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8.1  Schwingungen

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 141])

Wenn sich ein System nicht in seiner Gleichgewichtslage befindet, dann schwingt in der Regel seine Position um diese Lage. Diese periodischen oder quasiperiodischen Bewegungen werden Schwingungen genannt. Die Schwingungsform kann sinusförmig sein (harmonische Schwingung) oder eine allgemeine Form haben. Mathematische Sätze sagen, dass jede periodische Bewegung in eine Summe von sinusförmigen Bewegungen aufgeteilt werden kann.

PIC Versuch zur Vorlesung: Plastikfedern (Versuchskarte M-117)

8.1.1  Harmonische Schwingungen

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 379]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 141])

PIC

Masse-Feder-System als Modell eines schwingungsfähigen Systems

Die Kraft auf die Masse ist durch

F  = - kx
(8.1)

gegeben, wobei k die Federkonstante ist. Durch diese Kraft wird die Masse beschleunigt, so dass

                     2
F = - kx =  ma  = m d-x-
                    dt2

Umgeschrieben erhalten wir die Bewegungsgleichung

    d2x      ( k )
a = --2-=  -  --   x
    dt        m
(8.2)

Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung. Traditionellerweise wird die obige Gleichung auch als

      (   )
d2x-    k-
dt2 +   m   x = 0
(8.3)

geschrieben. Die Bewegung ist periodisch mit der Frequenz ν = 1∕T, wobei T die Schwingungsdauer ist.


Frequenzen werden in Hertz Hz = 1∕s gemessen. Die Kreisfrequenz ω hängt über ω = 2πν mit der Frequenz ν zusammen. Die Kreisfrequenz hat die gleiche Einheit, darf aber nicht mit der Frequenz verwechselt werden.

Die Lösung der Gleichung (8.3) ist

x = A cos(ωt + δ)
(8.4)

PIC Link zur Vorlesung:(Simulation der harmonischen Schwingung)

PIC Versuch zur Vorlesung: Federpendel (Versuchskarte M-105)

Diese Lösung wird durch die Simulation illustriert. Die Phase ist nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt (Eigenschaft der Winkelfunktionen). Die Position beim Nulldurchgänge ist x(0) = A cos δ.


Ist die Beschleunigung eines Gegenstandes proportional zu seiner Auslenkung und dieser entgegengesetzt, so führt der Gegenstand eine einfache harmonische Schwingung durch.

Die Geschwindigkeit der Masse ist

     dx
v =  ---= - A ω sin (ωt + δ)
     dt
(8.5)

Die Geschwindigkeit bei t = 0 ist v(0) = - sin δ. Da von den drei die Schwingung bestimmenden Grössen zwei, A und ω unbekannt sind, reicht die Kenntnis der Position zur Zeit t = 0 und der Geschwindigkeit zu dieser gleichen Zeit aus, um die Schwingungsform zu bestimmen.

Die Beschleunigung ist

      2
a =  d-x-= - A ω2 cos (ωt + δ)
     dt2
(8.6)

Mit Gleichung (8.2) kann man schreiben

       (   )       (   )
         k           k                      2
a =  -   --  x = -   --  A cos(ωt + δ) - A ω cos (ωt + δ)
         m           m
(8.7)

und damit

ω2 = -k
     m
(8.8)

Damit sind die Frequenz ν und die Schwingungsdauer T0

           ∘ ---
         1    k
 ν  =   ---  --
        2π ∘ m--
             m-
T0  =   2π   k                             (8.9)

Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Amplitude ab (lineares System).

8.1.1.1. Harmonische Schwingungen und Kreisbewegung

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 387])

PIC

Zusammenhang zwischen der Kreisbewegung und einer Schwingung

Da die Funktionen sin ωt und cos ωt beide die Schwingungsgleichung (Siehe Gleichung (8.3)) erfüllen, kann geschlossen werden, dass eine harmonische Schwingung die Projektion einer Kreisbewegung ist (siehe auch die Simulation). Nach der Definition des Cosinus ist die Projektion des umlaufenden Radius A auf die x-Achse gerade der Cosinus.

PIC Link zur Vorlesung:(Schwingung und Kreisbewegung)

8.1.1.2. Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 388])

Die potentielle Energie einer um die Länge x ausgelenkten Feder ist

          1-  2
Epot(t) = 2kx  (t)
(8.10)

Die kinetische Energie ist

          1-  2
Ekin(t) = 2mv  (t)
(8.11)

Beide Energien hängen von der Zeit ab. Die Erhaltung der mechanischen Energie fordert

                                     1          1
Eges(t) = const = Ekin(t) + Epot(t) =-mv2 (t) + -kx2 (t)
                                     2          2
(8.12)

Am Umkehrpunkt, bei der maximalen Auslenkung |x(t)| = A ist die Geschwindigkeit v(t) = 0. Also ist bei einem harmonischen Oszillator


Eges = 1-kA2
       2
(8.13)

die Gesamtenergie.


Setzen wir die Lösung x(t) = A cos (ωt + δ) und damit auch dx(t)
 dt = - sin (ωt + δ) jeweils ein, erhalten wir

            1
Epot(t)  =  --kA2 cos2(ωt + δ)
            2
Ekin(t)  =  1-mA2 ω2 sin2(ωt + δ)
            2
            1-   2   2
         =  2 kA  sin (ωt + δ)                     (8.14 )

wobei wir ω2 = k∕m verwendet haben. Die Gesamtenergie ist

Eges(t)  =   1kA2 cos2(ωt + δ) + 1-kA2 sin2 (ωt + δ)
             2                   2
             1-  2[   2              2        ]
         =   2kA   sin (ωt + δ) + cos (ωt + δ)
             1
         =   -kA2                                           (8.15 )
             2

unabhängig von t. Der Energieinhalt eines harmonischen Oszillators pendelt zwischen zwei Energiereservoirs, hier der kinetischen und der potentiellen Energie, hin und her.


Immer dann, wenn in einem System zwei Energiereservoirs gekoppelt sind und Energie zwischen ihnen ausgetauscht wird, ist das System ein Oszillator.

