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C.3  Ableitungen zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten

Eine allgemeine Funktion f(x), die genügend oft stetig differenzierbar ist, soll in der Nähe des Wertes x0 angenähert werden (Siehe auch die Ausführungen über Taylorreihen in E.3).

PIC

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

Abbildung C.3 zeigt, wie die Funktion cos(x) an der Stelle x0 = -π∕4 angenähert wird. Die Funktion und die ersten drei Ableitungen sind

f(x) = cos(x)  d
---
dxf(x) = - sin(x) (C.1)
  2
-d--
dx2f(x) = - cos(x)   3
-d--
dx3f(x) = sin(x)

In nullter Näherung würde man sagen, dass cos(x) = 1√ --
  2 + O(1) ist in der Umgebung von x0 = -π∕4. Das Symbol O(1) bedeutet, dass Terme von x mit dem Exponenten grösser oder gleich 1 vernachlässigt wurden.

In erster oder linearer Näherung hätten wir cos(x) = 1√2-- - 1√2--(x - (-π∕4)) + O(2) = 1√2--(1 - (x + π∕4 )) + O(2). Hier sind Terme mit dem Exponenten 2 oder mehr vernachlässigt worden.

Die nächste Näherung, die 2., nimmt auch die quadratischen oder paraboloiden Anteile mit. Hier wäre cos(x) = 1√ --
  2-1√ --
  2(x-(-π∕4))-1√--
 2(x-(-π∕4))2+O(3) = 1√ --
  2(1 - (x + π∕4 ) - (x + π ∕4)) 2+O(3).

Allgemein sind die verschiedenen Approximationen

f(x0 + Δx) f0x) = f(x0) + O(1) (C.2)
f(x0 + Δx) f1x) = f(x0) +      ||
df(x)||
  dxx=x 0Δx + O(2)
f(x0 + Δx) f2x) = f(x0) +      |
df(x)||
  dx |x=x 0Δx +       |
d2f(x)||
 dx2  ||x=x0Δx2 + O(3)
f(x0 + Δx) f3x) = f(x0) +      |
df(x)||
  dx |x=x 0Δx +       |
d2f(x)||
 dx2  ||x=x0Δx2 +       |
d3f(x)||
 dx3  ||x=x0Δx3 + O(4)

Mit x = x0 + Δx lauten die Gleichungen

f(x) f0(x) = f(x0) + O(1) (C.3)
f(x) f1(x) = f(x0) + df(x)||
-dx--||x=x 0(x -x0) + O(2)
f(x) f2(x) = f(x0) +      |
df(x)||
 dx  |x=x 0(x -x0) +  2    ||
d-f(x)||
 dx2  |x=x0(x -x0)2 + O(3)
f(x) f3(x) = f(x0) +      |
df(x)||
 dx  |x=x 0(x -x0) +  2    ||
d-f(x)||
 dx2  |x=x0(x -x0)2 +  3    ||
d-f(x)||
 dx3  |x=x0(x -x0)3 + O(4)
oder allgemein
                    |
       ∑∞  1 djf (x )||            j
f(x) =     ------j--||    (x - x0)
       j=0 j!  dx   x=x0
(C.4)

Dabei ist j! = 1·2··j die Fakultät von j, Per Definition ist 0! = 1. Die nullte-Ableitung ist einfach die Funktion selber.

Als Beispiel betrachten wir cos(x) an der Stelle x0 = -π∕4. Wir haben

f(-π∕4) =  1
√2-- df(x)||
-dx--||x=-π∕4 = - 1
-√2- (C.5)
 2     ||
d-f-(x-)||
  dx2  |x=-π∕4 = -√1--
  2  3    ||
d-f(x)||
 dx3  |x=-π∕4 = √1--
  2
und

f(x) f0(x) =  1
√2- + O(1) (C.6)
f(x) f1(x) = f(-π∕4) + df(x)||
-dx-|x=-π∕4(x + π∕4) + O(2)
f(x) f2(x) = f(-π∕4) + df(x)|
-dx-||x=-π∕4(x + π∕4) + d2f(x)||
-dx2-||x=-π∕4(x + π∕4)2 + O(3)
f(x) f3(x) = f(-π∕4) +     |
df(x)||
 dxx=-π∕4(x + π∕4) +      |
d2f(x)||
 dx2 |x=-π∕4(x + π∕4)2 +      |
d3f(x)||
  dx3 |x=-π∕4(x + π∕4)3 + O(4)

Diese Kurven werden in Abbildung C.3 gezeigt.

PIC

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

Abbildung C.3 zeigt die Approximation für x0 = -π∕2. Hier ist der Funktionswert wie auch die zweite Ableitung null, so dass eine lineare Approximation resultiert. Erst die dritte Ableitung ist wieder ungleich null.

PIC

Approximationen der Funktion f(x) = cos(x) mit dem Grad 1, 2 und 3.

Abbildung C.3 zeigt die Approximationen bei x0 = 0. Hier ist die erste und die dritte Ableitung null, so dass nur die zweite übrig bleibt.



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