p = p0 -1-
2ρv2 = p 0 - ρ √2
----
8π2 -1-
r2
p = 0 für r0 = Γ
---
2π(    )
   ρ
  ----
  2p01
2 (7.53)

d.h. für r < r0 ist das Konzept des Potentialwirbels nicht sinnvoll.

Volumenkraft

                       2
F   = - grad  p = - ρ-Γ--r-
  V                  4π2 r4
(7.54)

(nach innen gerichtet)

7.4.8  Helmholtzsche Wirbelsätze *

PIC

Helmholtzsche Wirbelsätze



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