Beispiele:

Die kinetische und die potentielle Energie können mit dem Winkel der momentanen Phase Θ = ωt + δ wie folgt geschrieben werden:

 Epot(t)  =   Egescos2Θ
                 1
         =   Eges--(1 + cos 2Θ )
                 2  2
Ekin (t)  =   Egessin Θ
                 1
         =   Eges2-(1 - cos 2Θ )                   (8.16 )

Damit ist auch sofort klar, dass die Mittelwerte

                  1
⟨Epot⟩ = ⟨Ekin⟩ = -Eges
                  2
(8.17)

sind.

8.1.2  Phasenbild

Bei einer Schwingung|harmonisch ist

x(t) = A cos(ωt)
v(t) = -ωA sin(ωt)

Im Phasenbild wird nun v(t) gegen x(t) aufgetragen. Dabei ist die Zeit t der Parameter. Wir sprechen auch von einer Parameterdarstellung.

PIC

Phasenbild eines harmonischen Oszillators

Das Phasenbild zeigt den Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit, nicht jedoch den Zeitlichen Ablauf. Phasenbilder werden zum Beispiel verwendet, um chaotische System zu beschreiben.

Zeichnet man p(t) = mv(t) gegen x(t) auf, so nennt man die Fläche

h = px = mvx
(8.18)

Die Einheit dieses h ist kgmsm = m2kgs-1 = Js. Dies ist die gleiche Einheit wie beim Planckschen Wirkungsquantum. Die von einem Zustand im Phasenbild eingenommene Fläche sagt also etwas aus, wie nahe dieser Zustand einem Quantenzustand ist.

8.1.2.1. Feder-Masse-System im Schwerefeld

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 392])

PIC

Schwingendes System im Schwerefeld

Eine Feder im Schwerefeld mit Masse wird durch die Bewegungsgleichung

  d2x
m ---2 = - kx + mg
   dt
(8.19)

beschrieben (1. Simulation und 2. Simulation). Die Ruhelage ist durch 0 = -kx0 + mg gegeben. Also ist

      mg--
x0 =   k
(8.20)

PIC Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld)

PIC Link zur Vorlesung:(Federpendel im Schwerefeld)

Wir wissen, wie wir ein Feder-Masse-System berechnen müssen, wenn wir die Koordinate x= x - x0 verwenden. Da die beiden Koordinatensysteme x und xsich nur um eine Konstante unterscheiden, sind die ersten Ableitungen dx
 dt = dx′-
dt und die zweiten Ableitungen d2x2
dt = d2x2′
dt gleich. Deshalb wird Gleichung (8.19)

   2
m d-x-= - k (x′ + x ) + mg = - kx′ - kx  + mg  = - kx′
  dt2             0                    0
(8.21)

da kx0 = mg ist. Damit erhalten wir die bekannte Lösung

 ′
x (t) = A cos(ωt + δ)
(8.22)

Die potentielle Energie bezogen auf die neue Gleichgewichtslage x0 ist

E     =  1k (x′ + x )2 - 1-kx2 = 1-kx′2 + kx ′x =  1kx′2 + mgx ′
  pot,F    2        0     2   0   2           0    2
(8.23)

da kx0 = mg ist. Zusätzlich gibt es die potentielle Energie der Gravitation Epot,g = -mgxbezogen auf die Ruhelage. Die gesamte potentielle Energie ist die Summe aus den potentiellen Energien der Feder und der Gravitation.

                        1-  ′2       ′       ′   1-  ′2
Epot = Epot,F + Epot,g = 2kx   + mgx  -  mgx  =  2kx
(8.24)

Diese potentielle Energie ist unabhängig von g, wenn wir von der jeweiligen Ruhelage aus rechnen.

8.1.2.2. Pendel im Schwerefeld

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 394])

Mathematisches Pendel

PIC

Mathematisches Pendel im Schwerefeld

Ein mathematisches Pendel ist eine Punktmasse m aufgehängt an einem masselosen Faden der Länge L.

Der vom Pendel zurückgelegte Weg ist die Bogenlänge

s = L ϕ
(8.25)

Die Kraft tangential an den Bogen -mg sin ϕ beschleunigt die Masse m. Die Bewegungsgleichung ist

                2
- mg sin ϕ = m d--s
               dt2
(8.26)

Umgeschrieben erhalten wir

d2s-                    s-
dt2 = - g sin ϕ = - gsin L
(8.27)

Für sehr kleine Winkel ϕ « 1 ist sin ϕ ϕ. Damit wird die obige Gleichung

d2s-      s-     g-
dt2 =  - g L = - Ls
(8.28)

Mit g∕L = ω2 erhalten wir die Schwingungsgleichung

 2
d-s-= - ω2s
dt2
(8.29)

deren Lösung s(t) = s0 cos (ωt + δ) bekannt ist (Simulation). Die Schwingungsdauer ist

              ∘ --
T  = 2π- = 2π   L-
 0    ω         g
(8.30)

PIC Link zur Vorlesung:(Fadenpendel)

Für grosse Amplituden ist die Schwingungsdauer durch die Reihenentwicklung

        ∘ --[                                             ]
          L       1    2( 1s0)    1 ( 3)2    4( 1s0)
T0 = 2π   -- 1 + -2-sin    ---  +  -2- --  sin   ---  +  ...
          g      2        2L      2   4         2L
(8.31)

gegeben.

Physikalisches Pendel

PIC

Physikalisches Pendel. A ist der Aufhängungspunkt, S der Massenmittelpunkt.

Wir müssen nun mit dem Trägheitsmoment des Pendels bezüglich des Drehpunktes A rechnen. Das Drehmoment ist
               2
|M  | = Iα =  Id-ϕ-
              dt2
(8.32)

Die Bewegungsgleichung ist also

                d2ϕ
- mgd  sin ϕ = I --2-
                dt
(8.33)

In der traditionellen Schreibweise lautet die Bewegungsgleichung

 2
d-ϕ-+ mgd--sinϕ =  0
dt2     I
(8.34)

Mit mgd-
 I = ω2 und unter der Annahme einer kleinen Amplitude ist das physikalische Pendel ein harmonischer Oszillator mit der Bewegungsgleichung

 2
d-ϕ-+ ω2ϕ =  0
dt2
(8.35)

Die Schwingungsdauer ist

              ∘ -----
      2π-        -I---
T0 =  ω  =  2π   mgd
(8.36)

Eine Anwendungsmöglichkeit dieser Gleichung ist die Bestimmung des Trägheitsmomentes eines Körpers

          2
I = mgdT--0
      4π2
(8.37)

Zum Beispiel ist für einen einseitig eingespannten Stab das Trägheitsmoment I = 1
3mℓ2. Der Schwerpunkt liegt in der Mitte, also d = 1
2. Damit wird die Schwingungsdauer

        ┌ ------     ∘ ---
        ││ 1m ℓ2        2 ℓ
T0 = 2π ∘ 3--1--= 2 π  ---
          mg 2ℓ        3g

Vergleiche dies mit dem Resultat für ein mathematisches Pendel T = 2π∘ ℓ-
  g.

Torsionspendel

PIC

Torsionspendel (analog zur Gravitationswaage)

PIC Versuch zur Vorlesung: Drehpendel (Versuchskarte SW-021)

Das rückstellende Moment ist proportional zum Verdrillungswinkel und dient zur Winkelbeschleunigung des Drehkörpers mit dem Trägheitsmoment I

                d2ϕ
|M  | = - Dϕ =  Idt2-
(8.38)

Wieder setzen wir ω2 = D-
 I. Die Periodendauer ist

        ∘ ---
          I-
T0 = 2π   D
(8.39)

8.1.2.3. Bewegung in der Nähe von Gleichgewichtspunkten

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 400])

Wir nehmen eine allgemeine Potentialfunktion

                             ||                2       ||
E   (x) = E   (x ) + dEpot(x)||  (x - x ) + 1-d-Epot(x)||  (x - x )2 + ...
  pot       pot  0       dx   |        0    2    dx2   |        0
                              x0                       x0
(8.40)

an und entwickeln sie in eine Taylorreihe um den Punkt x0. Dieser Punkt soll ein Gleichgewichtspunkt sein. Dann ist die Kraft F(x) = -dEpot(x)-
  dx als Funktion durch die erste Ableitung der potentiellen Energie gegeben. Am Gleichgewichtspunkt ist jedoch die Kraft null, also (       |      )
  dEpodtx(x)||  =  0
         x0. Die Steigung der Kraft-Distanz-Kurve im Gleichgewichtspunkt x0, die Federkonstante k, ist durch die zweite Ableitung gegeben.

Also kann an jedem Gleichgewichtspunkt bei genügend kleinen Auslenkungen die Schwingungsgleichung

          2      2       ||
0  =   m d-x-+  d-Epot(x-)||  (x - x  )
         dt2      dx2    |x        0
               ||          0
0  =   dEpot(x)||                                    (8.41 )
          dx   |x
                 0

geschrieben werden. Die Frequenz für kleine Bewegungen ist

       ┌ -----------------
     1 ││  1   d2E   (x)||
ν = ---∘ -- · ----pot---||
    2π   m       dx2   |x0
(8.42)

Daraus folgt für die Periodendauer

       ┌│ -----------
T = 2π │∘ --2-m---|--
          dEpdoxt2(x)||
                  x0
(8.43)

8.1.3  Gedämpfte Schwingung

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 401]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 150])

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 10. 02. 2009: PDF
Korrekturen und Ergänzungen

Eine genaue Beobachtung zeigt, dass die Amplitude jeder freie Schwingung sich nach einer gewissen, charakteristischen Zeit um einen bestimmten Betrag erniedrigt. Die Dämpfung ist in vielen Fällen proportional zur Geschwindigkeit

F  =  - bv
 D
(8.44)

Das Kräftegleichgewicht ergibt

- kx - bv = m  dv-
               dt
(8.45)

Für kleine Dämpfungen ist die neue Resonanzfrequenz ωin der Nähe von ω0. Mit jeder Schwingung nimmt die Energie Etot = Epot(xmax) = Ekin(vmax) = 2⟨E   ⟩
   kin = ⟨mv2 ⟩ = m⟨v2⟩ in einer definierten Zeiteinheit um einen bestimmten Betrag ab. Diese Leistung ist

P  = dEtot = F  ·v  = - bv2
       dt      D
(8.46)

Wenn wir v2 durch ⟨v2⟩ = Etot
 m ersetzt, bekommt man

dEtot     b
----- = - --Etot
 dt       m
(8.47)

Der Energieinhalt eines gedämpften Oszillators nimmt also exponentiell ab. Die relative Abnahme der Energie ist für alle Zeiten gleich. Wir lösen die Gleichung durch

dEtot     b
-----=  - --dt
Etot      m
(8.48)

und erhalten nach der Integration

lnE   (t) = - b-t + C
    tot        m
(8.49)

oder, nach einer Exponentiation

E  (t) = e-(b∕m )t+C =  eC·e -(b∕m )t = E  e-(b∕m)t
 tot                                  0
(8.50)

Wir haben E0 = eC gesetzt. Mit der Zeitkonstante τ = m∕b bekommen wir

           -(b∕m )t       -t∕τ
E (t) = E0e       = E0e
(8.51)

8.1.3.1. Güte des schwingungsfähigen Systems

PIC Versuch zur Vorlesung: Federpendel: Amplitudenverlauf (Versuchskarte M-105)

Der Energieverlust pro Periode T0 ist

ΔEtot       b
-E---- = - m-T0
   tot
(8.52)

Man charakterisiert die Dämpfung eines schwingungsfähigen Systems oft durch die Güte Q. Wenn der Energieverlust pro Periode ΔEtot ist, gilt

         Etot
Q  = 2π - ΔE----
             tot
(8.53)

Der Q-Faktor ist umgekehrt proportional zum relativen Energieverlust pro Periode

--ΔEtot-=  2π-
  Etot     Q

Es gilt auch

Q = 2π --Etot--=  2π-m--=  2π-τ-
       - ΔEtot      bT0      T0
(8.54)

Da die Energie des Oszillators proportional zum Quadrat der Amplitude ist (Etot = 1
2kxmax2 = 1
2kA2 gilt für die Abnahme der Amplitude

         2
Etot = A-- = e-t∕τ
 E0    A20
(8.55)

Also ist

A = A0e -t∕(2τ)
(8.56)

Zur Lösung der Schwingungsgleichung machen wir den komplexen Ansatz

x(t) = A0e-iωt

und setzen in Gleichung (8.45) ein. Mit k∕m = ω02 bekommen wir

0 = m + b + kx = +  b
--
m + ω02x
= -ω2A 0e-iωt - iωA 0e-iωt + ω 02A 0e-iωt = ω 02 - ω2 - b-
m

Dies ist eine quadratische Gleichung in ω. Die Lösungen sind

ω1,2 = - -b   ∘ --b2------2
im--±-----m2-+-4ω-0
         2 = - i--b-
2m ∘ -------2--
  ω2 - -b--
   0   4m2

Es gibt drei Lösungen

       (|    -b-   ∘ -2----b2-               b--
       |||| - i2m ∓    ω0 - 4m2,      für ω0 >  2m  (unterkritische D ämpfung );
       |{ - i2(bm-,      --------)    für ω0 =  b2m--(kritische Dämpfung  );
ω1,2 = |      -b-   ∘ -b2--   2              b--
       |||| - i  2m ±    4m2 - ω0  ,  für ω0 <  2m  (überkritische D ämpfung ).
       |(
(8.57)

Bei b∕(2m) = ω0 haben wir bis jetzt nur eine Lösung. In den anderen Fällen haben wir jeweils das ±.

Die entsprechenden Lösungsfunktionen sind

       (        (       ∘-------            ∘ ------)
       |||   --b t      it ω20- b42m2         -it  ω20- 4b2m2              b--
       ||||  e 2m  (A0,1e          +  A0,2eS            ) ,  für ω0 >  2m  ;
       ||||                  b-
       {  (A0,1 +(A0,2t)e- 2m-t,--          ------)       für ω0 =  b2m--;
x (t) = ||     b        -t∘ -b2- ω2       t∘ -b2--ω2
       ||||  e-2m t(A0,1e    4m2   0 + A0,2e  4m2  0) ,     für ω0 <  b2m--.
       ||||
       |(
(8.58)

Wir testen noch, dass für ω0 = b∕(2m) die Lösung stimmt. Für diesen Spezialfall lautet die Differentialgleichung

0 = + 2ω0 + ω02x
= - 2ω0A0,2e-ω0t + ω 02(A0,1 + A0,2t) e-ω0t
+ 2ω0A0,2e-ω0t - 2ω 02(A0,1 + A0,2t) e-ω0t
+ ω02(A0,1 + A0,2t) e-ω0t
= - 2ω0A0,2 + ω02(A0,1 + A0,2t) + 2ω0A0,2 - 2ω02(A0,1 + A0,2t) + ω02(A0,1 + A0,2t)
= ω02[A0,1 + A0,2t - 2 (A0,1 + A0,2t) + A0,1 + A0,2t] + ω0[- 2A0,2 + 2A0,2]
= 0

Die Lösung der Schwingungsgleichung für den gedämpften Oszillator im Falle der unterkritischen Dämpfung ist


x (t)=A0e  -(b∕(2m ))tcos(ω ′t + δ)
         ┌│ ----(------)2-     ∘ ---------
  ω ′= ω  │∘ 1 -  ---b--   = ω    1 - -1--            (8.59)
       0        2m ω0        0      4Q2

Wenn die Dämpfung den kritischen Wert bk = 20 übertrifft, schwingt das System nicht mehr. Für b = bk nennt man das System kritisch gedämpft. Für b > bk ist es überkritisch gedämpft und für b < bk unterkritisch gedämpft.

Zum Beispiel verwendet man in Autos geschwindigkeitsproportionale Stossdämpfer um eine kritische Dämpfung zu erreichen. Sind die Stossdämpfer alt, wird die Dämpfung der Fahrzeugschwingungen, z.B. durch Bodenwellen angeregt, unterkritisch und man fliegt von der Strasse.

8.1.4  Erzwungene (gedämpfte) Schwingung und Resonanz

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 406]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 154])

PIC

Mit einem Exzenter angetriebenes Federpendel

PIC Versuch zur Vorlesung: Erzwungene Schwingung (Versuchskarte SW-090)

Das vorliegende System wird durch zwei Grössen charakterisiert: die Anregungsschwingung z(t) = z0 cos ωt sowie durch das Federpendel mit der Masse m, der Dämpfung b und die Federkonstante k. Die rücktreibende Kraft an der Feder ist

F (t) = - k(x (t) - z(t))
 F
(8.60)

Die Beschleunigung ist wieder durch m(t) = F(t) gegeben; die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung durch -b(t)

Die Bewegungsgleichung ist also

F (t) = - k (x(t) - z(t)) - b˙x(t) = m x¨(t)
(8.61)

Wenn wir z(t) einsetzten und umstellen, erhalten wir

m ¨x(t) + b˙x(t) + kx (t) = z k cosωt
                         0
(8.62)

Wir teilen durch m und kürzen k∕m = ω02 ab und erhalten

¨x(t) + b-x˙(t) + ω2x(t) = z0ω2 cosωt
       m         0          0
(8.63)

Die Lösung (Simulation) dieser Gleichung besteht aus zwei Teilen: dem Einschwingvorgang als Lösung der Gleichung

       b         2
¨x(t) + m-˙x(t) + ω 0x(t) = 0

(analog zur freien gedämpften Schwingung, dieser Teil klingt ab gegen 0) sowie der stationären Lösung. Dieser Teil der Lösung hat die Form

x(t) = A (ω)cos (ωt - δ(ω))
(8.64)

wobei wir hier ein Minuszeichen vor der Phase setzen, damit diese die Phasendifferenz zur Anregung darstellt. Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir

         [                                                            ]
    A (ω ) - ω2 cos(ωt - δ(ω)) - b-ω sin(ωt - δ(ω)) + ω2cos(ωt - δ(ω ))
                                m                     0
       2
=   z0ω0 cosωt                                                       (8.65 )

Um die Gleichung zu lösen müssen wir die Winkelfunktionen sin und cos mit Phasen in reine Winkelfunktionen auflösen. Also setzen wie cos(ωt-δ(ω)) = cos(ωt) cos(δ(ω))+sin(ωt) sin(δ(ω)) und sin(ωt - δ(ω)) = sin(ωt) cos(δ(ω)) - cos(ωt) sin(δ(ω)). Wir bekommen dann

   2                 [   2
z0ω0 cosωt  =   A(ω ) - ω  cos(ωt )cos(δ(ω))
                  b
                + --ω cos(ωt)sin(δ(ω))
                  m2                 ]
                + ω0 cos(ωt )cos(δ(ω))
                     [   2
         0  =   A(ω ) - ω  sin(ωt) sin(δ(ω ))
                  b
                - --ω sin (ωt )cos(δ(ω))
                  m                 ]
                + ω20 sin(ωt) sin(δ(ω ))                   (8.66 )

Diese Gleichungen können vereinfacht werden

               [                                            ]
   2               2             b-               2
z0ω0  =   A(ω ) - ω  cos(δ(ω )) + m ω sin(δ(ω )) + ω 0 cos(δ(ω))

   0  =   - ω2sin(δ(ω)) - -bω cos(δ(ω)) + ω2 sin(δ(ω ))           (8.67 )
                          m                0

Aus der zweiten Gleichung folgt

(        )
 ω2 - ω2  sin(δ(ω)) = -bω cos(δ(ω ))
   0                  m
(8.68)

und daraus

            ----bω------
tan(δ(t)) = m (ω2 - ω2)
                0
(8.69)

Wir verwenden cos ϕ = √---1----
  1+tan2ϕ und sin ϕ = cos ϕ· tan ϕ = √--tanϕ---
  1+tan2ϕ und bekommen aus der ersten Gleichung

    2
z0ω-0
A (ω) =       2    2
-∘--ω-0 --ω------
   1 + tan2 (δ(t)) + bω-
m∘---tan-(δ(t))----
  1 + tan2(δ(t))
= ω20 - ω2 + -2-b2ω22-2-
--∘--------m-(ω0-ω-)
    1 + ----b2ω2--2
        m2 (ω20- ω2)
=  (ω2 - ω2 )2 + b2ω2-
-∘--0----------m2---
   (ω20 - ω2)2 + b2ω22-
                m
= ∘ ------------------
     2    2 2  b2ω2-
  (ω 0 - ω ) +  m2 (8.70)

Zusammengefasst ist die stationäre Lösung durch die Amplitude und Phase

                 (      bω     )
 δ(ω)  =   arctan  -----2----2-                    (8.71 )
                   m  (ω 0 - ω )
                  z0ω20
A (ω)  =   ∘----2------2---b2ω2-                    (8.72 )
             (ω 0 - ω2 ) + m2--
gegeben.

Mit der Definition der Güte aus Gleichung (8.54) sowie mit ω0 = 2πν = 2Tπ schreiben wir zuerst

        m       m                 b   ω0
Q  = 2π ---=  ω0--      ⇔        -- = ---
        bT       b               m     Q
(8.73)

und erhalten


             (             )
 δ(ω)=arctan   ----ωω0-----                   (8.74)
               Q (ω20 - ω2 )
              z ω2
A (ω)= ∘-------0--0--------                   (8.75)
         (ω2 - ω2 )2 + ω2ω20
           0           Q2

Die folgenden Bilder zeigen einige typische Frequenz- und Phasengänge.

PIC

Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit z0 = 1, ω0 = 1, Q = 10 (unterkritische Dämpfung).

PIC

Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit z0 = 1, ω0 = 1, Q = 2 (unterkritische Dämpfung).

PIC

Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit z0 = 1, ω0 = 1, Q = 0.5 (kritische Dämpfung).

PIC

Amplitude und Phase eines getriebenen harmonischen Oszillators mit z0 = 1, ω0 = 1, Q = 0.1 (überkritische Dämpfung).

Noch kompakter ist die folgende Schreibweise für die Amplitude

        ----------z0----------
A(ω ) = ∘ ----------2-2---ω2--
          (1 - ω2∕ω 0) + ω20Q2
(8.76)

Die Frequenz, bei der die Amplitude maximal wird, also die Resonanzfrequenz, erhält man, indem man dA(ω)-
 dω = 0 berechnet.

dA(ω )
-------
 d ω =  d
---
dω          z0
-∘------------------2--
   (1 - ω2 ∕ω20)2 + ωω2Q2
                   0
= z0
--
 2(                     )
 4(ω02 - ω2 )ω - 2ωQω202
(-------------------)3∕2-
 (ω02 - ω2)2 + ω2Qω202 = 0
Damit ist
0 = 4(   2    2)
 ω0  - ωω - 2ωω02-
 Q2
   2
ωω0--
 Q2 = 2(         )
 ω02 - ω2ω
ω02
--2-
Q = 2(   2    2)
 ω0  - ω
ω2 = ω 02(        )
     --1-
 1 - 2Q2
ω = ±ω0∘ ---------
      --1-
  1 - 2Q2
Hier ist nur die positive Lösung physikalisch sinnvoll. Also ist
        ∘ ---------   ∘ ----------
                1             b2
ωR =  ω0  1 - ---2 =    ω20 - ---2
              2Q             2m
(8.77)

Diese Resonanzfrequenz) ist kleiner als die Eigenfrequenz eines ungedämpften Systems (Siehe Gleichung (8.59) ).

Die Bestimmung der Kenndaten eines Oszillators aus der Amplitude ist bei hohen Güten Q sehr schwierig und sehr ungenau. Viel einfacher ist es, die Phase bei ω0 und ihre Steigung an der Stelle zu bestimmen.

Berechnung der Steigung (ω)∕dω:

dδ(ω )
------
  dω =  d
---
dω arctan (            )
      ω0ω
  ----2----2--
  Q (ω0 - ω )
= Q(ωω02-ω2) + 2--ω22ω02-2-
---0-------ω2ωQ(ω20--ω-)--
    1 + Q2(ω020-ω2)2
=        2     2       2
ω0Q-(ω0----ω-)-+-2Q-ω-ω0-
 Q2 (ω02 - ω2)2 + ω2ω02

An der Stelle ω = ω0 ist der Funktionswert

      |
dδ (ω )||
------||
  dωω=ω0 = ω0Q (ω02 - ω02) + 2Q ω02ω0
---2---2-----2-2-----2--2--
 Q  (ω0  - ω0 ) +  ω0 ω0
= 2Q ω30
---4--
 ω 0 = 2Q
---
 ω0

Bei der Resonanzfrequenz ω = ω0 des ungedämpften Systems ist die Phase
δ (ω0 ) = π∕2
(8.78)

Die Steigung der Phase (ω)∕dω hat an der Stelle ω0 den Wert

     |
d-δ(ω||      Q--
 d ω ||  =  2ω0
      ω0
(8.79)

Es ist sehr viel einfacher, ω0 und Q aus der Phase als aus der Amplitude zu bestimmen.


8.1.5  Überlagerung von Schwingungen

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 142])

8.1.5.1. Schwingungen in unterschiedliche Richtungen

Wenn in der x-Richtung eine Schwingung x(t) = x0 cos(ωxt) und in der y-Richtung eine Schwingung y(t) = y0 cos(ωyt + δ) überlagert werden, entstehen Lissajous-Figuren. Solche Schwingungen können entstehen, wenn zum Beispiel eine Kugel in einer elliptischen Potentialmulde hin- und herschwingt.

8.1.5.2. Schwingungen gleicher Richtung und Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude

PIC

Zeigerdiagramm. Links für zwei Zeiten, in der Mitte das Zeigerdiagramm für zwei Schwingungen (rot) und (blau) mit der Summe (grün) und rechts die Winkel.

Eine Schwingung x(t) = x0 cos(ωt + δ) kann durch einen Zeiger dargestellt werden. Die Projektion dieses Zeigers auf die x-Achse ergibt das Schwingungsbild.

Wenn zwei Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phase, aber gleicher Frequenz addiert werden, kann man die trigonometrischen Sätze für schiefwinklige Dreiecke anwenden. So ist nach dem Cosinussatz

A2 = A21 + A22 - 2A1A2 cos(π - δ2 + δ1)
(8.80)

oder

     ∘ -----------------------------
A =    A2 + A2 +  2A A  cos(δ +  δ )
         1    2     1  2     2    1
(8.81)

Der Sinussatz liefert

------A--------) = ----A-----) = ----A2-----
sin (π - δ2 + δ1    sin(δ1 - δ2    sin(δ - δ1)
(8.82)

Wenn wir die Zeit zur Berechnung so wählen, dass δ1 = 0 ist, so ergibt sich

          A2
sin δ =   -A- sin δ2
           ∘-----------------------
   A  =     A21 + A22 + 2A1A2  cosδ2                 (8.83 )

8.1.5.3. Schwingungen gleicher Richtung, aber leicht unterschiedlicher Frequenz

PIC Versuch zur Vorlesung: Schwebungen (Versuchskarte SW-100)

Die Frequenzen der beiden Schwingungen sollen um Δω verschieden sein. Wir setzen an

x1 (t)  =   A1 cos(ωt + δ1)
x2 (t)  =   A2 cos((ω +  Δω )t + δ2)                 (8.84 )

Die resultierende Schwingung ist

x(t) = x1(t) + x2(t) = A1 cos(ωt + δ1) + A2 cos((ω + Δ ω)t + δ2)
(8.85)

Wir rechnen nun wie folgt um

x(t) =   A1 cos(ωt + δ1) + A2 cos((ωt + δ1) + Δ ωt + δ2 - δ1)
     =   A1 cos(ωt + δ1) + A2 cos(ωt + δ1)cos(Δ ωt + δ2 - δ1)
         - A  sin (ωt + δ ) sin(Δ ωt + δ  - δ )
             2         1             2    1
     =   cos(ωt + δ1)[A1 + A2 cos(Δ ωt + δ2 - δ1)]
         - A  sin (ωt + δ ) sin(Δ ωt + δ  - δ )                    (8.86 )
             2         1             2    1

Dies entspricht einer Schwingung der Frequenz ω mit einer aufmodulierten Frequenz Δω. Wir nennen diese verhalten auch Schwebung. Transparenter wird die Rechnung, wenn komplexe Zahlen verwendet werden. Anstelle von cos(ωt + δ) schreiben wir ei(ωt+δ), wobei wieder i = √ ---
  - 1 ist. Wir schreiben

              i(ωt+δ1)
x1(t)  =  A1e
x2(t)  =  A2ei ((ω+Δ ω)t+δ2)                     (8.87 )

und weiter

x(t)  =  x1 (t) + x2(t)
             i(ωt+δ1)      i((ωt+δ1)+Δωt+δ2-δ1)
      =  A1e        + A2e
      =  A1ei (ωt+δ1) + A2ei(ωt+ δ1)ei(Δ ωt+δ2-δ1)
          i(ωt+δ1)[         i(Δωt+δ2-δ1)]
      =  e        A1 + A2e                              (8.88 )

8.1.5.4. Fourierreihen *

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 146])

Die obige Schwingung ist nicht nur durch den zeitlichen Verlauf, sondern auch durch das Frequenzspektrum sowie das Phasenspektrum charakterisiert. Grundlage für diese Aussage ist der mathematische Satz, dass sich jede periodische Funktion f(t) = f(t + T) (Frequenz ω = 2π∕T als Fourierreihe

       ∑∞
f (t) =    Ak cos (kωt + δk)
       k=0
(8.89)

schreiben lässt. Alternativ kann man auch

       a0    ∞∑                ∞∑
f (t) = ---+     ak cos(k ωt) +   bk sin(kωt)
        2    k=1              k=1
(8.90)

Für gerade Funktionen f(t) = f(-t) sind alle bk = 0, für ungerade Funktionen sind alle ak = 0.

PIC Versuch zur Vorlesung: Fourier-Synthese (Versuchskarte SW-065)

PIC Versuch zur Vorlesung: Fourier-Analyse 4 (Versuchskarte SW-101)

PIC

Synthese einer Schwingung mit f(t) = a02- + k=1 cos((2k - 1)ωt)(2k - 1). Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

PIC

Synthese einer Schwingung mit f(t) = a0-
2 + k=1(-1)k-1 cos((2k - 1)ωt)(2k - 1)2. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

PIC

Synthese einer Schwingung mit f(t) = a0-
2 + k=1(-1)k-1 cos((2k - 1)ωt)(2k - 1). Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

PIC

Synthese einer Schwingung mit f(t) = a0-
2 + k=1(-1)k-1 cos((2k - 1)ωt)(2k - 1)23. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

PIC

Synthese einer Schwingung mit f(t) = a0-
2 + k=1(-1)k-1 cos((2k - 1)ωt)(2k - 1)12. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

PIC

Synthese einer Schwingung mit f(t) = a0-
2 + k=1(-1)k-1 cos((2k - 1)ωt)(2k - 1)16. Die verschiedenen Stufen der Synthese sind durch eine der Stufennummer proportionale Verschiebung nach oben auseinandergezogen.

Die folgenden Applets illustrieren die Fourieranalyse und -synthese

8.1.6  Gekoppelte Schwingungen

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 181])

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 13. 02. 2009: PDF

PIC

Zwei mathematische Pendel im Abstand d mit jeweils der Länge L sind mit einer masselosen Feder der Ruhelänge d und der Federkonstante k gekoppelt.

PIC Versuch zur Vorlesung: Gekoppelte Pendel (Versuchskarte SW-063)

Wenn das linke Pendel um ϕ1 und das rechte Pendel um ϕ2 ausgelenkt wird (in beiden Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge der Feder um

Δd  = ℓ(sinϕ1 - sinϕ2 ) ≈ ℓ(ϕ1 - ϕ2 )
(8.91)

für kleine Auslenkungen. Deshalb ist die Kraft, die auf das linke Pendel ausgeübt wird

FF,1 = - kΔd  ≈ - kℓ(ϕ1 - ϕ2)
(8.92)

Entsprechend ist die Kraft auf das rechte Pendel

FF,2 = - k(- Δd ) ≈ kℓ(ϕ1 - ϕ2)
(8.93)

Diese Kräfte entsprechen den Drehmomenten

M     =   ℓF   =  - kℓ2(ϕ  -  ϕ )
  F,1        F,1     2    1    2
MF,2  =   ℓFF,2 = kℓ (ϕ1 - ϕ2)                    (8.94 )
Die durch die Gravitation hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind
M     =   - Lmg  sin ϕ  ≈ - Lmg  ϕ
  G,1                 1           1
MG,2  =   - Lmg  sin ϕ2 ≈ - Lmg  ϕ2                 (8.95 )
Wir beachten, dass für eine Punktmasse m an einem masselosen Faden der Länge L das Trägheitsmoment I = mL2 ist und erhalten die linearisierte Momentengleichung
I¨ϕ1 = mL2 ϕ¨1   =  - Lmg  ϕ1 - kℓ2(ϕ1 - ϕ2)
 ¨        2¨                    2
Iϕ2 = mL  ϕ2   =  - Lmg  ϕ2 + kℓ (ϕ1 - ϕ2)             (8.96 )
Wir teilen durch mL2 und schreiben in Matrizenform
(  ¨  )   (    g-  -kℓ-      -kℓ-   ) (    )
| ϕ1  |   |  - L -kmℓL2     +g mL2kℓ  | | ϕ1 |
( ϕ¨2  ) = (    + mL2-    - L-- mL2- ) ( ϕ2 )
(8.97)

Wir nehmen an, dass beide Pendel mit der gleichen Frequenz ω schwingen. Wir setzen also an

ϕ  (t)  =   ϕ  eiωt
  1         1,0 i(ωt+δ)
ϕ2 (t)  =   ϕ2,0e                              (8.98 )
Eingesetzt in Gleichung (8.96) bekommen wir
                     g           kℓ2
  - ω2ϕ1,0eiωt  =   - --ϕ1,0eiωt - ---2(ϕ1,0eiωt - ϕ2,0eiωteiδ)
                     m           mL  2
   2    iωt iδ        g-    iωt iδ   kℓ---     iωt       iωt iδ
- ω ϕ2,0e   e   =   - Lϕ2,0e  e  +  mL2 (ϕ1,0e  -  ϕ2,0e   e )    (8.99 )
Wir teilen durch eiωt
                  g        kℓ2
   - ω2 ϕ1,0 =   - --ϕ1,0 - -----(ϕ1,0 - ϕ2,0eiδ)
                  L       mL2
   2     iδ        g-    iδ   kℓ2--           iδ
- ω ϕ2,0e   =   - L ϕ2,0e  +  mL2 (ϕ1,0 - ϕ2,0e )         (8.100 )
Wir stellen die Gleichung um und sortieren nach den beiden unbekannten ϕ1,0 und ϕ2,0e.
       [                 ]
           2   -g   -kℓ2-        k-ℓ2-    iδ
0  =    - ω  + L  + mL2   ϕ1,0 - mL2 ϕ2,0e
            2       [               2 ]
         -kℓ--          2   g-   -kℓ--      iδ
0  =   - mL2  ϕ1,0 +  - ω  + L +  mL2   ϕ2,0e            (8.101 )
Wir verwenden die folgenden Abkürzungen
          2   g-   -kℓ2-
A  =   - ω  + L  + mL2
        kℓ2
B  =   ----2
       mL
y  =   ϕ1,0
z  =   ϕ2,0eiδ                                (8.102 )
und müssen damit die Gleichung
0  =   Ay -  Bz

0  =   - By + Az                          (8.103 )
lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit B und die zweite mit A und bekommen
0  =   ABy  - B2z
                 2
0  =   - ABy  + A z                        (8.104 )
und addieren die Gleichungen. Damit wird
        2    2
0 = z(A  -  B )
(8.105)

Damit diese Gleichung für alle y eine Lösung ist, muss A2 = B2 sein. Diese Bestimmungsgleichung für ω hat zwei Lösungen

A1  =   B
A2  =   - B                            (8.106 )
oder
               2         2
- ω21 + g-+ -kℓ--  =   k-ℓ--
        L   mL2        mL2
    2   g-  -kℓ2-       -kℓ2-
- ω 2 + L + mL2    =  - mL2                     (8.107 )
Wir vereinfachen diese beiden Gleichungen und lösen nach ωi auf
         g
ω21  =  --
        L        2             2
ω2   =  -g + 2-kℓ-- = ω2 + 2-kℓ--                 (8.108 )
  2     L     mL2      1    mL2
Wenn wir y = ϕ1 als Vorgabe nehmen und die Gleichung z = Ai
By lösen, bekommen wir die Amplitude des zweiten Pendels.
              - ω2+  g-+ -kℓ2-
ϕ2,0,1eiδ1  =   ---1---L2--mL2-ϕ1,0
                    kmℓL2-
                g-  g-  -kℓ2-
          =   --L-+-L-+-mL2-ϕ1,0
                   mkLℓ22-
          =   ϕ
               1,0          2
      iδ2      --ω22 +-gL-+-mkLℓ2--
ϕ2,0,2e    =         kℓ2-     ϕ1,0
                    mL2
              - gL-- 2mkLℓ22-+  gL-+ mkℓL22-
          =   ----------kℓ2----------ϕ1,0
                       mL2
          =   - ϕ1,0                                 (8.109 )
Die beiden Lösungen haben die folgenden Charakteristika
Lösung 1
Es ist ϕ2,0,1 = ϕ1,0 und δ1 = 0. Die beiden Pendel schwingen in Phase mit der gleichen Resonanzfrequenz wie ein einzelnes Pendel. Die Feder wird nicht gedehnt. Ob sie vorhanden ist oder nicht, ist nicht relevant.
Lösung 2
Es ist ϕ2,0,2 = ϕ1,0 und δ2 = π. Die beiden Pendel schwingen gegenphasig mit einer höheren Resonanzfrequenz als die, die ein einzelnes Pendel hätte. Die Feder wird periodisch gedehnt und gestaucht.

8.1.7  Verallgemeinerung: Fundamental- oder Eigenschwingungen *

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 181])

PIC Versuch zur Vorlesung: Gekoppelte Stangenpendel (Versuchskarte SW-050)

Wir wollen nun untersuchen, wie die Lösung der Schwingungsgleichung für N gleich Pendel aussieht, die jeweils vom i-ten zum i + 1-ten Pendel mit einer masselosen Feder mit der Federkonstante k gekoppelt sind. Für das erste Pendel mit i = 1 gilt

I¨ϕ1 = - Lmg  ϕ1 - kℓ2(ϕ1 - ϕ2)
(8.110)

Die Bewegungsgleichung des letzten Pendels ist

I ¨ϕN = - Lmg  ϕN +  kℓ2(ϕN - 1 - ϕN )
(8.111)

Dazwischen lauten die Bewegungsgleichungen für ein Pendel 0 < j < N

Iϕ¨j  =   - Lmg ϕj - k ℓ2(ϕj - ϕj+1 ) + kℓ2(ϕj-1 - ϕj)
                       2          2       2
     =   - Lmg ϕj + k ℓϕj -1 - 2kℓ ϕj + kℓ ϕj+1            (8.112 )
Wir dividieren durch I = mL2 und setzen ω 02 = Lg und κ =   2
kmℓL2- und schreiben die Gleichung als Matrizengleichung
(      )   (                                                       ) (     )
   ϕ¨1         - ω20 - κ  κ  ⋅⋅⋅  0      0      0   ⋅⋅⋅ 0      0          ϕ1
||   ..  ||   ||      ..      ..      ..       ..      ..       ..     ..     || ||  ..  ||
||   .  ||   ||      .      .      .     2 .      .       .     .     || ||  .  ||
||  ϕ¨j  || = ||      0     0  ⋅⋅⋅  κ  - ω0 - 2κ  κ   ⋅⋅⋅ 0      0     || ||  ϕj ||
||   ...  ||   ||      ...      ...      ...       ...      ...       ...     ...     || ||  ...  ||
||  ¨   ||   ||                                                 2     || ||     ||
(  ϕN  )   (      0     0  ⋅⋅⋅  0      0      0   ⋅⋅⋅ κ  - ω 0 - κ ) ( ϕN  )
(8.113)

Wir setzen nun ϕi = ϕi,0eiωt und lösen die obige Gleichung

(    )   (   2     2                                                       ) (      )
  0         ω  - ω0 - κ  κ   ⋅⋅⋅ 0        0        0  ⋅⋅⋅  0       0            ϕ1,0
||  ... ||   ||       ...        ...      ...        ...        ...       ...       ...       || ||   ...  ||
||    ||   ||                            2    2                               || ||      ||
|| 0  || = ||       0       0   ⋅⋅⋅ κ  ω  -  ω0 - 2κ  κ  ⋅⋅⋅  0       0       || ||  ϕj,0 ||
||  ... ||   ||       ...        ...      ...        ...        ...       ...       ...       || ||   ...  ||
||    ||   ||                                                     2     2     || ||      ||
( 0  )   (       0       0   ⋅⋅⋅ 0        0        0  ⋅⋅⋅  κ  ω  - ω 0 - κ ) ( ϕN,0 )
(8.114)

Diese Gleichung hat dann eine Lösung, wenn die Determinante

|  2    2                                                       |
|| ω  - ω0 - κ  κ  ⋅ ⋅⋅ 0        0        0  ⋅⋅⋅  0       0      ||
||      ...        ...      ...        ...        ...       ...       ...      ||
||                           2    2                              ||
||      0       0  ⋅ ⋅⋅ κ  ω  - ω 0 - 2κ  κ  ⋅⋅⋅  0       0      || = 0
||      ...        ...      ...        ...        ...       ...       ...      ||
||      0       0  ⋅ ⋅⋅ 0        0        0  ⋅⋅⋅  κ  ω2 - ω2 - κ ||
||                                                         0     ||
|                                                               |
(8.115)

Die Lösung mit der tiefsten Resonanzfrequenz ist ω = ω0, bei der alle Pendel in Phase sind (bei allen anderen Bewegungsmoden ist neben der potentiellen Energie der Pendel auch in den Federn potentielle Energie gespeichert, die Gesamtenergie also für die gleich Auslenkung grösser.) Wenn wir diese Lösung einsetzen, bekommen wir die Gleichung

|                                      |
|| - κ  κ  ⋅⋅⋅ 0    0    0  ⋅⋅⋅ 0    0  ||
||  ...   ...       ...   ...    ...       ...   ...  ||
||                                      ||
||  0   0  ⋅⋅⋅ κ   - 2κ  κ  ⋅⋅⋅ 0    0  ||= 0
||  ...   ...       ...   ...    ...       ...   ...  ||
||                                      ||
||  0   0  ⋅⋅⋅ 0    0    0  ⋅⋅⋅ κ   - κ ||
|                                      |
(8.116)

Wenn man alle Zeilen dieser Determinante aufsummiert, bekommt man den Null-Vektor. Deshalb ist die obige Determinantengleichung erfüllt.



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